你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
上一讲，我们通过毕达哥拉斯定理解释了数学的起点，它必须是从逻辑推理和证明得来的，而非测量和实验出来的。我们这一讲就看看以毕达哥拉斯定理为起点出发，人们又发现了什么。
在古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）所处的时代，人们认识到的数学上的数字都是有理数，它们都有我们平时所说的分数，具有A/B（B分之A）这样的形式，比如2/3，其中A和B都是整数，当然，整数本身可以被看成分母等于1的分数，比如5=5/1。
毕达哥拉斯有一个很怪的想法，他坚信世界的本源是数字，而数字必须是完美的。整数很完美，而且分数的分子分母也都是整数，不会是零碎的，因此也很完美，整数和分数所构成的有理数让毕达哥拉斯一直坚信自己的想法。
但是，一旦毕达哥拉斯定理被他证明以后，麻烦就来了。
我们上一讲讲过，数学的定理具有永真的特点，它一旦被证明，你就找不到反例。当人们在用毕达哥拉斯定理时，就发现了问题。假设某一个直角三角形的两条直角边长都是1，那么斜边该是多少呢？
你可以根据毕达哥拉斯定理算一下，既然两条直角边都是1，它们各自的平方也是1，加起来是2，因此斜边的平方是2，这个斜边就是一个自己乘以自己等于2的数字，从大小来看，它应该在1和2之间。接下来请问，这个自己乘以自己等于2的数字是否是“完美”的有理数？
根据毕达哥拉斯对所有的数字都是有理数的认识，它必须是啊！好，我们就假定存在一个数字是R，它能够写成R=A/B的形式，其中A、B都是互素的整数（互素指的是两个数写成分数的形式，不可再约分，比如5/8，5和8互素；而10/16还能再约分成5/8，所以10/16就不互素，其实这是为了简单地表达所有的有理数。），那么现在假设这个数字R的平方恰好等于2。注意一下，这里面有三个条件，请一定牢记：
A、B都是整数。
A、B互素，也就是不能再约分了。
A/B的平方等于2。
这三个条件能否同时满足呢？答案是不能。为了说明这一点，大家不妨跟着我做一个简单的逻辑训练。
好，这次我们用的方法，在数学上被称为反证法，就是先假定你说的条件都满足，然后我来找出矛盾之处，这样就能推翻原来的假设。
具体到上面这个问题，我们从上面第三个条件出发，也就是“A/B的平方等于2”，就得知分子A的平方除以分母B的平方等于2：
A^2 / B^2 = 2
我们把B的平方移到等式的右边2那边，就是A的平方等于两倍的B的平方：
A^2 = 2 x B^2
接下来我来问你，A是奇数还是偶数？你会说它当然是偶数，因为等式的右边是2乘以B的平方，都乘以2了，那A的平方结果肯定是偶数，奇数的平方不可能是偶数，所以A必须是偶数啊。既然A是偶数，我可以把A写成2乘以一个数，比如C，也就是A=2C这种形式，其中C是一个整数。
那么A的平方等于什么呢，等于4倍的C的平方，我就用这个4倍的C的平方代替A的平方，放在原来等式的左边，右边还是2乘以B的平方：
4 x C^2 = 2 x B^2
也就是四倍的C的平方等于两倍的B的平方。这个等式的两边都可以用2去同时除一下，于是就成了两倍的C的平方等于B的平方：
2 x C^2 = B^2
这时我问你，B是偶数还是奇数？你会说当然是偶数，因为两倍的C的平方是偶数啊。
这下子问题来了，怎么A和B都是偶数呢，这不就和上面的第二个条件，也就是“A、B互素，不能再约分”矛盾了吗？
那么到底哪里发生了错误呢？我们先要检查一下我们的推导过程，我们发现没有错误。因此，要么是数学错了，要么是认知错了。勾股定理的证明是通过严格的逻辑推导出来的，也不会有错，于是只能是我们的认知错了。
