你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
这一讲算是数学通识课的学习地图，我会带你俯瞰一下这门课的全貌，便于你系统地把握课程内容。
如果把人类的知识体系用学科来划分的话，数学可能是其最大的一个，因此要想在50讲左右的时间里介绍它的全貌是不可能的。
所幸的是，作为通识教育，你不需要学那么多，而且数学的各个分支，无论难易，从体系到研究方法，再到应用方法是共通的。
成年人接受数学通识教育，其实只要做到一点就够了，就是从理解初等数学到理解高等数学——（也就是）把自己对所有和数学相关的概念和方法的理解程度，从静态的、具体的，上升到动态的、规律性的。要达到这个目的，不需要讲很多内容，但需要一些线索。
下面我就简单介绍一下课程的内容和我选择它们来串联课程的理由。
第一模块讲的是数学究竟是怎么从一个猜想，得出推论，然后又产生实际应用的。
根据《时间简史》和《大设计》的共同作者蒙洛迪诺的讲法，人类早期的所有知识体系都是：“前科学”。这是好听的说法，难听的说法叫做“巫术式”的。
在所有早期文明中，唯一的例外是古希腊。但即使是在古希腊，我们所知的那些大学问家们比如泰勒斯、赫拉克利特、亚里士多德，他们的思维依然是前科学的，不是科学的，因为他们对客观世界的解释，加入了太多主观的想象。而在古希腊，真正具有划时代意义的人则是毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯是将数学从经验上升到系统性学科的第一人。他确立了数学的起点，也就是必须遵循严格的逻辑证明才能得到结论的研究方法，这就让数学从早期那些需要靠测量和观测的学科，比如天文学、地理学和物理学中，脱身出来，成为所有基础学科之上，带有方法论性质的特殊学科。
因此，我们会先从毕达哥拉斯学起，他也是整个第一模块的主线。那么我会怎么讲这个模块呢？
首先，我会讲毕达哥拉斯最出名的毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。
我们还知道，毕达哥拉斯最被后人所诟病的地方是否认无理数的存在，并假装视而不见，还把提出这个问题的学生害死了。
对此，今天很多人说他无知，顽固，拒绝接受真理等等。但是要知道，在当时人们所知的有限的数学领域中，毕达哥拉斯是这个体系的教主，他需要这个建立在逻辑之上的体系的一致性和完备性，而逻辑上的一致性也是数学最基础的原则。
因此，他发现无理数的出现会破坏他所理解的数学体系的完备性，动摇数学大厦时，他就采取了教主们才会采用的激进行为。
毕达哥拉斯真正的错误在于，他不懂得要维系数学这个体系，需要定义“无理数”这样的新概念。无理数造成的数学危机解决之后，数学反而发展了，并没有像毕达哥拉斯想的那样崩溃。
毕达哥拉斯另一个了不起的成就，就是算出了黄金分割的比例。从黄金分割出发，毕达哥拉斯发现了数学和美学的关系，并且开始用数学指导音乐。
概括来讲，我们在第一模块“数学的线索”里面，以毕达哥拉斯为线索，一方面将很多数学知识点串联起来，向大家展示数学是什么样的体系，另一方面，我们把毕达哥拉斯作为例子，说明数学发展和体系构建常常经历的步骤。也就是，从特例到引理再到定理、推论，最后到应用的全过程。
但是数学的发展又非单一线索，从一个点出发可能产生了很多并列的推论，因此我们不得不在课程中把并行的内容按顺序来讲。比如在第一模块中，我们在讲完黄金分割的应用后，又会回来讲和它有关的等比数列。
当你知道数学定理是如何从猜想到推论再到应用的过程，我们就进入课程的第二个模块“数的概念”，通过讲述人类对数字这个概念的认识历程，我会给你一个思维工具——“从具体到抽象”，从而解释为什么你从小学数字，但其实对数字的认识并没有提高，以及学数学多年都不能为己所用的原因。
