你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们的第一个模块，会为大家介绍数学的线索，也就是它从猜想到定理再到应用的整个过程。我会以毕达哥拉斯定理为例来展开。
勾股定理大家都不陌生，它讲的是直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方。
a²+b²=c²但是，这个定理在国外都被称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）是古希腊著名的数学家和知识的集大成者。
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接下来有两个疑点，你的中学老师可能在刻意回避或者说没有讲清楚，而它们又实在太重要了。
第一个疑点：这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了？
我们过去的教科书里讲，据汉朝的数学书《周髀算经》的记载，早在公元前1000年的时候，周公和商高这两个人就谈到了“勾三股四弦五”。他们的年代比毕达哥拉斯早，因此教科书中讲是中国人商高最早提出这个定理的，于是称之为勾股定理或者商高定理。在线版唯一充值微信：web699250。
我们先不说《周髀算经》里所记载是否靠谱，就算靠谱，它也只是记载了一组勾股数（即直角三角形直角边和斜边都是整数的情况），并不能说明发现了其中的规律。因为比周公和商高早1500年，古埃及人在建造大金字塔时就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了。
如果再往前推，美索不达米亚人早在公元前18世纪左右就知道很多组的勾股数（包括勾三股四弦五），而且留下了实物证据。比如耶鲁大学的博物馆里就保存了一块记满勾股数的泥板。
接下来就产生了第二个疑点，古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢？
简单地讲，所有这些古代文明不过是举出了一些特例而已，甚至没有提出假说。我们在后面的课程中会看到，很多时候特例中反映出的规律和后来真正的定理可能是不同的。所以，这种特例就没有意义。
如果像美索不达米亚人那样举了很多特例，而且没有发现例外，是否可以认为他们最先发现这个定理呢？******是否定的，因为光举例子还是不够的，还需要做出一个明确的规律性的描述，这种描述我们可以把它称为命题。
一个命题在没有证明之前，只能算是猜想，比如著名的哥德巴赫猜想。而总结出一个猜想和证明定理依然是两回事，当然这是比举几个例子进了一大步了。
再接下来，猜想如何证实呢？在这一点上数学和自然科学完全不同。那么我们就要说到数学和自然科学的三个本质差别，也是这一讲最重要的三个知识点，它们能够帮助我们理解数学特殊的方法和思维方式，或者说了解数学的推理世界与我们真实的测量世界的区别。
1.测量和逻辑推理的区别
我们知道几何学源于古埃及，当地人出于农业生产的考虑，对天文和土地进行度量，发明了几何学。但是，度量出来的几何其实和真正的数学还有很大的差距。
比如说，古代文明的人们确实观察到勾股数的现象，他们画一个直角三角形，勾三尺长、股四尺长时，弦长恰好就是五尺长，于是就有了勾三股四弦五的说法。
但是这里面存在一个大问题，我们说长度是三尺，其实并非数学上准确的长度，用尺子量出来的3，可能是3.01，也可能是2.99。这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了。
为了让你更好地理解这一点，我们不妨看这样一个例子。
图中左上方有一个8x8的方格，它的面积是64，这没有疑问吧？我按照图中所示的粗线将它剪成四部分，两黄两灰，再重新组合，就得到了一个13x5的长方形，它的面积是65。请问面积是64的正方形怎么重新组合一下面积就多出1，变成65了呢？
当然我们知道64不等于65，这里面一定有问题。那么问题在哪儿呢？其实，问题就出在再拼接时，它们并不是严丝合缝的，只不过缝隙较小，大部分人看不出来罢了。
在数学上，观察的经验可以给我们启发，但是它不能成为我们得到数学结论的依据，数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来。