也就是说，存在一种数字，我们过去没有认识到，它们无法写成有理数的形式，即A/B，它们是无限的不循环小数，在这样的数中有一个自己乘以自己时等于2。我们今天把这个数字称为根号2。这一类的数字其实很多，它们被统称为无理数。
据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯最初发现了上述矛盾，于是就去和他的老师讲了。而毕达哥拉斯是个把数学看成宗教的人，出现无限的不循环小数在毕达哥拉斯看来是数学的漏洞，但他又无法把这件事解释圆满，这就是数学史上的第一次危机。
毕达哥拉斯决定把这位学生扔到海里杀死，好把这件事隐瞒下来。
当然，像根号2这样的“无理数”存在的事实，却不可能一扔了之，无理数是客观存在的，毕达哥拉斯是隐瞒不住的，这件事成为了这位确立了数学在人类知识体系中地位的大学问家的一个污点。
另一方面，无理数的危机也带来了数学思想一次大的飞跃，它告诉人们，人类在对数字的认识上还具有局限性，需要有新的思想和理论来解释，认识本身不能有禁区，那些事先为科学设定的条条框框，最终都不得不被抛弃掉。
从这个例子中，我们能学到什么呢？
首先，在遇到数学和现实的矛盾时，我们需要仔细检查推理的过程是否有疏漏，这种情况占大多数。
在排除了推导的错误后，接下来，两种情况必居其一：
要么，我们的眼睛和我们的认知欺骗了我们，就如同我们以为所有的数都是有理数，但其实不是。这是常有的事情。
要么，最初的假设错了或者说不够好。这种事情在历史上偶尔发生过，但是很少，我们后面在介绍非欧几何时会仔细讲到这种情况。这种情况我们通常不需要考虑。
既然在推导没有错误时，通常是我们的观察或者认知欺骗了我们，那么我们就应该把危机看成是转机。人类在科技历史上，很多重大的发明发现恰恰来自于上述的矛盾。
在数学史上，除了无理数被发现之外，几个重大的事件，比如无穷小概念的提出，对无穷大的重新认识，以及公理化集合论的确立，都和那些矛盾有关。这些矛盾有时看似造成了数学危机，但是，人们化解了危机之后，就拓展了认知，建立起新的理论。它们或者让数学本身进步了，或者在科学上做出重大的预言。
几年前约翰·霍普金斯大学的天体物理学家亚当·里斯（Adam Riess）教授给我讲的一堂课，我至今记忆犹深，他让我坚信了对数学本身的信心。里斯等人通过计算，发现宇宙的质量是负数，这怎么可能？难道是数学错了，还是我们对宇宙的理解完全错了？
里斯在做了仔细的检查后首先排除了推理有误的可能性，然后他们不得不承认数学的结论是对的，出错的是我们眼睛（包括观测的仪器）。于是，他们认定宇宙中一定存在我们看不见，更不了解的东西，那些就是所谓的暗能量，亚当·里斯等人后来因此获得了诺贝尔奖。
在自然科学上，很多重大的发现，最初都不是直接和间接观测到的，而是根据数学推导出来的，比如说黑洞、引力波便是如此。在历史上，血液循环论、现代原子论最初都是建立在数学推导上的假说，然后才逐渐被实验验证了。
世界上有很多我们不能依靠直觉和生活经验理解的事物，但是我们可以从数学出发，经过一步步推导得到正确的结论，我们甚至不需要亲力亲为地做一遍就知道我们的结论一定是正确的。这就如同你不需要会踢足球，才能评论足球一样，你只需要把握住一些准则就可以了，而数学就是这样的准则。
要点总结：
从数学的定理出发，可以推导出很多针对现实世界的推论，从而改变我们对现实世界的看法，这就是数学的预见性。比如，毕达哥拉斯定理的一个直接结果指出了无理数的存在，它把人类对于数字的认识范围从有理数扩展到了无理数。