照理讲，我们的认知水平应该随着所学内容难度的提升而提升，但是通常不是如此。很多人学到大学关于数字的概念时，对数字的理解方式，还停留在小学阶段。
比如，对于无穷大和无穷小这样的概念，很多人依然以为它们只是巨大的数字和极小的数字。事实上它们和我们日常遇到的具体数字不同，代表着变化的趋势和变化的快慢。因此从小学到了大学，大家对数字的理解就应该从静态到动态，但遗憾的是，很多人并没有这样的认识。
当一个人用小学的思维方式，学习大学的数学内容，一定会觉得难以理解，于是对数学敬而远之。这并不能怪学习的人，而是怪很多数学课在设计时，没有把听众当作未来的主人，而只是把他们当作未来的工匠，教给他们一些具体知识让他们干活，而非更高级的思维认知。
因此，在第二模块中，我们会突出数学作为“抽象思维”工具的作用，比如人们从具体算术到抽象代数，用到解方程、虚数等等，为什么要学习它们？因为它们的角色是人类造出来的抽象工具，在现实生活中并不存在，但是有了它们，现实的问题就好解决了。数学通识教育，一个重要目的就是让大家习惯于使用这样的抽象工具。
第三、第四模块的内容集中在我们熟知的几何和代数。在几何的模块中，我们会以它为例子介绍什么是公理化的知识体系，它是如何建立的。
在代数的模块中，我们会重点介绍函数和向量。函数这个概念的发明，把我们人类的认知从个体上升为整体，从单点联系，上升为规律性的网状联系。
比如同一道题目，从小学到大学，理解是不同的，这是一个从单纯理解数字大小，到理解它方向性的过程。
在小学，如果我们看到一道题，说张三以50公斤的力拉箱子，李四以30公斤的力拉，拉箱子的力是多少？答案很简单，就是80公斤。但是到了初中，我们有了负数的概念，你就要问他们拉箱子的力是相同的还是相反的，如果是相反的，只有20公斤。
再往上学，我们就要问他们拉箱子的力夹角是多少度，在90度时和120度时，受力可是不同的，这就进入到了大学思维。
向量和线性代数，就是把数字从单纯的数值，变成了有方向的数值。所以，我认为这两大知识点，最能代表代数模块的内涵，可以帮助大家提升认知。
第五模块是微积分，这已经是高等数学的内容了。但是，我们其实在第二模块里已经不知不觉地把微积分中最难的内容提前讲了，因此在这个模块，大家反而会觉得简单。
对于微积分，它和初等数学的工具有什么不同呢？人们开始对把数学从关注静态的关系，变成了对动态规律，特别是瞬间规律的把握上。理解这一点，并且主动应用到工作中，是我们学习微积分的目的。那些很难的概念，解题技巧，其实毫不重要。
好，前面你学习了数学公理、数字、几何、代数和微积分，提纲挈领地回顾了数学发展的历史，这些分支有个特点，就是能给出问题唯一的答案。
但是到了近代，很多现实问题很难有完全确定的答案。于是，为了研究不确定世界的规律性，概率和统计发展起来了。数学的这个分支在今天我们充满不确定性的世界里非常重要，也是所谓的大数据思维的科学基础。
纵观数学发展的历程，以及我们应该具有的数学思维历程，我们可以看到这样的趋势，从个案到整体规律，从个别定理到完整的知识体系，从具体到抽象，从完全的确定性，到把握不确定性。
无论是在整个的课程中，还是每一个模块之内，我们都能看到这样人类认知升级的过程。当然，我觉得这也应该是我们自己的认知升级过程。
在课程的最后，我们会介绍数学和其它学科的关系。这样能够在完整的知识体系中，更好地理解数学。接下来，我们就先从毕达哥拉斯讲起，从数学的起点开始我们的数学之旅。
用户留言
陈狄
