你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们前面讲了数学的预见性，以及数学思维的用处，但是这讲我想和你谈谈数学的局限性，大家可能会有一个疑问，就是这种局限性是来自于我们自己的数学知识不够，还是来源于数学本身的局限性呢？
应该讲这两方面的原因都有，第一部分因素在大家听完这门课后会补上很多，不用担心；第二部分则是我们这一讲要讲的内容。我们有必要了解数学本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思维方式。今天我们还是从毕达哥拉斯定理的推广说起。
在几何上有很多整数组满足毕达哥拉斯定理，它们就是勾股数，比如（3，4，5），（5，12，13）等。从代数上解释勾股数，就是方程a^2+b^2=c^2的整数解。
当然，人类总是很好奇，人们就在想，如果上面方程中的平方变成立方，甚至任意N次方，它还有整数解吗？比如，是否有三个整数a，b，c，使得，a^3+b^3=c^3？
这个问题困扰了人类几千年。后来有一个叫费马的数学爱好者就提出一个假说，说除了平方的情况，其他更高次方的方程都找不到整数解，它被称为费马大定理（或者费马最后定理）。
虽然它被称为定理，但数学家们只是把它看成是猜想，或者假说，因为没有证明。我们前面讲到，猜想，哪怕用很多数据验证过了，只要没有证明，就无法成为数学大厦中的一块砖，就无法在它的基础上搭建新的东西。
因此，在费马之后的几百年里，很多数学家都试图证明它，但是都不得要领。费马自己说他已经证明了这个定理，只是那张纸不够大写不下，但后人认为是费马搞错了。
于是费马大定理就成了一道跨越了三个多世纪的超级难题。直到1994年，才由著名的英国旅美数学家怀尔斯证明出来，而这个过程也是一波三折。
1986年，怀尔斯在做了十多年的准备后，觉得证明费马大定理的时间成熟了，终于决定将全部精力投入到该定理的证明上了。为了确保别人不受他的启发率先证明了这个著名的定理，他决定在证明出这个定理以前不发表任何关键性的论文。
但是，如果一个人苦思冥想，推导的逻辑错了自己也看不出来，为了避免这种情况的发生，怀尔斯利用在普林斯顿大学教课的机会，不断地将自己部分的想法作为课程的内容讲出来，让博士生们来挑错。
1993年6月底，怀尔斯觉得自己准备好了，便回到他的故乡英国剑桥，在剑桥大学著名的牛顿研究所举行三场报告会。为了产生爆炸性的新闻效果，怀尔斯甚至没有预告报告会的真实目的。因此，前两场报告其实人不多，但是这两场报告之后，大家都明白接下来他要证明费马大定理了。
于是在举行最后一场报告时，牛顿研究所里挤满了人，据估计可能只有1/4的人能听懂讲座，其余的人来这里是为了见证一个历史性的时刻。
很多听众带来了照相机，而研究所所长也事先准备好了一瓶香槟酒。当怀尔斯写完费马大定理的证明时，很平静地说道：“我想我就在这里结束”，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。这场报告会被誉为了20世纪该研究所最重要的报告会。
不过故事到此并没有结束，数学家们在检查怀尔斯长达170页证明的逻辑之后，发现了一个小漏洞。怀尔斯开始认为这个小漏洞很快能补上，但是后来才发现这个小漏洞会颠覆整个证明的过程。
怀尔斯又独立地工作了半年，但毫无进展，在他准备放弃之前，向普林斯顿大学的另一个数学家讲述了自己的困境。对方告诉他，他需要一位信得过的，可以讨论问题的助手帮忙。
经过一段时间的考虑和物色，怀尔斯请了剑桥大学年轻的数学家泰勒来一同工作，最后在泰勒的帮助下怀尔斯补上了那个小漏洞。由于有了上一次带有乌龙性质的经历，怀尔斯这次有点怀疑自己是在做梦。于是他到外面转了20分钟，发现自己没有在做梦，这才喜出望外。
由于怀尔斯在证明这个定理时已经超过了40岁，无法获得菲尔兹奖，因此国际数学大会破例给他颁发了一个特别贡献奖，这也是迄今为止唯一一个特别贡献奖。关于费马大定理证明过程的更多细节，大家可以听罗辑思维的第85期节目。
那么证明这个古老的数学难题有什么意义呢？这个定理证明过程本身导致了很多数学研究成果的出现，特别是对于椭圆方程的研究。今天区块链技术用到的椭圆加密方法，就是以它为基础的。
在怀尔斯之前，有一批数学家，特别是日本的谷山丰，对这一系列理论做出了重大的贡献，怀尔斯的成功是在他们的工作基础之上的。今天的比特币可以讲完全是谷山丰理论的一次有意义的应用。而在怀尔斯之后，泰勒等人还在不断发展这方面的理论。
对于三个世纪数学家们证明费马大定理的过程，我和大家分享我的三点体会：
- 今天的数学（指纯粹数学，不是应用数学）真的很难，想在这方面取得突破性贡献不容易，怀尔斯从10岁开始就立志解决这个问题，他努力了30年。他最后的证明长达200页。但是，有了理论，使用它做有意义的事情，还是容易得多。比特币就是一个很好的例子。