当然，可能有读者朋友会想，那些预见性可能和我们相去甚远，其实不然，后面我们会举一些和大家相关的例子，比如如何识破庞氏骗局，为什么不能做空股票，等等。
康德讲：“世界上只有两样东西是值得我们深深景仰的，一个是我们头上的灿烂星空，另一个是我们内心的崇高道德法则。”他所说的星空，其实包括数学这样的知识体系。对于很多云山雾罩的事情，我们只需要在逻辑上推演一遍，就能把问题的真相搞清楚了。
思考题：
我们都知道，整体要大于部分，因此10厘米长的线段上的点应该比5厘米长的多，但是如果我能用严格的逻辑证明它们上面的点一样多，你相信么？
欢迎给我留言，并把文章分享出去，让更多的人感受到数学之美。我们下一讲再见。
用户留言
Cynthia
1 赞#数学助教#* 首先，数学上定义的一个“点”是没有“体积”或者“面积”的。那么，在数学世界里，谈论“两条线段上的点的个数相同”时，我们在说什么呢？* 先看一个例子：在一个相亲聚会上，男生和女生人数一样多，那么将男生女生两两牵手，最后不会有任何一个人会落单；也就是说，每个男生都能对应一个女生，每个女生也都能对应一个男生。* 同样的，如果我们能够找到一种对应关系，来“配对”所以来自两条线段上的每一对点，并且不会出现“遗漏”，这就能证明两条线的上具有同样多的点。* 这道题当中，我只要找到一个可以“配对”区间 [0, 5] 和 [0, 10] 的“对应关系”就可以了。* 容易发现，对每个 [0, 5] 中的一个数 x，对应在 [0, 10] 中就是2*x；相反的，对每个在 [0, 10] 中的一个数 y，在 [0, 5] 中就对应着 0.5*y；并且这种对应关系是不会漏掉任何一个点的。* 于是我们发现，在数学世界里，“绳子”是有“弹性”的！* 更进一步，你还会发现，原来 (0, 1) 区间上的点数，和整个“实数集合”（也就是负无穷到正无穷）中的点也是一样多的！Amazing ╮(╯▽╰)╭1:33
Ku
1 赞重大的发明发现，往往来自于矛盾。每次重闻第一次数学危机，总是慨叹毕达哥拉斯的污点，为了坚守他主张的信念，不惜扼杀反对的声音，不是解决问题、而是解决提出问题的人。然而数学发展会给希帕索斯公道，根号2不再见不得人、无理数的概念终究面世，危机就是转机，2500年前的悲剧，我们能够轻松以待无理数，这是数学发展的文明之光。后之视今，亦犹今之视昔。现今许多领域，有不少观念的突破，仍不被普世认可与接纳，回过头想想希帕索斯的遭遇，我们得更具包容力，对于冲突与矛盾，也要视为契机而非威胁。身处医学领域的我，有更深刻的体悟，近两百年的医学史，有天翻地覆的改变。医疗既传统又创新，传统在于，救人的使命未曾改变；创新在于，观念与技术不断求新求变。我们院长曾给我勉励，与各位分享：面对知识的浩瀚，请谦卑对待、不要固执；而面对人的权益，请共同努力、不要妥协。1:31
玉汝成
0 赞首先我不看助教留言，然后大概把自己的思维方式说出来，和大家对照一下。假设十米上的点和五米上的点都一样。如果，一米上的点是a，那么10a＝5a，该怎么继续推导？？不会了14:45
Cynthia
0 赞#数学助教# - “存在”不等于“任意”问：“那如果我把那条长的线段切掉一半不和短的线段匹配，那切掉的不就是多出来的点数吗？”答：这里的关键就在于：“存在”不等于“任意”。当然有很多“一一对应”会遗漏掉其中一个集合的点，比如就像你说的这种对应关系。但是我们不需要看有多少“失败”的“匹配”，只需要聚焦于那个“能够成功匹配两条线上所有点”的“一一对应”就好了。就好像6个人分蛋糕，想要每人一份，只是切成两半当然不够分，可是不能因为你分蛋糕的方式不对，就说这蛋糕不够分……你可以切成6份啊(￣∇￣)相反，如果要说明两条绳子的点“不一样多”，那就需要证明：在它们之间，无论如何都 找不到 一个“一一对应”不产生任何遗漏。14:17