0 赞义务教育给每个人提供了公平的学习机会，这是好处。缺点就是课程的设置目的是为了高考，大家就在从小开始的备战之中逐渐磨灭了对于各个学科的兴趣。以致于现在毕业工作了以后，自己主动学习的时候，突然发现了某一门学科竟然如此好玩，而在当年学的时候则痛苦不堪。一切都是源自打开方式不对，兴趣才是最好的老师。10:43
Dx
0 赞我真正学习数学是在大学毕业之后。那一次我学习的宗旨是，不再背诵数学公式，而是跟着书本推导所有定理。这个过程既痛苦又美妙。痛苦是因为，数学是一门对智力要求很高的学问，推导过程中遇到的困难往往会让我“怀疑人生”。美妙是因为，当我扫清障碍，完成证明之后，那种喜悦是难以言表的，我会对这个世界的设计之巧妙深感敬畏。映像比较深刻的是，推导欧拉公式时，尽然得到了三角函数和复数有关这个结论。那一刻，我浑身起了一层厚厚的鸡皮疙瘩。这也让我认识到，我们的世界真的不简单。数学是一套可以不断延伸的庞大体系，游历其中，常能获得顿悟，进而重塑我的世界观，优化我的方法论。这次能有幸跟随吴军老师欣赏数学之美，必能获得更高维度的认知。10:16
单-读
0 赞昨晚还在和老师谈我对数学的担心，因为没有机会系统地学习高中数学，对工作多年又回到学校读研究生的我来说，几乎是个心病，一路跟着吴军老师学下来，收获很多，感谢吴军老师！9:51
小黎
0 赞以前学习数学的，就发现首先制约自己学习的是思维方式，可以根据例题解开相同的题目，但是不能理解，很难做到彻底理解。花费很大力气去理解，总是有种到了边界上的感觉，后来才明白是底层思维的局限。9:51
anjinma
0 赞真的挺好！追着吴老师的课一路走来，现在又具体从数学给我们打开了一扇窗，我看了下挺深的，不知初中的孩子能不能适用？是不是太高深了？9:51作者回复应该可以。10:14
山阳兄
0 赞第一模块:数学的线索，从猜想到定理到应用。第二模块:数的概念，从具体到抽象。第三模块:几何学，一切源自公理和逻辑。第四模块:代数学，用数量描绘世界。第五模块:微积分，动态的世界观。第六模块:概率、统计、博弈论，从确定到不确定。第七模块:数学的基础作用，与其他学科的关系。我现在是一名统计学专业的大三学生，所以对第六模块的内容最感兴趣，统计学也是成为一名数据分析师所必修的课程内容，我的梦想就是成为一名数据分析师，用自己的头脑和专业知识工作生存下去，超级期待接下来的课程！谢谢吴军老师！9:47
张建伟
0 赞之前看了吴军老师《数学之美》一书，感觉很震撼，以前觉得是边缘学科的数学竟然变成了解决问题的最美路径，这彻底颠覆了我的认知。我确实喜欢数学，不过总觉得数学和实际问题越来越远，这次课程，随着吴军老师的讲解，终于逐渐理解了数学以及逻辑思考能力的重要性和实际价值。最近也很想学习学习关于数学的知识，恰好吴军老师出了这门数学通识的课程，久旱逢甘露的感觉，第一时间定制了这门课程，从这门课程的设置，可以看出吴军老师对直观到抽象，从点到体系，从猜想到推论到应用的这些逻辑过程的重视，我想这也是我一直欠缺的一种能力，希望通过这门课程对数学加深了解，锻炼自己的逻辑推理能力，通过数学的学习掌握一种认识世界和解决现实问题的方法论，感谢吴军老师！9:08
边鱼
0 赞看了吴军老师这个排课思路和课程表，很有感触！ 我们都在学校都学过数学，我对数学的初体验就是公式、计算，然后一个模块接着一个模块学习这些生硬的存在，能否拿高分另说，要想激发学生对学习数学的兴趣，就真不敢奢望了！ 而吴军老师这显然不一样！当然现在的我早已不是当年的我，知识存量不一样，看待事物的角度和结论也不一样，但是，纯粹就教学计划和技巧而言，我们的数学老师是否应该反思一下，怎样让学生爱上数学，至少不反感数学？ 我是一名高中生的父亲，我亲眼见到很多同学见到数学就“望风而逃”，与咱们这见到吴军老师的数学通识课就“一拥而上”形成鲜明对比，这可如何是好？8:35