- 数学是世界上最严密的知识体系，任何的推导不能有丝毫的纰漏。怀尔斯差点因为一个小的疏忽毁掉了整个工作，希望通过这一点，大家对数学的严密性有所体会。
- 数学走到今天这一步，是在一个个定理的基础上一点点搭建起来的，而今天的成就，又为明天的发展奠定了基础，这样数学就获得了可叠加的进步。
毕达哥拉斯定理是，a的平方+b的平方=c的平方的情形。费马大定理是，a的N次方+b的N次方=c的N次方的情形。因此，前者是起点，后者是一个普遍情况的延伸。接下来，如果我们沿着毕达哥拉斯定理和费马大定理继续往前拓展，会是什么情况呢？
比如任意一个多项式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，请问它们有没有整数解？这个问题就是著名的希尔伯特第十问题（简称第十问题）。
对于任意一个多项式方程，我们能否在有限步内，判定它是否有解？
对于一些特例，我们知道有整数解，比如x^2 + y^2 = z^2就有；对于另一些特例，我们知道没有整数解，比如费马大定理所描述的情况。
但是，对于更多的，一般性的不确定方程，我们不仅不知道怎么解，甚至无法判断一个方程有没有整数解。因此，1900年在巴黎举行的国际数学大会上，希尔伯特在提出23个著名的数学问题时，把它列为了第十个。
第十问题其实隐含了一个更为深刻的认识论问题，就是对于大部分数学问题，我们能否找到答案？到目前为止，我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分。
当然，很多人会说尚未找到答案不等于没有答案。第十问题实际上在直接挑战数学的边界，也就是说，通过数学的方法，我们可能根本无法判断一些问题的答案存在与否。如果连答案是否存在都不知道，就更不用说通过数学的方法解决它们了。
这样就为数学划定了一个明确的边界。从1900年之后，特别是在二战之后，欧美不少数学家致力于解决这个问题，因为这也涉及到计算机所能处理问题的边界。
第十问题的解决颇具戏剧性。在上个世纪60年代，被认为最可能解决这个难题的是美国著名的女数学家朱莉娅·罗宾逊，她从博士一毕业就致力于研究这个问题，也取得了很多突破性的进展。
虽然罗宾逊因为这方面的贡献成为了美国科学院第一位女院士，美国数学学会第一位女会长，她离解决这个问题最终还是差几步。1970年，俄罗斯天才的数学家尤里·马季亚谢维奇在大学毕业后一年就解决了这个问题，证明了这类问题是无解的，从此在世界上一举成名。
纯数学这个学科除了需要一些运气之外，比拼的是人的智力，智力到哪个程度，成就就到哪个水平，这倒不是宿命论，而是说明人要根据自己的特长选择做事。
第十问题的解决其实扑灭了人类的一丝希望，但是也让人类老老实实地在边界内做事情。人类过去常常希望找到一个工程问题的解析解，即答案是以一个公式的形式存在，这样套入任何数字，就得到了具体的答案。
但是，很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解，当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解，解决实际问题。认清这一点，做事的方法也就改变了。
搞流体力学和控制理论的人都知道，那里面有很多复杂的非线性方程要解决。在上个世纪，美苏两国走了两条不同的道路。前苏联因为数学水平较高，而计算机技术很落后，因此他们习惯于下硬功夫做很难的数学题，找到非线性问题的解析解。
而在美国方面，数学水平高的人没有前苏联多，但是计算机技术先进，因此他们习惯于把很麻烦的非线性问题变成很多计算量大，但是却很简单的线性问题（或者其它数值计算问题），找到工程上能接受的近似解。
那么谁取得的效果好呢？从结果来看，美国似乎更好些。关于什么是线性方程，我们后面会讲到，这里大家记住线性方程简单，非线性方程非常复杂即可。
要点总结：
我们介绍了费马大定理的来龙去脉，它往前和毕达哥拉斯定理的关系，往后和希尔伯特第十问题的关系。我也和大家分享了我对这个定理被证明过程的体会。
我们通过希尔伯特第十问题介绍了数学的边界，这是一个硬的边界，大家不要试图逾越。但是数学的边界有些时候不是我们解决问题的边界，因为世界上除了数学的方法，还有其他方法。
到目前为止，我们以毕达哥拉斯定理的产生和发展为线索，介绍了数学猜想到数学公理的推导过程，接下来的两讲，我们还是以毕达哥拉斯这个人为线索，谈谈数学的应用，以及在其它知识体系中的位置。
我们下一讲再见。
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一海一涛