佛祖门徒
0 赞1902年，32岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信，据说罗素在信里举了一个例子：村子里有一个理发师，脾气很怪，他工作起来有一条规矩，就是只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。这听上去挺有道理的，因为自己给自己刮胡子了，就用不着找理发师了。罗素写信请教康托：这个理发师如果遵循这条原则，那他要不要给自己刮胡子呢？罗素这封信里描述的矛盾后来被称为罗素悖论，也叫做理发师悖论。正是这个悖论挑战了康托的集合论理论，从而带来了数学的第三次危机。但是数学的再一次飞跃由此开始。12:45
陈寅--北京五期五班
0 赞在古希腊荷马史诗的《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕菲摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗。当他把早晨捡起的石子全部扔光时，就确信所有的羊都返回了山洞。其实，比较的方法，虽然人类还没有用数学的语言进行描述，但已经在使用了。用石头的数量来表示羊群的数量，也是就是在二者之间建立了一一对应的关系。但数学的魅力在于，通过将朴素的方法进行抽象与形式化表达，使得方法可以处理更多的问题。正如怎么的无穷大与无穷大的比较一样。数学，又一次拓展了人类的认知边界。12:05
Dx
0 赞对于思考题，有一个有趣的定义叫希尔伯特旅馆。这背后给出了极限以及集合比较的思想。关键点是，我们能否找到两个集合之间的一一对应关系，如果能，那两个集合就是相等的。例如5cm线上所有的点，可看做是0-5上的所有实数，我们设为x。10cm上的点，可看做0-10上的所有实数，我们设为y。那么如果我们写成y=2x，或者y=x^2/2.5。这样，在上述的范围内，每一个x都找到唯一的y与之对应，反过来也一样。所以5cm和10cm上面的点是一样多的。关于实数的定义，以及之后引发的数学公理化运动，给了我们一个重要的启示。那就是我们的定义、思考是否具有完备性，很大程度上决定了我们的理论、经验的适用范围。如果我们的定义是不完备的，只包含了部分的事实，那么在此基础之上，无论我们多努力，做出多大成就，一旦例外发生，那一切的一切都可能轰然倒塌。11:18
王绪金_AI
0 赞我的思考：长的线段和短的线段上的点数是一样的。在无穷大的世界里，部分可能等于全部。按照“无穷大数算术”规则，不管多长的线段上的点数都是一样的。平面上所有的点数与线段上的点数相等。线段、正方形、立方体内的点数的多少与它们的长短、大小无关。——我最爱读的《从一到无从大》不管是做科研还是生活，都要具有批判性思维、逆向思维，危机即机会，勇于挑战权威，大胆想象，小心求证。11:13
风清扬
0 赞我记得这个问题，高中的数学老师给我们讲过，意在激发我们对数学的兴趣，后来想想也没怎么激发我对数学的兴趣吧，如何证明我是一点印象都没有，只记得有这么一个事，说来惭愧。对于一般人来说，整体是要大于部分的，因此10厘米长的线段上的点应该比5厘米长的多，但是数学的奇妙之处在于，它可以推导出很多针对现实世界的推论，甚至是想到的，即使你看来不符合生活常识，可结论就是如此，假如数学定理没错的话，只能是你的认知出错了。现实生活我们看到的事物大都是具体的，对此的看法也是具体的。倘若用数学推论，得出与其针锋相对的看法，这不就是一个化具体为抽象的一个过程。10:36