佛祖门徒
0 赞即使计算机专业研究生毕业，脑子里对于数学也完全没有这样完整的认知，基本处于碎片化的工具思维，需要用到什么相关知识的时候，着急忙慌的临时抱个佛脚，所以这么多年过去了，一直以为自己入错了行。希望通过这次的课程学习，能够重新认识和理解数学，从而建立起运用数学思维的思考框架。8:34
德先生
0 赞感谢吴老师的课程！曾经读过老师的《数学之美》，有的地方怎么都读不懂，是我的境界不够，不过我不担心，至少我能够从这本书里看到数学的魅力。有一位老师曾告诉我越是简单的数学，越需要对知识理解深刻的老师老师教，以便于在孩子小的时候就能打好学习数学的基础，听完这一讲，越发认同这个观点。我的数学在小学的时候还行，但越往后越觉得学起来吃力，在学习数学时发现代公式是最简单方法，尤其是各种参考书上有很多解题技巧，用起来确实对解题有帮助。但开头的那位老师对我说学习数学不能只是埋头背公式，公式太多容易背串，更多的是思考题目之后做饭的道理，逻辑，思路。我想从这门课里学到这样的思路。7:46
启航
0 赞学习《数学通识50讲》感言吴军老师好：能够从今天开始跟着您学习《数学思维50讲》心存感激，看到您从一开始就开宗明义为我们描述了人类数理逻辑发展的整条脉络为同学们理清思路，并从人类数学数学的发展的角度，搭建了一整套能够在未来的道路上不断精进的思维体系深表认同。因为这不仅是一次为成年人在数理逻辑上的补课，由于“得到”和“罗辑思维”本身的影响力原因，您的付出可能对整个华人世界的教育方式上产生巨大的涟漪效应。至少从我学习的角度上讲，我要做到一下几点：一是建构和理解；二是融会和贯通；三是应用和传播。将您的思想发散出去，影响自己的子女和身边更是的人。让他们在更小的年纪就接受到更为纯正的数学思想洗礼，打下牢固的科学思维基础。过去总有一些虚无缥缈的想法，想要抓住每门学科的主要脉络，今天听到老师讲，要开设一系列关于科学的通识教育课程，真是久旱逢甘霖一样的畅快。人类对客观世界认识不断向前，知识体系越来越庞杂，有吴军老师这样的智者为我们引路，同学们的头脑必然越来越清明。5:53
飞飞
0 赞这个课早出半年我的Calculus 3 就不会挂科了。1:11
罗怀昭
0 赞吴军老师，为什么我们从小教育的整个数学课程里，不边介绍数学的体系和结构，边学习数学要点，以及逐步搭建数学思维的阶梯。我从小就很喜欢数学，基本名列前矛，拿过一些奖，几乎能把课本和试卷上能解的题都解了，很享受那种在抽象世界的逻辑。但是，等毕业后工作，就离数学渐行渐远，最后小学数学的知识就够用，偶尔用用初中的，就已经很高级。虽然脑袋里有数学思维，但零散不成章法、有材料却不成体系，也是感觉悲哀和可惜。就在您课程发布之前，需要找助理，并解答关于转动轴的一些问题题目，又激发了我，各种回顾和查询，最后基本解决答案。但是考虑到时间和工作，所以没能申请。不过，接下来的课程，不仅是可以带着我回顾十几年的数学学习，还可以将我之前没有的数学大厦重新树立起来。0:55
Ku
0 赞俯瞰数学地图，宛如综观人类文明的发展洪流，脉络清晰，学习不迷失。我从念大学之初就教不少高中生数理科目，因此即便念的非理工学院，对于高中以前的数学概念和逻辑，仍然相当熟悉。在教的过程中，我也反覆审视我学过的内容，然后重新编排容易理解的架构，再教那些迷茫的高中生。对我来说，一份好的学习地图，比起任何解题技巧都来得重要。《数学通识50讲》整个课程脉络，从猜想到定理，从数、几何，再到代数，扼要地把数学的核心浓缩在50讲之中，便于按图索骥，让曾经迷失的学子重燃希望，让钻研其中的好手重新爱上。对我来说，不仅能优化我的家教课程，也能在数十年后，将这份精美的课程大纲，带我的孩子们按图索骥、爱上数学。在得到，随时等着吴军老师开讲，再忙都要花时间阅读、写留言。0:49
