你好，我是黄申。
上一篇讲组合的时候，我最后提到了有关文本的关键字查询。今天我接着文本搜索的话题，来聊聊查询推荐（Query Suggestion）的实现过程，以及它所使用的数学思想，动态规划（Dynamic Programming）。
那什么是动态规划呢？在递归那一节，我说过，我们可以通过不断分解问题，将复杂的任务简化为最基本的小问题，比如基于递归实现的归并排序、排列和组合等。不过有时候，我们并不用处理所有可能的情况，只要找到满足条件的最优解就行了。在这种情况下，我们需要在各种可能的局部解中，找出那些可能达到最优的局部解，而放弃其他的局部解。这个寻找最优解的过程其实就是动态规划。
动态规划需要通过子问题的最优解，推导出最终问题的最优解，因此这种方法特别注重子问题之间的转移关系。我们通常把这些子问题之间的转移称为状态转移，并把用于刻画这些状态转移的表达式称为状态转移方程。很显然，找到合适的状态转移方程，是动态规划的关键。
因此，这两节我会通过实际的案例，给你详细解释如何使用动态规划法寻找最优解，包括如何分解问题、发现状态转移的规律，以及定义状态转移方程。
编辑距离
当你在搜索引擎的搜索框中输入单词的时候，有没有发现，搜索引擎会返回一系列相关的关键词，方便你直接点击。甚至，当你某个单词输入有误的时候，搜索引擎依旧会返回正确的搜索结果。
搜索下拉提示和关键词纠错，这两个功能其实就是查询推荐。查询推荐的核心思想其实就是，对于用户的输入，查找相似的关键词并进行返回。而测量拉丁文的文本相似度，最常用的指标是编辑距离（Edit Distance）。
我刚才说了，查询推荐的这两个功能是针对输入有缺失或者有错误的字符串，依旧返回相应的结果。那么，将错误的字符串转成正确的，以此来返回查询结果，这个过程究竟是怎么进行的呢？
由一个字符串转成另一个字符串所需的最少编辑操作次数，我们就叫作编辑距离。这个概念是俄罗斯科学家莱文斯坦提出来的，所以我们也把编辑距离称作莱文斯坦距离（Levenshtein distance）。很显然，编辑距离越小，说明这两个字符串越相似，可以互相作为查询推荐。编辑操作有这三种：把一个字符替换成另一个字符；插入一个字符；删除一个字符。
比如，我们想把mouuse转换成mouse，有很多方法可以实现，但是很显然，直接删除一个“u”是最简单的，所以这两者的编辑距离就是1。
状态转移
对于mouse和mouuse的例子，我们肉眼很快就能观察出来，编辑距离是1。但是我们现实的场景中，常常不会这么简单。如果给定任意两个非常复杂的字符串，如何高效地计算出它们之间的编辑距离呢？
我们之前讲过排列和组合。我们先试试用排列的思想来进行编辑操作。比如，把一个字符替换成另一个字符，我们可以想成把A中的一个字符替换成B中的一个字符。假设B中有m个不同的字符，那么替换的时候就有m种可能性。对于插入一个字符，我们可以想成在A中插入来自B的一个字符，同样假设B中有m个不同的字符，那么也有m种可能性。至于删除一个字符，我们可以想成在A中删除任何一个字符，假设A有n个不同的字符，那么有n种可能性。
可是，等到实现的时候，你会发现实际情况比想象中复杂得多。
首先，计算量非常大。我们假设字符串A的长度是n，而B字符串中不同的字符数量是m，那么A所有可能的排列大致在m^n这个数量级，这会导致非常久的处理时间。对于查询推荐等实时性的服务而言，服务器的响应时间太长，用户肯定无法接受。
其次，如果需要在字符串A中加字符，那么加几个呢，加在哪里呢？同样，删除字符也是如此。因此，可能的排列其实远不止m^n。
我们现在回到问题本身，其实编辑距离只需要求最小的操作次数，并不要求列出所有的可能。而且排列过程非常容易出错，还会浪费大量计算资源。看来，排列的方法并不可行。
好，这里再来思考一下，其实我们并不需要排列的所有可能性，而只是关心最优解，也就是最短距离。那么，我们能不能每次都选择出一个到目前为止的最优解，并且只保留这种最优解？如果是这样，我们虽然还是使用迭代或者递归编程来实现，但效率上就可以提升很多。
我们先考虑最简单的情况。假设字符串A和B都是空字符串，那么很明显这个时候编辑距离就是0。如果A增加一个字符a1，B保持不动，编辑距离就增加1。同样，如果B增加一个字符b1，A保持不动，编辑距离增加1。但是，如果A和B有一个字符，那么问题就有点复杂了，我们可以细分为以下几种情况。
我们先来看插入字符的情况。A字符串是a1的时候，B空串增加一个字符变为b1；或者B字符串为b1的时候，A空串增加一个字符变为a1。很明显，这种情况下，编辑距离都要增加1。
我们再来看替换字符的情况。当A和B都是空串的时候，同时增加一个字符。如果要加入的字符a1和b1不相等，表示A和B之间转化的时候需要替换字符，那么编辑距离就是加1；如果a1和b1相等，无需替换，那么编辑距离不变。
最后，我们取上述三种情况中编辑距离的最小值作为当前的编辑距离。注意，这里我们只需要保留这个最小的值，而舍弃其他更大的值。这是为什么呢？因为编辑距离随着字符串的增长，是单调递增的。所以，要求最终的最小值，必须要保证对于每个子串，都取得了最小值。有了这点，之后我们就可以使用迭代的方式，一步步推导下去，直到两个字符串结束比较。