讲回到勾股定理，一个工匠注意到勾三股四弦五这个现象，和提出一个具有普遍意义的定理是两回事。
我们通过观察还可以发现，如果勾3.5，股4.5，那么弦大约是5.7，这个“大约”的误差只有万分之一点六左右（弦长大约是5.700887），古代任何测量都发现不了。这时如果你说勾3.5股4.5弦5.7，从物理上来说基本正确，但是在数学上就错了。这是第一个差别，就是测量会出错，但推理不会。
那么，如果我们抛开误差的影响，是否可以认为早期文明的人们发现了勾股定理呢？也不能，只能说他们观察到一些现象，而非发现了定理。这涉及到数学和自然科学的第二个主要区别，证实和证明的区别了。
2.用事实证实和用逻辑证明的区别
在自然科学中，一个假说通过实验证实，就变成了定律。比如说与牛顿同时代英国的大科学家波义耳同法国科学家马略特一同发现：一个封闭容器中气体的压强和体积成反比。这很好理解，因为体积压得越小，内部的压强肯定越大。这两个人通过很多实验，都证实了这件事，于是这个定律就由他们两个人的名字命名了。
但是，如果有一个非常爱较真的人一定要抬杠，说你们证实了所有的情况（各种体积和压强的组合）吗，你们敢保证没有例外么？波义耳和马略特肯定会说，我们不敢保证没有例外，但是这个规律你平时使用肯定没有问题。
果然，后来人们真的发现当压强特别大时，这个定律就不管用了。但是没有关系，在大多数条件下，这个定理依然成立，今天人们在做产品时，依然可以用。
事实上，今天几乎所有的自然科学的定律和理论，不仅存在一个被推翻的可能性，而且有很多的例外。比如，证实引力波的实验，也只能保证99.9999%的可能性结论是对的。
但是，在数学上，用实验来验证一个假说（在数学上常常被称为猜想）是不被允许的，我们在后面介绍无穷大时，大家还会看到这甚至是做不到的。数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它必须完全正确，没有例外，因为但凡有一个例外（也被称为反例），就要被完全否定掉。这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。
今天人们利用计算机，在可以验证的范围内，都验证了这个猜想是对的，但是因为没有穷尽所有的可能，就不能说猜想被证明了。因此，我们依然不能在这个基础上，构建其它的数学定理。
所以，数学世界和测量世界第二个区别就是，数学理论必须要证明，保证没有例外。
3.科学结论相对性和数学结论绝对性的区别
为什么数学要那么严格，它的定理为什么不能有任何例外，更不能特殊情况特殊处理呢？因为数学上的每一个定理都是一块基石，后人需要在此基础上往前走，试图建立一块新的基石，然后数学的大厦就一点点建成了。在这个过程中不能有丝毫的缺陷，一旦有，整个数学大厦就轰然倒塌了。
还是以勾股定理为例，它的确立，其实教会了人们在平面计算距离的方法，在此基础之上，三角学才得以建立，笛卡尔的解析几何才得以确立，再往上才能建立起微积分等数学工具。此外我们这个模块后面会讲到的无理数的出现、黄金分割，都和它有关。
人类今天发明的各种科技，像无线通信、航天等等，依赖于这些定理。如果出现了一个违反毕达哥拉斯定理的反例，不仅是这个定理失效了，而且整个数学就完蛋了，我们的科技也就时灵时不灵了。因此，数学上的每一个定理，必须也只能通过逻辑推演来证明，用多少实例来验证都没有用。
理解了数学定理确立的过程，以及它随后产生的巨大影响，我们就清楚定理和定理证明在数学中的重要性了。正是因为这个原因，西方才将这个定理命名为毕达哥拉斯定理，以彰显他的贡献。是他明确提出这个定理，并且严格地证明了它，从此毕达哥拉斯定理才成为了数学上普遍的规律。
有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。在数学上，当一个新的定理被证明后，就会产生很多自然的推论，每一个推论可能都是一个重大的发现，甚至能带来人类认识的升级。毕达哥拉斯定理的一个直接推论，就是无理数的存在。这个内容我们下一讲再讲。
要点总结：