Chelios chen
0 赞从静态到动态，从具体到规律，体现的是数字所在的场景与边界不断扩大给我们带来认知与应用上的不断提升所形成的必然结果。0:40
徐向聪
0 赞分享一下我对数学部分的理解：数学要求你，把不会的问题转换成你会的问题。数学就是发现规律，运用规律。可重复的就是规律。抽象就是留下一个观察角度，去掉其他观察角度（概率在时间上看：不同时发生则拆成步骤“×”。同时发生则离散成各部分“＋”）数学不做题，纯属胡扯皮：数学的刻意练习在于流利，多做题，专门找自己不怎么会、但是努努力又能做出来的题目做，一直做到很流利为止，再去做更难的题目。这种有针对性的重复训练效率最高。要自己在家下功夫，把握自己的节奏，别管老师讲到哪里。所谓维度，从数学上讲就是你用了多少个变量。数学想要简化，复杂的数学题是由简单的数学题组合出来的，解题的思路是简化、形象化、从自己更为熟悉的题目出发。数学家研究数学，只有最后写出来的证明才是纯逻辑，思考的过程其实是直觉的，需要靠各种形象化的例子。0:38
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY1#果然，第1讲就有大收获！1.从猜想到推论到实际应用这是所有实验、调研、行动的指南。它的好处是，充满警惕、充满怀疑、保持客观。一件事做不做，怎么做，我们不要争吵，不要经验主义，我们提出来，去验证。2.代数、方程、从具体到抽象掌握这套思维，你就能能建立一切联系。我以为，代表的是一个东西的特征等于几，而不只是一个数。盖一座房子，是把房子里的各个特征，高啦，宽啦，能承受的重，用一个符号去代替，之后在工程世界进行大量演算。编程也是类似。3.向量和线代，让我拓展维度这绝对不是我夸大，向量能让所有数学一下进入到立体的环境。线代更神奇，就像从二维世界进入三维世界，甚至四维世界一样。向量我还能应对，线代我学得就有点吃力了。期待重新学。4.微积分我当时对微积分的学习，还是停留在课本，所以没有上述那么深刻的体会。但技术如此，我真的可以说，学微积分，就能感受到数学是精确的，数学是完美的，数学就是可以把这个世界一层一层一层编织或者破解开的。好玩，我们下一讲见。0:36
陈C
0 赞刘润老师说过，不抽象，就无法深入思考。而数学在我看来，可能就是终极的抽象思考了：一方面抽象是数学的“基因”，当人们关注数量、形状而忽略其他一些性质的时候，抽象就已经开始了；而另一方面，数学的抽象又并非随意发挥，而是有规律可循，有规则可依，既保证了大家能够用同一套话语体系讨论，又让数学的成果能够稳定流传。而数学的一个很有意思的地方，在于它可以在抽象的基础上再进行抽象。比如方程，就是在数字与运算符号组成的等式的基础上，再进行抽象的提取；而在面对众多类似的方程时，我们还可以进一步对其进行抽象，提取其规律形成函数。数学不仅是有用的工具，更是思维方式，而且还富有乐趣。0:33
donwe
0 赞我对数学的理解就是小学生状态，所以对数学一直有畏惧感。其实是思维状态的“沦陷”，没有能够抽象。从简单相加，到有了方向的向量，这就是一种动态变化并不断抽象的过程，要学会跳出来了解数学题目到底是在问什么，需要什么样的思维状态。11月3日 23:59
斜阳