刚才我说的情况中没有删除，这是因为删除就是插入的逆操作。如果我们从完整的字符串A或者B开始，而不是从空串开始，这就是删除操作了。
从上述的过程可以看出，我们确实可以把求编辑距离这个复杂的问题，划分为更多更小的子问题。而且，更为重要的一点是，我们在每一个子问题中，都只需要保留一个最优解。之后的问题求解，只依赖这个最优值。这种求编辑距离的方法就是动态规划，而这些子问题在动态规划中被称为不同的状态。
如果文字描述不是很清楚的话，我这里又画一张表，把各个状态之间的转移都标示清楚，你就一目了然了。
我还是用mouuse和mouse的例子。我把mouuse的字符数组作为表格的行，每一行表示其中一个字母，而mouse的字符数组作为列，每列表示其中一个字母，这样就得到下面这个表格。
这张表格里的不同状态之间的转移，就是状态转移。其中红色部分表示字符串演变（或者说状态转移）的方式以及相应的编辑距离计算。对于表格中其他空白的部分，我暂时不给出，你可以试着自己来推导。
编辑距离是具有对称性的，也就是说从字符串A到B的编辑距离，和从字符串B到A的编辑距离，两者一定是相等的。这个应该很好理解。
你可以把刚才那个状态转移表的行和列互换一下，再推导一下，看看得出的编辑距离是否还是1。我现在从理论上解释下这一点。这其实是由编辑距离的三种操作决定的。比如说，从字符串A演变到B的每一种操作，都可以转换为从字符串B演变到A的某一种操作。
所以说，从字符串A演变到B的每一种变化方式，都可以找到对应的从字符串B演变到A的某种方式，两者的操作次数一样。自然，代表最小操作次数的编辑距离也就一样了。
小结
我今天介绍了用于查询推荐的编辑距离。编辑距离的定义很好理解，不过，求任意两个字符串之间的编辑距离可不是一件容易的事情。我先尝试用排列来分析问题，发现这条路走不通，而后我们仍然使用了化繁为简的思路，把编辑距离的计算拆分为3种情况，并建立了子串之间的联系。
你不要觉得这样的分析过程比较繁琐，我想说的是，学数学固然是为了得到结果，但是学习的过程，是要学会解决问题的方法和思路。比如面对一个问题的时候，你可能不知道用什么方法来解决，但是你可以尝试用我们学过的这些基础思想去分析，去比对，在这个分析的过程中去总结这些方法的使用规律，久而久之，你就能摸索出自己解决问题的套路。
比如说，动态规划虽然也采用了把问题逐步简化的思想，但是它和基于递归的归并排序、排列组合等解法有所不同。能够使用动态规划解决的问题，通常只关心一个最优解，而这个最优解是单调改变的，例如最大值、最小值等等。因此，动态规划中的每种状态，通常只保留一个当前的最优解，这也是动态规划效率比较高的原因。
思考题
理解了动态规划法和状态转移之后，你觉得根据编辑距离来衡量字符串之间的相似程度有什么局限性？你有什么优化方案吗？
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精选留言
1、A、B都为空A转化为B或者B转化为A不需要做任何操作编辑距离为0（可以理解）
2、A增加一个字符a1，B保持不动，编辑距离为1。或者B增加一个字符b1，A保持不动，编辑距离为1.（初始为空的情况，可以理解）
3、如何A和B有一个字符那么情况就有点复杂了，具体如下：
（1）插入字符的情况，A字符串为a1的时候，B空串增加一个字符变为b1，或者B字符串为b1的时候，A空串增加一个字符变为a1。很明显这种情况下编辑距离都要增加1
问题：这时候如果b1和a1是一样的字符A或者B再插入后已经是一样的了也不需要再做转化了，这时候编辑距离是否应该就是1？下面的表格中A、B串的m与m处的插入情况与这里一样插入的编辑距离为什么是2？
（2）替换字符的情况，可以理解为不相等的情况下才替换所以此时编辑距离加1，如果相等不需要替换则编辑距离为0？
麻烦老师解答一下，谢谢！
比如mouse就是用户输入mouuse的相似字符串。
一个字符串有哪些相似字符串，无非是把该字符串进行一系列可能的变形编辑。比如把某个字母删掉，或增加一个字母，或替换该字母
最后看变形后的单词，是否是一个合法单词。如果是，则给用户提示。
原始单词或字符变形到一个合法字符串的步数，称为这两个单词之间的编辑距离。
但一个单词随着长度增加，其对应的合法单词，编辑距离计算将会很多。不可取。
所以需要最优解，找出用户输入词，编辑距离最小的目标词即可
2.分析到总体编辑距离是2，2，0，后边总结又说1，1，0
麻烦老师能不能把步骤分解解释一下
工作和生活中，我们一般把大问题分解为小问题，再把小问题 分解为容易解答的问题，动态规划 就是在 容易解答的问题中选择最优解。
黄老师 在文中提到：搜索引擎输入的搜索词的查询和推荐，就是对 缺失和错误的字符串进行操作，比如我们输入错误的字符串A，和正确的字符串B，需要把字符串A改到B，需要把字符串 分解到字符 的小问题，然后进行‘增、删、改’等操作，这里运用 动态规划 寻找最优解，不需要使用排列 这么复杂的方法 因为排列计算消耗的时间会很长，运用动态规划 很节能。