数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立在逻辑基础之上的。数学也不接受大部分情况正确，但是包含例外的定理。这样整个数学大厦的基础才得以稳固。
数学定理确立的过程大致是这样的，一开始可能只是大家注意到几个特例，然后发现很多例证提出猜想，猜想经过证明就成为了定理，定理会有推论，在此基础上，会有新的定理和应用。
思考题：
在物理学中，从不同的角度理解光，会得到粒子说和波动说两种解释，数学从两个角度证明一个定理，会不会得到不同的结论？
用户留言
侯雅琦
1 赞＃数学助教＃＃补充知识点：哥德巴赫猜想＃ 本节课吴军老师提到一个名词：哥德巴赫猜想。到底什么是哥德巴赫猜想呢？科学界流行着一句话，来感受一下哥德巴赫猜想的地位：「数学是科学的女王，数论是女王头上的皇冠，而哥德巴赫猜想则是皇冠上的一颗璀璨的明珠」。 哥德巴赫猜想之所以著名，是因为它几乎是数论里面「最容易理解」的猜想了，但就是至今未被证明，所以它一直是「猜想」，而不被叫做「定理」。哥德巴赫猜想任一大于2的偶数都可以写成两个素数之和，比如：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7等等。就这么简单。证明发展历程1919年挪威数学家布朗证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且这两个数的「素因数个数」都不超过9。这里，「素因数个数」就是指进行质因数分解后能分成多少个因数相乘。比如，15=3*5，15的素因数个数就是2；30=3*2*5，30的素因数个数就是3。所以布朗的结论也可以简记为“9+9”，这里的9就是素因数个数。这时候，如果有办法把这两个9都缩减为1，则证明了“偶数=质数+质数”，也就是证明了哥德巴赫猜想。随后，“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“3+3”，“2+3”……陆续被证明，在这条路上走得最远的人是我国的数学家陈景润。 1973年陈景润成功证明了“1+2”，这是目前最接近哥德巴赫猜想的证明，“1+2”因此被成为“陈氏定理”。0:11
唐学长
0 赞科学与数学的区别:科学源于观察测量，容许有误差，可以接受模糊的精确。数学源于逻辑推理，不容一丝误差，要求绝对精确。科学用事实证实，特定条件成立即可，容许例外的存在。数学用逻辑证明，不容一个例外，要求绝对完备。科学结论是相对正确，数学结论是绝对正确的。换言之，科学定律是可证伪的，数学定理是不可证伪的。以前只是把它们称作理科，从未如此仔细分辨过科学跟数学，根据他们的特点，想到一个比方。科学大厦是金字塔型的，数学大厦是倒金字塔型的。共同点是我们都可以站在巨人的肩上，不同点是科学大厦出现漏洞，我们修修补补先将就用着，直到找到替代的砖块，而数学大厦一旦出现任何破绽，就是整个大厦的直接崩塌。14:09
吴翔
0 赞吴老师，我想补充一下:根据“证明日追认”原则，勾股定理（毕达哥拉斯定理）古希腊的发现日是公元前550年，而古中国的发现日是公元前600年。相关论文可以参看《论古代科学发现优先权的确立原则与判定标准——以勾股定理与毕达哥拉斯定理的发现为例》。14:00
robovoid
0 赞#数学助教#波粒二象性，波动是能量，粒子是物质。比如光子，既是能量也是物质。按照经典的物理 化学，能量守恒 质量守恒。爱因斯坦的E=MC^2把二者统一，物质和能量可以转换。从某种角度来说，也就是一个东西。有幸听过张首晟教授的物理启蒙课，设定很有意思，如果人类文明面临末日，需要再造方舟，你手上只有一张纸，记录什么能够让文明最快重建。空间有限，只能选最震撼的东西。虽然是开放性问题，不过还是有很科学的“******”。3个公式，1 E=MC^2 物质能量的统一。2 S=sum (-p*log p)，信息熵，用来对信息量化。3 ∆x∆p>=h/2，海森堡不确定性原理，无法预知未来13:09
robovoid