Cynthia
0 赞#数学助教# - 无穷点集的比较“无穷和无穷的比较很大程度上应该是量级的比较，同级的不好比较出来啊”无穷点集都一样？No～* 比如有理数集和无理数集就是不一样的。* 关于无穷个点和无穷个点的比较，关键还是看：是否能够建立一种“一一对应”的关系。这一点很重要，也很有用。* 只要存在这种一一对应关系，那么两个集合在某种性质上是一样的，在数学上就说：两个集合的“基数”（Cardinality）相同。10:22
Frank林
0 赞与吴军老师举的亚当·里斯教授的案例相关——爱因斯坦曾经也犯了一个毕达哥拉斯式的错误，错过了“数学的预见性”。爱因斯坦利用他广义相对论中的引力场方程，对宇宙整体进行计算，得出的结果是——宇宙正在膨胀。爱因斯坦为了保持他认为的静态宇宙，引入了一个希腊字母 Λ，被称作“宇宙常数”。后来的科学家经过计算发现，加入宇宙常数后，的确能得到一个静态宇宙，但这个静态宇宙极度不稳定，任何微小的扰动都会打破平衡，因此这种情况下的静态是无意义的。再后来，美国天文学家哈勃，发现了“红移”现象，这表明，所有星系都在远离我们，换句话说，宇宙的确在膨胀。爱因斯坦根据场方程，本来已经计算出宇宙是膨胀的了，但为了保证他的静态宇宙，特意加了宇宙常数，结果错过了“数学的预见性”，错过了宇宙膨胀理论的发现——就像毕达哥拉斯为了保证他数学的“完美”，忽视了无理数一样。爱因斯坦后来称“宇宙常数”是他一生中“最大的错误”。再后来，就到了吴军老师所讲的案例，亚当·里斯等人，发现了宇宙在加速膨胀，这和我们的认知又是相违背的，因此提出了暗能量，获得了2011年诺贝尔奖。在这之后，科学家只好又把爱因斯坦的宇宙常数，放回到了他的方程中，只不过修改了数值，使宇宙变成了加速膨胀。爱因斯坦如果得知，他死后许多年宇宙常数“死灰复燃”，不知又会作何感想。10:07
边鱼
0 赞【延申阅读】“万物皆数” 毕达哥拉斯说“万物皆数”，这一论断如以近代的反思加以解释的话，在逻辑上是全无意义的，然而毕式所指的却并不是完全没有意义的，他发现了数在音乐中的重要性，数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保持着毕式为音乐与数学之间所建立的那种联系；他把世界假想为原子的，把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成分子所形成的。他希望以这种方式使算学成为物理学及美学的根本研究对象。 以上摘自罗素的《西方哲学史》。10:03
讀書悟道
0 赞在数学概念中，点无大小，线无粗细，面无厚薄，所以5厘米也好10厘米也好，点是一样多的。也就是说这是一个思维上的东西，不是一个物理存在的东西所以相同，举例：一个字“好”，不管写多大，多小都念好。9:43
mengxihu
0 赞10厘米比5厘米长，是Lebesgue测度上的比较；点的多少的比较，是计数测度上的比较。【0，5】上的点x构成一个集合A=｛x1，x2，x3…｝，与【0，10】上的点y构成的集合B=｛y1，y2，y3…｝，存在一个双射f：y=2x，使得集合A与B的元素存在一一对应关系。9:34
王二宝
0 赞思考题：先说答案：我相信。解释：从逻辑上来说，无论在10厘米的线段上，以多短的距离画点，无论两个点之间的距离是1厘米，还是0.0001厘米。我都在5厘米的线段上以二分之一的距离画点。这样就能证明，两者上面的点一样多。9:06
潘登