0 赞【05】数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理1.数学思维是科学思维，只有用科学的方式证明或证伪，并成为数学大厦的一块基石，才可以被冠以名字+定理，所以“勾股定理”不被大范围承认，我们不应该感到委屈，毕竟没有为科学做太多贡献，只是技术层面上有点指导意义。2.和其他认知的拓展一样，数学的疆域也是不断经历挫折、失败，伴随着偶然性、戏剧性在逐渐扩张。幸运的是，数学界有那么多天才和不断努力的精英，让数学的大厦坚牢，为其他学科的发展提供“抱持”（感觉数学是妈妈）环境，为科学家赋能！3.认知拓展，带来我们解决问题能力的提升，于是我们行动的边界就拓展了。认知-能力-行动的三个边界，逐渐收拢。我们普通人，在自己擅长的领域做事，如果是自己的热爱，并且有机会，成功的几率会最大。让擅长-热爱-机会尽可能重合！4.天才让我们看到不一样的风景！15:25
robovoid
0 赞#数学助教#之前发的由于'< '使用不当，没显示全，重发下有些问题，虽然理论上有正确答案，但是计算出正确答案的成本太高，执着于完美主义，不如找到一个近似的来解决实际问题。举个简单的例子，每个人都去过一些国家（>=1，可以重复)，想要在某个群体中，比如学《数学通识50讲》的，找出尽可能少的人，使得这些人去过的国家能够覆盖G20的成员国（单纯举例子也可以说全世界每个国家，不过考虑到实际情况，意义不大）。如果所有人加起来都无法全部覆盖，用尽可能少的人数，覆盖尽可能多的国家。诸如此类的问题标准名字是“集合覆盖问题”，在计算机里属于NP问题如果想要找到完美的答案，需要遍历每一种组合，从满足条件里选出人数最少的。每一种究竟有多大？在完美答案里，群体里的每个人都有可能被选中或者不被选中，也就是说每个人对应两种情况。假设有n个人，那么总共的备选方案就会有2^n种。如果n比较小，对于现在的计算机来说，还是可以接受的，但是n只要稍微大一点，运算的时间和空间就将无法承受。稍微大一点是多大，不到100。这个很容易估算，比如生成k个人的组合只需要1秒，那么对于k+30需要多久，2^(k+30) = 2^k * 2^30。现在计算机很普及，2^10=1024想必很多人都知道。1024>1000=10^3。 2^30 > 10^9。24小时是86400秒，< 100000。1年的天数365.24 < 400，乘起来，每年的秒数 < 4e7。 也就是说即便k个人只需要1秒，那么k+30个人就将 > 1e9/4e7 = 25年。如果准确计算，结果是34年，和25在一个数量级。实践中无法承受。除了时间上，还有空间的限制完美答案太难，看看近似的。只是举例子，就用直观的方法。首先，找出一个去过最多目标国家的人。这个人可能会覆盖全部，那么大功告成。如果没有，需要覆盖的会减少一些。接下来，找出一个去过剩余目标国家里最多的人。依次类推。这么操作，由于存在重复的情况，并不能保证是正确的最少人数，但是最起码是一种可以满足条件的解答。这么做需要花多长时间？第一步，需要遍历n个人，第二步，需要遍历除了第一个以外的（n-1)个人，第三步（n-2），依次类推。如果用满了n步，加起来是 n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n(n+1)/2, 属于n^2数量级。随着n的增长，增长速度远低于2^n15:14
毕小喵
0 赞#数学助教#费马大定理的证明过程充满了戏剧性，因此被人们津津乐道。这其实是数学问题被解决过程中的一个缩影。不止费马大定理，这个世界上有太多数学问题，都是等待了许多年才遇见那个有足够智力和勇气解决它的人。如同孤独的石中剑等待着它的亚瑟王。————很多同学看到今天课程里讲费马大定理的过程觉得非常有趣，但其实对我来说，我觉得今天最重要的内容在文章的结尾。很多问题找不到严格的解析解，不妨碍大家在工程上使用近似的数值解。认清这一点，做事的方法也就可以改变。第一层：复杂的数学问题如果没有办法找到严格的解析解答，我们可以放松一些要求，忽略一些无关紧要的小东西，找到满足精度的一个近似答案就好。这一思想最早的例子可以说是祖冲之的“割圆术”。一个圆的周长求不出来，我们就用一个正多边形的周长去逼近圆的周长。只要正多边形的边数足够多，就可以以任意精度逼近圆的周长，计算@pi的数值。这里正多边形的周长和真正圆周长的差就是被忽略掉的那个“小东西”。有限元的思想也与这相似，毕竟工程上造个什么东西都会存在误差，公式在提出的时候，简化假设也会带来误差，所以搞绝对精确干什么呢，有时候精确到小数点后一位就绰绰有余了嘛。绝对精确的东西，在小说《2001太空漫游》里 是外星人的科技，地球人暂时还搞不出这个。第一层延伸：算帐的时候，要学会“抓大放小”。比如这个东西69.9元，那个东西28.8元，下一笔支出1999元……算总支出的时候你就没必要纠结这一两角钱；再延伸一点，我们要把注意力放在那些数额比较大，重要性比较高的事情上，而不要一直被琐事牵绊。就像一个人值得多花时间去研究该买哪里的房子，相对的就别老盯着微信群里抢一分一角的红包了，因为它们在房产的价格面前 都是可以被忽略的那个误差。