0 赞#数学助教#数学定理从2个角度证明会是相同的结果。定理是通过真命题（公理或者其它定理），经过规则推导，被证明正确的命题或公式。如果通过2个角度得到不同的结果，就存在矛盾性问题，不满足定义。数学定理是在公理系统里的。公理系统简单来说，就是用不相互矛盾（相容） 最少数量（独立）的命题来作为基础，可以在此基础上推导出系统里的全部定理（完备）。比如欧几里德几何的5条公理。同一个定理可以有不同的证明方式，是由于每次出发点和路径不同，但最终殊途同归，如果追根溯源，最开始的起点也相同（公理）。可以把证明一个命题（定理）的过程想象成一场由南向北的旅行，目标定理是北极点，我们可以从地球上任意一个位置出发（证明的起点），选择任意的方式前往。无论用何种方式，只要向北最终会到北极点。把南极点当成公理系统里的那几条公理，虽然出发点不同，归根结底是通过公理推导出来的。为什么所有定理不都从公理出发？因为没有必要每次都从头再来，站在巨人肩膀上是更有效率的方式。12:37
风清扬
0 赞这个问题在课程里已经说的很清楚了，科学结论相对性和数学结论绝对性是有区别的，所以即使在物理学中，从不同的角度理解光，会得到粒子说和波动说两种解释，但数学从两个角度证明一个定理，是不会得到不不同结论的。我还记得高中物理老师说过，数学它就是个工具，要大胆的用，来来去去都时那么些东西，而物理则不同，换一个角度，意思就不一样了，好玩的东西就出现了。10:09
小敏
0 赞在我们日常生活中总是说世界上没有完美的东西。可能数学就是这个世界上唯一能够完美一个学科。这种完美其实并不是说数学这个学科本身的完美。而是说这种思考方式的完美。我们在日常生活中或者工作中解决问题，都是喜欢说条条大路通罗马，能够寻找出各种各样的方法去解决生活中不同的问题，可能有时候效果好一点，有时候效果差一点，但是最终我们以目的优先是为了去解决问题。但是数学给我们的一个思路就是我只能通过逻辑证明，我要得到一个能够完全成立的定理。有时候这种限制性的思维，就可以激发人们的一些创造力和往深去思考的一个力度。我觉得这是数学对思维一个非常重要的贡献。9:59
心平气和
0 赞数学从两个角度证明一个定理，不会得到不同的结论。这是数学的美感之一。如果得到不同结论，说明命题出错了。听了这节课，忽然有种心潮澎湃的感觉。数学就是这么特殊，就是这么追求完美。9:32
何飞龙
0 赞根据今天学到知识，数学理论必须是绝对的，没有例外。换句话那就是说不管是从哪方面证明，都必须是一致的才对！从不同的角度推断一件事的现象或者是一道题的******确是需要的，不管是******还是工作。根据老师在信息论所讲的最好是从纬度验证9:25
王彦宁
0 赞以前认为我们国家的很多发现、发明超过了西方文明很多年，确实增加了我们 的自豪感。学了吴军老师的课程，让我更加客观的看待这些发现、发明。今天的课程让我觉得西方文明与东方文明的不同之处之一，就在如何上升从现象上升到理论，如何架构起理论大厦，中西方的逻辑是不一样的。发现一种现象并不难，发明一种东西也并不难，难的是在发现现象、发明东西之后，形成普遍规律、定理，指导发现更多现象、发明更多东西。就像中国在世界最早发明******，但在这基础上，并没有发明后来的利炮，因为虽然掌握了******成分的配比，但不知道为什么这种配比能够制成******，就无法进一步造出更好的******以及更先进的大炮。这也让我感到，最基础的理论发展了，人类才能走得更远，在这种基础上的发展，也会更深厚，徒有几项看上去很炫酷的技术、成就，并不能保持持久的领先。我们人生也是如此，在学好数理化、走遍天下都不怕的年代，更多的是强调数理化的实用功能，今天我们要取得持久发展的动力，基础性、通识性知识就显得更加重要。8:32
海龟篮球王
0 赞数学是建立在逻辑上的，是严丝合缝的。如果出现同一个定理有多种解释，那就违背了这一原则，即是这多种解释互为反例，那按照吴军老师说的，那就可以做到相互否定，即这都不是定理了。转载：波粒二象性（wave-particle duality）指的是所有的粒子或量子不仅可以部分地以粒子的术语来描述，也可以部分地用波的术语来描述。这意味着经典的有关“粒子”与“波”的概念失去了完全描述量子范围内的物理行为的能力。爱因斯坦这样描述这一现象：“好像有时我们必须用一套理论，有时候又必须用另一套理论来描述（这些粒子的行为），有时候又必须两者都用。我们遇到了一类新的困难，这种困难迫使我们要借助两种互相矛盾的的观点来描述现实，两种观点单独是无法完全解释光的现象的，但是合在一起便可以。” [1]波粒二象性是微观粒子的基本属性之一。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。波粒都是抽象出来的概念，所以会有两套解释。波长λ和动量p联系为：λ=h/p=h/mv；m：质量，v：频率，h：普朗克常数。这就是数学唯一性。8:28