0 赞两个线段的点一样多，应用的是一对一的思维，数学上只要两个集合能够一一对应，那么他们的数量就是相等的。两个不同长的线段上的点数量一样多，实际上就是两个同级别的无穷大进行比较的看似荒谬的结论，他是反直觉的，但是是对的。9:04
0
0 赞这一课最大的收获是让我从逻辑上感受到了认知的局限性，进而重新审视自我认知8:46
毕小喵
0 赞#数学助教#在工程上结论比过程重要。因为结论的公式可以直接指导工程设计。长期接受工程教育的人，会养成这样的一种习惯，我不管你公式怎么来的，给我结论就好。但是在数学思维课里，恰恰是证明的过程，思考的过程比结论更重要。这些我们耳熟能详的定理，在推导它们时经历了怎样的思考过程？这个思维模型(而不是这个公式)能如何指导我们的行动，如何指导创新？熟读唐诗300首，不会作诗也会吟。看懂了历史上重大世界观突破背后的逻辑，能帮助今天的我们更好的做出创新和突破。8:18
小霸王学习机
0 赞作为一个理科生，数学一直作为必修课贯穿我的学生生涯，成绩一直不错，确鲜有享受到数学推理的乐趣，死记硬背了很多懵懵懂懂的公式、概念，久而久之，形成了不求甚解、记住、会用即可的怪圈，丧失了探索的兴趣。反而是在工作中一次一次的应用，让人感受到数学之美。因为是工程的原因，应用的都是最基础的数学，比如复数，欧拉公式，矩阵乘法、加法，正太分布等等。和吴军老师的观点不谋而合，工程实践是我最好的老师，让我在运用最基础的概念和理论解决问题的同时，重新理解了数学。吴军老师的数学之美一书，我也看了多遍，爱不释手，随着理解的深入，总有不同的收获。期待这次数学通识课的奇妙路程，同时期待老师出更多的新课，比如计算机通识课、通信技术通识课等等，学生如饥似渴。7:50
李伟
0 赞听了三堂课，感慨万千。我想代表所有的人:学过数学和正在学的；学得好和学得差的；喜欢学数学和讨厌的；明白为什么学数学和不明白的；学了会用和不会用的，数学这门课在我们求学生涯的路上都是一道坎。跨过去了，当然高兴。挡住了，自然倒霉。说不出多少代学子前赴后继走在数学求知的路上，究竟有多少人看到了数学之美？！既便知道数学重要是主科必然学好必须重视死命补课的学生和老师，此时，此刻，上学的孩子，上班的老师，走进教室，上数学课了，有多少人知道吴军老师的数学通识课正在告诉我们:数学到底要怎么学？或者说数学到底怎么教才真正学会了？记住自已和多少人在得到上开始跟吴军老师学数学！记住这一天，回到童年，从头学数学！7:22
一个菜鸟
0 赞当我们发现一件事和我们想的不一样的时候，无外乎是两个方面出了问题：1.我们的逻辑推理出了问题2.存在我们不知道的认知盲区虽然很多时候是两个原因同时在起作用1:38
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY3#嘻嘻，给答案会被打么。里面涉及一个概念：无穷大10cm的线段，有无穷个点，你别想着拿笔戳，你想成一条轴，上面是0.1，0.001，0.00001，总是可以无限小，所以能有很多个点。5cm的线段也一样。两个都能点无穷个点，谁都没法比谁多，所以一样多。这其实是一件很有启发的事情，如果把线段打散，里面那个可以无限放大的点，仿佛又是一个广袤无际点世界。直线是1维的，点是0维的，在同一个维度，5cm比10cm短，但是一降维，一样牛逼。之前商业很流行降维打击，不就是这个意思么？咱俩同一个业务，你显得比我厉害，但是如果我能找到一个降维的方法，迅速找到我的那些“无穷多的点”。我可能立马就赢了。1:34
侯雅琦