不要捡了芝麻丢了西瓜。第二层：如果问题的规模特别大，大得可怕，像围棋棋盘上的全部可能性一样，让计算机去穷举的话 花费的时间可能比宇宙的寿命还要长，这种时候怎么办呢？就像Alpha Go这个围棋程序，它的算法并不是通过暴力计算遍历所有可能性然后找到当前情况下的最优解。它只是用随机的算法，找到一个当前看来还不错的落子位置。毕竟我们不是在和上帝下围棋，只是在和人对弈，只要把对面的那个人下赢就好了。第二层延伸：很多时候生命中的决策，你没办法遍历所有可能性，没法确定这个决定是不是“最好的”。比如找工作、选伴侣，给孩子选学校……这个时候，与其花大量时间挨个考察后选择一个“最优的”选项，倒不如适当权衡之后选一个还不错的，然后努力坚持走下去。你的人生没必要活成总统或者世界小姐的样子，虽然说选择比努力重要，但是通往罗马的路那么多，在一条路上坚定走下去，比徘徊在路口纠结哪条路最好来得更有用。今天这两个延伸可能有些跑题。但它们都是吴军老师曾经在专栏和书籍里讲述过的世界观和人生观。数学可以说也是一种人生观吧。11:24
Cynthia
0 赞#数学助教# - 旅行商问题问：“近似解在现实生活中有哪些应用实例？”# 有一天，厌倦了眼前的苟且，你想来一次说走就走的旅行。你计划了n个城市，每个城市之间的路费有高有低，你的旅行路线还要满足：1. 不走重复路线2. 每个城市都去过一次3. 从你家出发，最后回到你家* 问题：该怎样规划你的旅行路线，使得总共的路费最少？这就是著名的“旅行商问题”。你可能会问，这还不简单，我每条路线都算一遍，找个最便宜的不就行？如果你还记得中学的排列组合知识，你该知道一共有 n!/2 种可能的路线，n！代表的是阶乘，即 n(n-1)(n-2)(n-3)…*2*1。当n=10的时候，n! 大约是363万；当n=60的时候，这个可能的组合数就已经超过了宇宙中的原子总数！目前的计算机根本hold不住……实际生活中，有很多问题都与旅行商问题等价。除非n很小，多数时候只能求近似解。11:11
陈寅--北京五期五班
0 赞补充一段关于双射的感受。我们都知道，分类往往是解决问题的一个比较好的方法，分而治之。而分类的原则我们也很熟悉，就是要做到不重不漏（也就是MECE原则）。其实这就是在等待分配的事物与类别之间建立了一个双射。小时候，我们无法认知诸多复杂的可能性，以及其之间微妙的区别。因此，往往采用“非黑即白”的分类方式（双射），比如，好人和坏人、聪明和笨蛋等等（常见于各种童话故事）。但是，我们知道，真实世界并不是非黑即白的，这之间存在着极大的丰富性等待我们去感知去认知。就好比，我们如何评价一台显示器的优劣，除了分辨率以外，还有一个衡量参数，就是灰度。一台只能呈现黑和白两种灰度的显示器，和另一台能够呈现256种不同灰度的显示器，高下立判。256种灰度，其实就是256种不同的黑白比例，就是256种类别，这种分类方式（双射）能够展示的细腻与可能性自然就更加丰富。反过来讲，我们也需要不断的感知世界的丰富性，去分辨那细微之处的差别，这就是在使用数学思维处理事物。杰拉茨菲尔德说的，“头脑里面同时拥有两种截然相反的观点还能正常行事，这是一等智慧的表现。”这里面，两种截然相反的观点并不是重点，知道什么时候在哪种情况下使用哪个观点才是重点。你看，说的还是双射。现在我们甚至知道了，两种截然相反的观点也算得了什么，4种、8种、256种也是能够装得下的。甚至，我们也可以说，对于真实世界、对于事物感受的细腻度（能够识别的种类）也可以作为一个指标，用来区别高手与绝顶高手之间的区别。一段音乐中，如果存在一个音符、一个节奏、一个音调上的微弱差别，我们听起来可能差不多，但是音乐大师却可以自如的感知到。当然了，任何事情的发展都需要过程，认知也不例外。我们并不追求一下子能够识别出那么多的种类及其之间的区别。我们仍然是从2种开始，慢慢发展为4种、8种，从而不断地丰富我们的认知。因此，人类的认知过程就是一段双射的发展过程，而我们的认知也是一个将双射不断深化发展的过程。10:13
老罗
0 赞从哪里查看昨晚抽奖情况？9:52作者回复今晚24点更新的文稿。10:08
Dx
0 赞数学是所有理工科的上位学科，理工科的本质是在不同尺度下研究和应用我们这个宇宙。我们的宇宙在时空尺度，基本粒子等等方面，似乎都展现出了当前物理定律适用的最小单位。宇宙似乎是基于数值解运行的。但在量的累积之下，宏观事物常表现出了解析解的特征。例如概率论中二项分布和泊松分布的关系。在尺度发生变化之后，数学可以用一个相对复杂的运算，代替巨量的简单计算。有人说，研究数学是触摸上帝之手的途径之一。但哥德尔不完备性定理却明确了系统具有探索边界。即便如此，人类依旧不会认输，会一次次的向着远处的高峰进军。9:50
武昭