徐向聪
0 赞谈一谈数字的从静态到动态的演变：小时候我们学过的算式，里面都是数字，但在函数里会出现很多英文字母，这些英文字母不是一个确定的量，它叫做“变量”。我们第一次听说“变量”，会感到不习惯。因为我们习惯于数字是精确的，每一个数字都是一个确定的量，它是不变的。其实，函数反映出来的还是不变的、确定的东西。准确的说，表达的是量和量之间的确定性关系。当我们关注量和量之间关系的时候，更容易发现一个事情的内在规律，或者说，更容易发现一个问题的本质。这就是函数的一个作用。函数能够描述这些数据和数据之间的关系，它就比我们单独把数据摆出来，更容易看到数据背后的规律。其中，列出函数式子的关键，也是寻找量和量之间的确定性关系。8:27
夜巡的伦勃朗
0 赞我一直都认为数学是上帝的语言，精准，简洁，美丽。这次有机会要好好补课。上学的时候有时最开心的并不是放假的时刻，而是奋笔疾书，历经千难万险做出一道数学题和一道物理题的时候。相信很多同学都有这样的感觉，那种自豪，自信，幸福感油然而生，是智力的彰显，是自我价值得以体现的时刻。（我这么说可能有些夸张，但是真的带来的颅内高潮是异常强烈的）因此我有时会想，最为人熟知的牛顿大神20多岁就已经发现了上帝的语言，用简洁的公式解释了庞大宇宙运行的奥秘，这会是怎样一种自豪感，一种成就感。而正是因为牛顿强大的逻辑与数学能力，让他在任何领域都可以做成别人做不到的事（担任造币局督办一举打掉******团伙，炼金术也超越了其他妖术巫蛊不切实际）而数学的发展很大程度上是建立在对猜想的证明，请问吴军老师，证明的思维应该如何培养呢？从什么角度下手呢？8:18
灵魂最高
0 赞数学是所有科学的基石，必须完全正确，所以不同的方法证明一定是得出同样的结论，不然就是这个定理就有问题。科学理论具备可证伪性，但是没有绝对的科学性。从托勒密到亚里士多德再到伽利略，到后来的牛顿，到爱因斯坦，科学理论经过一次次的推翻和洗牌。不能说那一个错了，而是科学是一种工具性的。但是数学不行，数学是作为其它学科的工具、基石，是真理中的真理。8:12
毕小喵
0 赞#数学助教#******是不会。大家基本都答对了，那我再给另外一个视角：虽然在数学上用两种方法证明同一个问题不会得到不同结论(只要证明是对的)，但却有可能得到不同的启发。数学的*形式*是很重要的。换句话说，很多时候两个式子虽然等价，或者用等号连接起来，但它们传递给人的*信息*却可以有不同。就如同两条路通往相同的目的地，但沿途风景给你的享受却可以大相径庭。所以，我最喜欢的一本张量教材中，作者鼓励学生说永远要试着从不同角度(几何和代数)去证明一个定理，这会给你不同的洞见( insight)。在我的专业，波音公司的一位工程师在1940年代最早提出了工程计算上的有限元算法。后来数学家们又从数学的角度重新“发明”了一遍有限元。再后来才有人证明数学和工程上这两种提法是等价的。在尝试对方程进行近似求解的时候，一个问题可以有三种等价的提法。但它们的条件在经过放松以后，分别直观的指向了不同的近似解法。薛兆丰老师在经济学课里不止一次提到，人是追求利益最大化的动物，它还等价于追求损失最小化。你看，利益最大化和损失最小化，看上去是同一个意思，但给你的启示，却完全不同。7:32
获得识道
0 赞今日得到中国股定理，美图不达米亚平原埃及，发现勾股定理，这种现象，这些物理现象，并且可以应用我在学习的时候有一种想法，就是在学习一个东西的时候，总是想知道他所以然，总是想探究事物的本质规律，还没有学到本质规律，就不算学习，学了也觉得没有意义，从而给自己造成很大的压力。有时候干脆就想，学了，能用就是好的，但是又觉得这样很对不起自己，在纠结中不断挣扎。今天学习的时候，数学完全正确的定理，正是我想要的但是，如果说要，结合工作，要开始应用了，就一会有一种感觉，原来这还只是工具呀天天学习的把这种迷惑，又给破掉了，感觉可以通透的，学习了。5:11
梦祺