今天所得：解决问题的方法 （1）不断的分解问题，把大问题分解为小问题，把小问题 再分解...直至到可以解答的问题;（2）使用动态规划 求解 小问题的 最优解。
回答老师的问题：用编辑距离对字符串状态转移资源消耗的标记，会浪费很多 内存和运算资源，可以把 字符串 再分割成字符，把 二个字符串的不同的字符 掏出来，再用编辑距离 处理，应该会更快一下、占用资源也少一些，老师是否同意，也期待 黄老师的指正。
老师 可以用 斐波那契数列 来说明 动态规划的问题，更让我们易理解。
如果推导表格往下移动一格，字符串A变成mo，字符串B变成了m，这时应该如何推导啊？希望您帮忙解答一下，第一次实际接触动态规划，谢谢！
最近反复看这两篇动态规划，表格推导看的有点似懂非懂。望老师指导一下
但是老师，也有另外一个思路感觉和上面我说的有点相悖。比如字符 mouuse 最终要匹配上 mouse，正确的单词mouse已经是存在的，我们只是拿用户输入的字符去匹配现成的合法单词，所以用户输入的m(字符A)，字符B是已经存在的了，因此不存在字符A和字符B同时为空的情况，那么就只需要字符A插入m即可，如果是这样的话，m行m列理解起来最大编辑距离也确实是1才对！
本节：三种编辑距离 2,2,0。最后一个是替换。
替换操作理解，插入和删除不理解。老师帮忙分析下。
一种情况：
A字符为：m B字符为：mo
第二种情况：
A字符为：mo B字符为：mo
其它衡量字符串的相似性指标有：余弦相似性和欧式距离，之前做自然语言处理有所了解，但也不怎么清楚，麻烦老师解答下。谢谢
using namespace std;
void levenshteinDis(const char* str1, const char* str2, int m, int n,
int i, int j, int edist, int &mind) {
if (i == m || j == n) {
if (i < m) edist += (m-i);
if (j < n) edist += (n-j);
if (edist < mind) mind = edist;
return;
}
if (str1[i] == str2[j]) {
levenshteinDis(str1, str2, m, n, i+1, j+1, edist, mind);
} else {
// 删除或增加
levenshteinDis(str1, str2, m, n, i+1, j, edist+1, mind);
levenshteinDis(str1, str2, m, n, i, j+1, edist+1, mind);
// 替换操作
levenshteinDis(str1, str2, m, n, i+1, j+1, edist+1, mind);
}
}
int levenshteinDis(const char* a, const char* b, int m, int n) {
int mind = 0xfffffff;
levenshteinDis(a, b, m, n, 0, 0, 0, mind);
return mind;
}
/*
* 状态转移方程
* 1.当a[i] != b[j], min_edist(i,j) = min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1, min_edist(i-1, j-1)+1)
* 2.当a[i] == b[j], min_edist(i,j) = min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1, min_edist(i-1, j-1))
*/
int levenshteinDisDP(const char* a, const char* b, int m, int n) {
// 初始化dp数组
int dp[m][n];
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
dp[i][j] = 0;
}
}
// 初始化第0列
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (a[i] == b[0]) dp[i][0] = i;
else if (i != 0) dp[i][0] = dp[i-1][0] + 1;
else dp[i][0] = 1;
}
// 初始化第0行
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (a[0] == b[i]) dp[0][i] = i;
else if (i > 0) dp[0][i] = dp[0][i-1] + 1;
else dp[0][i] = 1;
}
// 填表余下部分
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1,
a[i] == b[j] ? dp[i-1][j-1]:dp[i-1][j-1]+1);
}
}
return dp[m-1][n-1];
}