0 赞今天的数学思维课再次加深了我对在边界内做事的认识，在边界内做事首先要认识边界，限制边界的因素有很多，而数学是最硬的那一条，了解了这一点，我们就会对计算机以及人工智能的边界有清醒的认识，因为他们不仅受到数学的边界，还受到其他的边界，如果一个问题在数学上不可解，那指望他们也无济于事。今天的课也让我体会到从感性认识到理论证明的巨大差距，费马大定理和希尔伯特第十问题看起来很简单，估计上过初中的人都能理解题目的意思，但要是证明它，那可真是要耗费许多顶级数学家一生的精力，我等凡人还是乖乖的应用数学吧，纯数学研究就留给那些天才。9:23
张建伟
0 赞今天这篇课程有一个词或者说一个概念让我觉得感触最深，那就是“边界”。在我们的人生中，做每一件事情都要知道边界。单纯的想通过不断的努力去跨越边界，往往难以实现。吴军老师在“谷歌方法论”中也提到了“边界”。通过数学严密的计算，得到了计算机的边界，那么对于计算机领域从业者最好的方法就是在边界内做事情。但是在本篇的最后，吴军老师也提出了跨越边界的一种方法，那就是数学的边界有时候不是我们解决问题的边界，因为世界上除了数学的方法，还有其他的方法。那么对于我们个人来说，做事情要想清楚问题的边界在哪里，在我们接近边界时，通过引入新的方法来打破边界是一条合理的途径。这也符合信息时代的指导方法论中“信息论”的消除信息歧义有效办法是引入新信息的方法，解决问题遇到瓶颈的时候，引入一种新的方式方法更有利于突破现状，更进一步。9:21
小小寰球
0 赞很多时候我们在必须做出决策，但是在既有的条件约束下找不到一个最优解。比如老板眼睛闭着嘴巴一张找你要一个什么材料，有什么要求，限期完成。但是老板并不亲手做，他只提要求和条件，可能在他的条件和要求下所需要的材料是“无解的”，你清楚的知道这一点，但作为下属你必须要拿出一个结果。此时我们只能用相对少的投入，满足尽量多的条件，做出“比较优”的解，至少在操作上将问题推进实施下去，而非让脑子开足马力去寻找那个可能根本不存在的“正确答案”。一来在现有条件下可能问题根本就是无解的，想破脑袋也没法解决。二来有时候及时解决问题，比用98分的方法还是100分的方法解决问题更重要。9:21
奇问小顽童
0 赞毕达哥拉斯的确开创了一个大的历史。我们人是有边界的，因为人一辈子不可能把所有的问题解决完，甚至现在还有很多问题都没发现呢。数学是我们解决问题的工具，所以很大程度上我们所了解的边边角角的问题不一定能够解答出来。我们能做的就是在边界内好好做事在边界上慢慢探索。9:03
赵迪
0 赞又把罗胖85期罗辑思维翻出来看看，很欣赏他的一段话。直到我读了《费马大定理》这本书，我才知道，原来数学是如此有魅力，它的魅力是光芒万丈，吸引那么多智力卓绝的人，把自己的生命献祭上去。整个数学史，就是一曲波澜壮阔的史诗，这个时候我才知道数学的好。8:54
李明才Frank
0 赞第一次接触费马大定理的故事是在考研复习高数的时候。那时候刚好也是属于低落期，突然听到一个这么神奇的故事顿时让我对数学多了几分敬畏感，同时也再一次让我深刻感受到数学的魅力。这也是我当时复习的一个转折点，最终如愿考上理想的学校。后来我还专门买了《费马大定理》这本书，读完之后发现数学家在证明费马猜想的过程也是一段成果颇丰的数学史。对此感兴趣的小伙伴一定要读读这本书，好多细节真的讲得很精彩！8:50
Frank林
0 赞吴军老师一直在倡导“在边界里做事情”，受益匪浅。最先想到的，也是吴军老师对于人工智能边界问题的解释，告诉我们：人工智能只能解决现实问题中的一部分有解的数学问题——所以人工智能当然不会统治人类。楼上已经有同学分享过了，故不在此赘述。除了人工智能边界问题，吴军老师在《谷歌方法论》中另外一个案例，也同样让我印象深刻。现在很多低端手机也会宣称拥有1000万、2000万的分辨率，它们是否能达到如此之高的清晰度呢？答案是不能。因为镜头的分辨率是有极限的，这个极限来自于自然光的波长。相邻的两束光会相互干涉，如果镜头太小，成像是不可能清晰的，像素再多，也不过是像素的叠加，无法提升清晰度。因此，不要对所有手机厂家宣称的清晰度过分相信。吴军老通过“数学边界”告诉我们，在科研、工程等任何领域内，所能做的事情，是“在边界内寻求最优解”，而不是去尝试突破理论边界、做无用功。8:48
007豪哥
0 赞我很好奇，会有多少人跟我一样？若不是吴军老师开这门数学课，可能这辈子都不想再碰数学了！如今听到吴军老师讲数学，我发现自己小时候学的是假的数学。一口气听完5讲《数学通识》，我的脑海当中浮现出一个场景：就是在电影《少年的你》中，高考结束后漫天飞舞的被撕碎了的哪些书籍和练习题。我在想，这是得有多大的恨呀！是不是就在那一刻，有些人就永远把学习和人生间的桥梁给切断了？回到今天的课程，我最大的收获是：数学的存在，也许是人类好奇心的产物。回到两千五百年前，咱们的数学奠基人—老毕，从胡思乱想，到提出假设，再大费周章地证明，最后获得精神上的满足感和优越感。我在想，这是得有多闲？有多么强大的好奇心？才能够花这么多的心思和精力去研究，在当年看来如此没用场的事？此外，他们家里一定有矿吧！回到开头的问题，我为什么会从吴军老师这里重新了解数学？除了对吴老师的信任，无他，唯好奇心耳。8:42