0 赞# 数学助教 #数学定理的证明要求对所有可能成立，保证没有意外，因此从两个角度证明一个数学定理，得到的结论一样，如果不同，说明这个定理本身有问题。# 例子-命题-猜想-定理 #例子：基于观察记录的结论命题：总结多个例子得到的明确且有规律性描述猜想：没有得到证实的命题，可能对可能错定理：使用逻辑严格证明的命题，一定是对的# 事实证实-逻辑推理 #事实证实：在可验证的范围内都是对的逻辑推理：对于所有可能都是对的# 自然科学-数学 #自然科学：基于实验现象总结规律数学：数学理论必须要证明，保证没有意外2:32
自律给我自由
0 赞数学通识课程笔记#2古代文明举出的特例：反映出的是规律，和后来真正的定理可能不同，没有意义。数学和自然科学的三个本质差别：1、测量和逻辑推理的区别---数学上，观察的经验可以给我启发，但不能成为结论的依据。结论只能从定义和公理得到。测量会出错，推理不会。2、证实和证明的区别---自然科学理论被实验证明了即可，但数学理论必须要证明，保证没有例外。3、科学结论相对性和数学结论绝对性的区别---数学定理必须通过逻辑推演来证明。数学与自然科学的不同：数学不相信测量、实验证实和例外，只信建立在逻辑基础上的。思考题：不会得到不同的结论。因为，满足这个定理的对象是唯一的。2:07
无名根号三
0 赞今天重读吴军老师的《智能时代》一书，在讨论人类文明的最高成就时著名物理学家张首晟教授给出了三个公式: 1、爱因斯坦的质能转换公式； 2、量子力学的测不准原理； 3、熵的定义；而吴军老师却是用数学中的最简单的公式1+1=2代替了测不准原理，那么请问吴军老师能不能用数学公式把另外两个也替换了？是基于怎样一种思维？2:01
Cynthia
0 赞#数学助教#中学的数学老师，常常会放我们在检查答卷的时候，用不同的方式解同一道数学题，如果得到的结果不一样，只能说明，你题做错了……同样的，用数学从两个角度证明一个定理，一定能够得到相同的结果；否则，就是这个“定理”有问题！数学和自然科学的一个区别在于：前者从诞生开始就绝对真，而后者只能一步一步地“逼近”真。实验现象只能帮助你提出假设，数学才能给你实锤～只要是数学结论，再反直觉毁三观，也只能接受。就像福尔摩斯说过，“When you have eliminated all which is impossible, then whatever remains, however improbable, must be the truth. ” （当你排除所有的不可能，无论剩下的是什么，即使是不可能也一定是真相）1:53
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY2-3#怎么理解粒子光和波光？认为：不会得到不同的结论，如果不同，说明证错了。解释：什么叫定理，就是我们去发现，去找到那些不变的东西。要记得，定理，就是要定，才能为后续子子孙孙的推理做基础。关于波粒二象性，爱因斯坦说：“好像有时我们必须用一套理论，有时候又必须用另一套理论来描述（这些粒子的行为），有时候又必须两者都用。我们遇到了一类新的困难，这种困难迫使我们要借助两种互相矛盾的的观点来描述现实，两种观点单独是无法完全解释光的现象的，但是合在一起便可以。”发现了波粒二象性，就会发现，找对了，终于找到一条路上了。启发：对于现在知道“波粒二象性”的人来说，会觉得合到一起很简单。但是对于当时，可以想象两个不同的体系，要容纳这样一个******的存在，是多么困难。但是数学的奇妙就在于，所有人对于“定理”的共识，才会在遇到“光”的时候，愿意接受“波粒二象性”的解释。延伸：面对分歧不要慌，去找那些最基本的共识，从最基本的共识出发，才会发现对于分歧，需要的可能是联手。1:23
一个菜鸟
0 赞#数学定理与测量结果的区别#1.数学定理没有误差测量结果大都是有误差，所谓的测量精准，也不过是误差很小而已。但数学的定理是不能有误差的，必须是绝对的精确。2.数学定理必须绝对正确优秀的测量结果推论一般是绝大多情况正确，但存在一些特殊情况。但数学定理必须是绝对正确，不可以存在特殊不正确的情况。原因也很简单：因为数学定理的是一环扣一环的，前面定理的证明将会引导出很多后面定理的证明。所以如果前面存在不正确情况，后面依次而被证明的定理也将如此，那么在应用时将会出现很多不确定的问题。1:18