0 赞成年后对数学产生兴趣，是因为慢慢发现一个奇妙的事实，小时候看起来很奇怪的公式，它们背后居然都是有物理意义的，于是慢慢相信数学就是一套语言体系，它是我们理解世界的方式，从历史上看，有很多数学定理也都是我们熟悉的物理学家发现的，数学其实距离我们并不遥远，它们都是在现实中抽象出来的，也许了解每个公式的现实来源才是学习数学的最好办法，我开始相信，数学本身也是一门历史学。11月3日 23:48
金戈铁马
0 赞作为成年人，从现在开始重新学习数学，或许的确有点晚了。但是了解数学知识体系建构的原理，掌握数学的思维方式，学会运用数学公理来解决工作生活中的现实问题，还是非常有必要的。特别是当真实世界的现实情况，和我们头脑中的想法不一致的时候，通过自己做调研，再运用数学逻辑推理的方式进行验证，找到更加合理的解释，这其实就是一种能力的提高和思想的进步。所以，学习数学的目的，不仅仅在于掌握一门学科的知识，更是在于学会运用数学的思维、站在更高的维度来看待问题、审视自身；这也有助于拓宽一个人的视野，进而锻炼出不一样的格局。11月3日 23:42
毕小喵
0 赞#数学助教#第一模块：从猜想到定理到应用。讲的是数学推理的逻辑；第二模块：数的概念，从具体到抽象。数学是许多看似毫不相关的现象背后统一的逻辑。这一模块讲虚数和无穷小等高等数学的概念，真实世界可以抽象到数学，但数学可以不依赖具体的事物而存在。第三模块：几何。讲了欧氏几何和非欧几何，进一步了解公理化的体系。这个体系逻辑严密，但其实我个人觉得是挺反人性的。人的大脑默认模式也许不是理性和逻辑。但正因如此，这些数学体系闪耀的逻辑光辉才那么耀眼。第四模块：代数。讲函数、向量和线性代数；这些东西简直是我所在的工程科学的ABC，学的时候一头雾水，用的时候发现，大宝天天见。第五模块：微积分。高数、线代、概率论这三门课，是很多人大学的噩梦，但其实它们只是打开了进入许多工科和理科世界的大门，是最简单和基础的课程。理解它们的概念，并不需要很难的解题技巧。11月3日 23:41
侯雅琦
0 赞#数学助教#＃知识地图比知识本身更重要＃ 最近自己在学习理论物理的一些知识，猛然发现大学时代一些学科之间的联系。学习了高等数学，就能继续学习概率统计，理解了微积分为基础的概率密度分布，就能进一步理解不确定性和波函数。线性代数不是简单的矩阵和行列式，而是一个广大的线性空间，有了这个武器，理解量子力学也就不难了.这些学科和知识之间的联系和脉络，是我在大学本科学习课程时并不知道的，所以当时的学习是盲目的，离散的。不知道学这些知识为了什么，能有什么用，自然学起来无聊乏味。如果当初上课之前就能有位老师高屋建瓴，帮我梳理学科之间的脉络，这门课程和其他课程之间的联系，这门课程在整个知识地图上的位置，这样的老师值得尊敬和感谢。吴军就是这样一位高屋建瓴的老师，当我看到吴军老师在讲具体数学知识之前，先讲了数学的知识地图，我的内心是狂喜的，这正是我们学数学过程中缺少的东西。当有了知识地图，你就有了上帝视角，你会看到所学知识在地图中所处的位置，以及它与其它知识之间的区别和联系，会有一种打破墙壁的通透感。11月3日 23:30
Hanskeng
0 赞如果说数学可以当作人类认知进化史的辅助，那人类进步无一例外与数学的进步能产生关联从简单的一二三四，到有零的概念，从有理数到无理数，数学的发展是渐变的过程。每一次发展都能对现实起到非常大的指导意义。从个体到整体，从具象到抽象，从确定到不确定性，试问哪一个能离开数学？11月3日 23:25
Allelujah 朱磊
0 赞从老师的讲解中，我能够体会到：人类对数学这一工具的不断添砖加瓦、更新迭代，目标都是能通过数学的演算，尽可能逼近更广阔、更真实的世界。也即是说，「数学」本身的*动态*发展，其实在相当程度上反映了人类认知升级的过程，以及其上 人类文明的发展历程。11月3日 23:13