海龟篮球王
0 赞一大早跟着吴军老师的课程去\"挖坟\"，把罗胖第85期的内容看完了，罗胖为了降低枯燥性，提高故事性，运用了大量的自嘲和数学名人的轶事。最后推出全文主旨的：\"人类知识领域、智力领域的任何丰碑，从来都不是用强烈的目的性建造出来的，它的每一块砖，每一块瓦，都是由兴趣堆积出来的。\"想想自己的经历，上大学之前，除了觉得数学的美带来了兴趣以外，主要就是成绩一直不错（学校以及竞赛），让人有继续学下去的动力。到了大学，外语教学加微积分，然后物理和工科又是大量的微积分，让人崩溃。昨天的直播，吴军老师用\"不积跬步无以至千里\"的道理讲解微积分，让人重燃******，数学不再是工具，是******内容，而是一种思维方式。感谢吴军老师和五位助教，重新逐梦的感觉真好！本文讲述的主要是数学的边界，昨天老师也举了例子，全是无人驾驶车，有人站在马路中间怎么办。这不是数学能解决的。那像今天的问题，由于无穷大的存在，枚举法这种策略就会穷尽算力也得不到解，也就是需要其他的算法和推演方法，也是目前机器学习和人工智能在不断进步的原因。转需希尔伯特的二十三个问题第1到第3问题（1）康托的连续统基数问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。（2）算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M.Dehn）1900年已解决。第4到第6问题（4）两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐平（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。第7到第9问题（7）某些数的超越性的证明。需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决。其中，哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1+2），而华人数学家张益唐在2013年在孪生素数猜想领域做出了突破性的贡献。（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。第10到第12问题（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况******是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。第13到第15问题（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。（14）某些完备函数系的有限的证明。即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。（15）建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。第16到第18问题（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且(1,3)分布，但证明有误，至今二次系统的问题尚未解决。（17）半正定形式的平方和表示。实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。第19到第21问题（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦（Bernstein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。（20）研究一般边值问题。此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继续发展。（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。第22到第23问题（22）用自守函数将解析函数单值化。此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。（23）发展变分学方法的研究。这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。8:40
济南卞金国