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY2-2#毕老师发现这个规律之后，又咋办了呢？他用了一个演绎法去推理。什么是演绎法，就是从一般到特殊。数了2个方块发现了这个规律，那换成别特别“锐”或者特别“钝”的三角形，还能成立么？数方块肯定不行。就引出了代数。用abc代表三角形的3个边，之后还在正方形里去计算。代数代数，代啥都行。（证明就不贴图了，能搜到几十种）这个边长关系，就成为了不可撼动的定理。这里我突然有种奇妙的感受，规律，从来都是被发现，被证明，被确认的。这就是我们认识世界的逻辑。数学的公式也好，心理认知的规律也好，很多东西是存在在那里，等着我们去发现的。所以数学是一门发现规律，发现关联的学科。启发：我在工作中的探索，对运营的探索，不也是发现规律，找到规律，验证规律么～1:11
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY2#给大家补充一个八卦知识，毕老师咋就发现了这个规律，并能精妙证明的呢？查到过程：毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形。他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。我拿笔画了画，点我头像，可以看图。0:54
donwe
0 赞中学物理时提到过光的“波粒二象性”，既有波动性，又有粒子性。如果用数学分别从这两个角度来分别证明，我认为一定会出现一些“留白”的地方，即证明光具有波动性的同时，某些推导反而会显示出非波动性的结论，这就是“留白”，就需要引入新的办法来推导出其他结论，从而完整的证明出光的特性。一个数学小白的初级思考，老师见笑了。0:13
武昭
0 赞数学从两个角度证明一个定理，不会得到不同的结论。我理解数学定理有唯一性，证明过程也是一环扣一环的，只要是起点相同，也就是前提条件一样，是不可能得到不同的结论的。从数学和自然科学的不同可以看出，从严格意义上说数学并不是科学，因为科学是不断证伪的，而数学是不可能被证伪的。0:09
Hanskeng
0 赞学过大学物理的人，都知道光有“波粒二象性”，在微观物理上，光既是波，又是粒子。这两个是孪生兄弟，是一个兄弟的正反两面，无法分割。到了数学上，他们是一回事。11月3日 23:53
强Sean
0 赞今天再细细去想直角三角形的这个公式:a²+b²=c²，真是觉得非常惊喜，以前只把它当成一个解题公式，真的没有好好去领略和感受它的美。我突然觉得自己仿佛回到了几千年前的美索不达米亚，回到埃及金字塔建造现场，回到周公和商高身边，回到古希腊毕达哥拉斯跟前，就像是第一次见到它，你突然有一种发现了世界真相的惊喜，它并不是被无中生有发明出来的，而是从古至今一直存在着，被人们发现出来的，它不容辩驳、无法质疑。11月3日 23:51
龙宝
0 赞就我个人的观点来说，数学和物理学还是有所不同的，在经典物理学的研究中，其所研究的东西都是现实中可见可触的物体，即使在目前，所研究的大多数物理学知识都仍然有直接或者间接的方法去观测去验证。例如光的波粒二象性，证实它的仍然是实验，但是数学却可以对物理学进行预测，例如光是一种电磁波，早在赫兹进行实验之前，麦克斯韦就已经预测了光是电磁波，其原因就是他利用之前已经被验证的电磁学定律及数学的推倒总结出了麦克斯韦方程组，其得出的结果和电磁波的波动方程如出一辙，因此才预测光是一直电磁波。所以数学是什么，数学不依靠于一切外界事物，它本质上应该是人的一种构建于逻辑之上的思考方式，因此只要是在符合数学逻辑的约束下证明的定理是不会有其他结果的，因为数学定理已经是被逻辑合理化过的结论，而不是客观存在的一种物质。11月3日 23:46
Allelujah 朱磊
0 赞在物理学中，之所以会从不同的角度理解光、并总结出波粒二象性，是因为在实验观测中 能够同时观察到光所拥有的粒子性与波动性所产生的现象。而假设运用数学从两个角度证明一个定理，我认为不会得到不同的结论。因为数学演算本身是独立的：当初始条件与运算过程统一时，一定只会得出同一个结果。即使最后出现了「不确定性」，也一样可以通过概率精确地表达出来。11月3日 23:34