0 赞＃数学助教＃＃数学的预见性：一个被算出来的行星——海王星＃ 「海王星」在1846年9月23日被发现，是唯一利用「数学预测」而非有计划的观测发现的行星。 过程大致是这样的： 天文学家发现，天王星的运行轨道与理论结果存在偏移，不但偏移，而且误差是越来越大。于是，天文学家们回头去做验算，发现并没有算错。这么一来，就只有一个解释了，那就是在天王星附近，很可能还有另外一个天体，在干扰天王星的运行。 这个时候，数学就派上用场了。当时，科学家们已经发现行星运行的规则，以及它们之间彼此影响所遵循的数学规律了。所以，从理论上说，天文学家们可以从天王星的异常运行中，反推出那个影响它运行轨迹的天体到底有多大，以及它走一条什么样的路线。利用天王星轨道的偏移，天文学家便推测出这个天体的存在与可能的位置，按照数学计算的结果，开始在特定的范围内搜寻这颗行星，终于在1846年9月23日晚上找到了新的行星，并发表了观测结果。这颗被算出来的行星，就是海王星。1:09
胡江恒
0 赞这个问题在吴军老师的专栏中好像有提到过。思路：在10cm线段中的一个点，在5cm的线段中也可以找到。也就是说在10cm的线段中，在5cm的线段中一定有一个点与之对应。所以两者点数一样多。同理奇数和偶数和整数也是一样多的。0:53
CannyZe
0 赞吴军老师的课程就是能够让人像追热播的连续剧一样欲罢不能，内容丝丝入扣！其实听了这门课之后真的有后悔以前没有好好学习，一部分是自己本身的原因，当自己还是学生的时候特别讨厌标准答案式、死记硬背式的教育，根本不知道自已为什么要学习那些知识，如果当时能有像吴军老师一样的教育者，我想我是可以完全沉浸在学习当中，真正的学习到知识，锻炼自己的认知能力，构建自己的知识体系，为了家的生活更好的创造物质财富，为了国的发展更好的贡献自己的一份力量0:53
流川
0 赞在无穷数的世界里，整体是可以等于部分的。将10厘米长的绳子分割成无穷多的点，将5厘米的绳子也分割成无穷多的点，然后用两根绳子上得点一一对应，由于都是无穷个点，所以两根不同长度的绳子上的点数相同，也就证明了课后的题目。0:43
donwe
0 赞从确定的有理数思维来看，10厘米线段点数就是5厘米线段点数2倍，逻辑也很完美。但问题是数学上的点的定义是一个抽象概念，对于点本身的度量就是一个无理数的思维，多长，多大，这些全部都没有精确，就象数轴上对于10，5究竟是多长只有示意没有定义。所以我相信可以证明出两条线段上的点数一样多的结论。0:36
武昭
0 赞相信，这个问题类似于整数多还是偶数多，但从无穷大的角度来看，它们是一样多的，因为任意一个整数，总能找到和它对应的偶数。老师今天用反证法证明无理数存在的过程我还是第一次看到，以前总是死记结论而缺少探索推导的过程，希望现在还在学习数学的学生们能多想想推导过程，这样既锻炼了思维，又增添了乐趣。0:27
傅松
0 赞关于5厘米和10厘米直线上的点一样多这个思想实验很好玩，首先我们换一个说法，宇宙的一端到另一端各取一点，同时你的左眼和右眼之间各取一点。然后无论是宇宙的两点还是眼睛的两点正中加上一个点，我们得到了三个点，然后又在三个点的正中加上两个点，得到5个点。以此类推不断添加相同数量的点。所以无论距离差别有多大，他们之间有相同的点可以被标记出来，唯一不同的是两点之间所包涵的信息不同。0:20
Hanskeng
0 赞我相信。因为老师偷换了概念，两条线段确实可以比较长短，但这是在二维的维度上比长短。如果用不同的点把它们分割开来，这就涉及到用一维事物应用到二维中了。我们知道点是没有大小，方向的，但二维有。但是你怎么能将不同维度的东西混在一起做比较呢？个体能力和系统能力无法比较，点和线也不可以。11月3日 23:45