0 赞看到费马大定理的被证明过程一波三折，再次印证了数学的灵魂－逻辑性。在数学领域内的关于猜想的每一次被证明，都有前人的努力和付出作为基础。就像刘润老师在五分钟商学院基础篇里说的，前人的智慧，我们的阶梯。这也是前人栽树，后人乘凉。推而广之，不管哪个领域，我们在享受前人带来的便利的同时，也不要忘了他们为此洒下的汗水，付出的辛劳。8:35
游山玩水
0 赞1看了这一讲，对老师前文提到的“深度思考”有了形象的理解，一个证明过程要用170页，200页纸，还一环套一环，这得多大的脑量啊。2，说到边界，我的理解是数学是不会说话的，是固定的，它就摆放在那看的见或看不见的地方。像是人么把它看成是另一个自己，在不断的和它对话，提出一个为什么，从而呈现出各种可能的未来8:31
冯琨
0 赞记得吴军老师在之前课程中讲到为何不必惧怕AI时讲到过计算的边界，让我印象极深刻：1、世界上有很多问题，其中只有一小部分是数学问题；2、在数学问题中，只有一小部分是有解的；3、在有解的问题中，只有一部分是理想状态的图灵机可以解决的；4、在后一类的问题中，又只有一部分是今天实际的计算机可以解决的；5、而人工智能可以解决的问题，又只是计算机可以解决问题的一部分。今天通过案例又重温了这个观点，让我对边界内做事情的理念又有了深入理解。8:28
金戈铁马
0 赞吴军老师在《谷歌方法论》等课程中，也多次讲到过边界对于个人和行业的重要意义。学习今天课程，再次重温了边界的概念和内涵，我个人有两点体会：第一，无论任何行业，技术水平可以提高，但是理论的边界却是难以突破。以计算机行业为例，图灵机就是理论的边界，可能在未来很长的一段时期内都无法突破。理解了理论边界在哪里，我们就知道了工作的前进方向；接下去要做的，就是在边界内把事情做好，不断提高技术水平、做到精益求精。而如果不了解理论边界在哪里，只是凭借自身的凭空想象去做事，比如说发明永动机，那么所有的努力都是徒劳无功。第二，每个人的智力和能力也是有边界的。即使爱因斯坦这样伟大的物理学家，也在量子力学领域栽了跟头。理解了这一点，我们应该做的，就是把握好自己的特长、找到自己擅长的领域，把领域内的事情做好、做到极致；而剩下的工作，则通过和他人的合作来完成。了解了自己能力的边界在哪里，就能够少一些不切实际的幻想，就会对未知的世界多一份敬畏之心，也就能让自己在边界内活出人生的精彩。8:22
边鱼
0 赞05数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理【得到】这一节，吴军老师向我们传递了一个非常重要的思维模型——边界思维。数学有边界，因为世界上不是所有问题都是数学问题； 与此同时，人与人之间有边界，哪怕关系再亲密，也能超越边界，按照“个体心理学”奠基人阿德勒的说法，每个人面临的问题都是他自己的课题，每个人也都只能解决自己的课题；微观经济与宏观经济之间有边界，按照何帆老师在《宏观经济学》课程中的讲法，宏观问题并不是微观问题的线性放大。前总理也说过：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小。” 那么，是不是说明学科之间的边界有如此深壑，我们不能越雷池半步呢？亚里士多德是学科分科的鼻祖，芒格是将多元模型思维在投资上取得巨大成就的实践者。 我的结论：在学问上，我们要尊重学科的边界、学科与学科之间的边界，尊重每个学科的底层原理，不要企图制造永动机，不要盲目跨界；而面对复杂现实世界的具体问题，要多准备几把锤子，要对一个问题发起多元思维的攻击，要将天下学问为我所用。也许，这也是思想者和行动者最大的区别和边界吧！8:22
朱先生
0 赞数学全身都是宝，通过这几天学习，我发现很多以前了解的知识都与数学有关，比如：自控力、三段论、批判性思维等等。学完课感觉很有收获，为了收获多一些、忘得少一些，希望吴老师和五位助教能在课后布置点课后练习。8:13
侯雅琦
0 赞#数学助教##菲尔慈奖与巴黎高等师范学院# 今天的课程中提到了「菲尔慈奖」，借此就来说说数学领域一定要知道的两件事情：菲尔慈奖与巴黎高等师范学院。菲尔慈奖提到诺贝尔奖，可谓是无人不知，无人不晓，但是菲尔慈奖，可能就只有学数学的人关注了。诺贝尔奖本身并没有设立数学奖，但是数学界有自己的“诺贝尔奖”，这个奖就是「菲尔慈奖」。菲尔慈奖每四年颁发一次，颁给那些在数学界有贡献的「年轻」数学家，之所以说「年轻」，是因为它只颁给「未满四十周岁」的数学家，这也是为什么本次课中证明了费马大定理的怀尔斯得到的不是菲尔茨奖，而是迄今为止唯一一个菲尔茨特别贡献奖。巴黎高等师范学院这是一个无论从规模还是在大众眼中的名气都不大的一所，可以说是数学圣殿了。看下面一组数字，截止到2018年，从哈佛大学走出的菲尔慈奖得主共计18位；从巴黎高等师范大学走出的菲尔慈奖得主共计14位；虽然看上去没有哈佛大学的人数多，但是巴黎高师的每年招生人数只有只有只有200人，这个数量可能还不及哈佛大学一个学院的招生人数，在这么有限的学生中，诞生出如此多伟大的数学家，足以显示出巴黎高等师范学院的厉害。在看看，巴黎高等师范学院中一些牛逼哄哄的数学界「校友」：包括拉普拉斯、拉格朗日、柯西、傅里叶、蒙日、伽罗瓦、勒让德、埃尔米特，是不是都是我们在数学课本中才会见到的人名.喜欢数学，擅长数学的，除了哈佛，巴黎高等师范学院也许是更好也更难的选择8:01
山峰
0 赞1900年，在巴黎希尔伯特提出了23个著名的问题。其中第二个问题是关于算术系统的相容性。这个问题涉及数学是完备的吗？即数学真理是否能被证明；数学是一致的吗？即数学是否没有内部矛盾；数学是可判定的吗？即数学证明能否机械化；以上的问题，实质是为数学划定边界，定分止争。仅过了28年，数学家哥德尔就前两个问题给出了结论，推出了哥德尔不完备定理。定理内容大致如下:1、任何包含了算术的数学系统都不可能同时拥有完备性和一致性。2、任何包含了算术的数学系统，如果它是一致的，那么我们不能在它的内部证明它本身的一致性。简而言之，数学的极限:在数学的领域上，有些东西我们不知道，也不可能知道，很可能有些数学家辛辛苦苦做了几十年的题目，会突然被证明是在现有数学体系中不可判定的。7:33
robovoid
0 赞#数学助教#有些问题，虽然理论上有正确******，但是计算出正确******的成本太高，执着于完美主义，不如找到一个近似的来解决实际问题。举个简单的例子，每个人都去过一些国家（>=1，可以重复)，想要在某个群体中，比如学《数学通识50讲》的，找出尽可能少的人，使得这些人去过的国家能够覆盖G20的成员国（单纯举例子也可以说全世界每个国家，不过考虑到实际情况，意义不大）。如果所有人加起来都无法全部覆盖，用尽可能少的人数，覆盖尽可能多的国家。诸如此类的问题标准名字是“集合覆盖问题”，在计算机里属于NP问题如果想要找到完美的******，需要遍历每一种组合，从满足条件里选出人数最少的。每一种究竟有多大？在完美******里，群体里的每个人都有可能被选中或者不被选中，也就是说每个人对应两种情况。假设有n个人，那么总共的备选方案就会有2^n种。如果n比较小，对于现在的计算机来说，还是可以接受的，但是n只要稍微大一点，运算的时间和空间就将无法承受。稍微大一点是多大，不到100。这个很容易估算，比如生成k个人的组合只需要1秒，那么对于k+30需要多久。2^(k+30) = 2^k * 2^30。 现在计算机很普及，2^10=1024想必很多人都知道。1024>1000=10^3。 2^30 > 10^9。每天是86400秒，6:35
重庆Franklin
0 赞吴伯凡说认知有四个阶段：不知道不知道，知道不知道，知道知道，不知道知道。最开始的境界就是不知道自己不知道，这不仅是自己的无知，而且对自己的无知全然不知，也就是不知道“知道”的边界在哪里。认识边界很重要，边界是自我反省进步的先决条件。数学的广袤无垠，让我们知道自己的渺小，自己的边界，才能心怀敬畏，在能作为的世界尽力，而非不能作为的世界里徒劳。0:21
Cynthia
0 赞#数学助教#* 拓展阅读：每天听本书《费马大定理》（数学家除了追求真理，也是会追“名”的）有的问题，可以通过数学推导，直接给出“求解公式”，例如高中学的“二元一次方程”的求根公式，直接把abc带入公式就能得到******。数学中称这种“求解公式”为“解析解”然而，大部分数学问题是没有“解析解”的（哪怕有也很难在有限的计算资源下高效的算出），甚至有的问题不知道有没有解，这就是数学的局限性。数学常常简洁优美，但是这个世界比我们想象中复杂得多。大自然并不擅长顶层设计，相反，它是一个利用*动态演化*近似求解的高手！事实上，计算机领域很多高效的求解算法，都借鉴了“演化论”的思想，有的算法甚至就是“演化”本身！总之，无论是在数学世界还是真实世界，“解析解”是幸运，“近似解”是常态。0:21
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY5#分享一个，吴军老师在《谷歌方法论》004封信里对问题、数学的边界、人工智能的理解。1.世界上有很多问题，其中只有一小部分是数学问题 。2.在数学问题中，只有一小部分是有解的。3.在有解的数学问题中，只有一部分是理想状态的图灵机可以解决的。4.在图灵机可以解决的问题中，只有一部分是当今的计算机可以解决的。5.人工智能可以解决的问题，只是计算机可以解决的问题的一部分。第1,2两个结论的依据是数学家已经证明了的：并非所有的数学问题都有解，即使有解，计算的步骤也可能是无限的。第3,4结论的依据是图灵机（数学模型，非机器）设计的初衷就是通过有限的步骤求证有明确解的数学问题，当今的计算机，也包括正在设计的计算机都在图灵机的范畴之内。第5的依据是人工智能是建立在计算的基础之上的。（点我头像，我配了张图）担心人工智能的强大是杞人忧天，人类需要做的是实现更强大的人工智能，以解决更多现实的问题。0:10