你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
今天大家对毕达哥拉斯的了解，除了勾股定理，还有就是黄金分割。而他用数学指导艺术和音乐，也确立了数学在其它知识体系和人类文明成就中的中心地位。这一讲，我们就从黄金分割出发，进一步理解数学的用途。这个用途不仅仅是在思维方面，也能实实在在指导我们的工作。
我们先来看一张照片，感受一下黄金分割。
这是雅典卫城的帕特农神庙，它无论是在艺术史上，还是建筑史上地位都很高，如果你度量一下它正面的宽与高，正好符合我们所说的黄金分割。
黄金分割大家并不陌生，你可能还会说出它的比例大约是1:0.618，也就是1.618。其实不仅帕特农神庙本身和里面很多雕塑的关键比例符合黄金分割，著名的雕塑《断臂的维纳斯》，它的身高和腿长的比例，腿和上身的比例也都符合黄金分割。符合这个黄金比例的雕塑或建筑就看上去很顺眼，很美观。
那么黄金分割是如何确定的呢，这个比例为什么看起来顺眼呢？简单地讲，它的美感来自几何图形的相似性。
比如我画了一个符合黄金分割的长方形，它的长度是X，宽度是Y。如果我们用剪刀从中剪掉一个边长为Y的正方形（也就是图中灰色的部分），剩下来的长方形，长宽之比依然会符合黄金分割。
当然，我们还可以继续剪掉一个正方形（图中绿色的部分），剩下的长方形（图中透明的部分）的长宽依然会符合黄金分割的比例。
也就是说，如果我们这样不断地切下去，剩余部分都是成同一比例的。
黄金分割的这个比例很容易算出来。根据黄金分割上述的相似性质，我们可以很容易算出来X/Y的比例是1.618左右，更精确地讲，是根号5加上1之后的和除以2，这是一个无理数，通常用希腊字母Ф来表示。
黄金分割为什么漂亮？除了在几何上层层相似，这个相似性之外，它也反映了自然界的物理学特征。如果我们把刚才图中的长方形不断做切割，然后将每个被切掉的正方形的边用圆弧替代，就得到了这样一个螺旋线。由于这个螺旋线每转动同样的角度，得到的圆弧是等比例的，因此它也被称为等角螺线。如果你对比这个螺旋线和下面的蜗牛壳，是否觉得很相似？
不仅蜗牛壳如此，龙卷风的性质乃至像银河系这样星系的形状都是如此。需要指出的是，这不是巧合，而是因为任何东西如果从中心出发，同比例放大，必然得到这样的形状。
或许正是因为黄金分割反映了宇宙自身的一个常数，我们对它才特别有亲切感，所以哪个建筑或者画作如果有意无意满足了这个条件，它就显得特别美。除了帕特农神庙，埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例，也正好符合黄金分割，甚至符合等角螺旋线。
类似的，《蒙娜丽莎》的主要结构部分也可以对应一条等角螺旋线。需要说明的是，无论是帕特农神庙的设计者，还是达·芬奇或者埃菲尔，他们都知道黄金分割，并且刻意使用了这个比例。
最先提出黄金分割的人是谁呢？古埃及人似乎早在4500年前就知道了这个比例的存在，因为大金字塔从任何一个面看上去，其正切面的斜边长和金字塔高度之比正好是黄金分割的比例。
当然，没有证据表明他们算出了精确的比例公式，因为他们不知道有无理数存在。
今天一般认为，算出黄金分割公式的还是毕达哥拉斯。虽然相传毕达哥拉斯是在一次听到一个铁匠打铁和谐而动听的声音后，研究出了黄金分割，但是我觉得这种说法缺乏依据。
大家更认可的说法是，毕达哥拉斯学派的人在做正五边形和五角星的图形时，发现了黄金分割的比例。在正五角星中，每一个等腰三角形的斜边和底边的比例都是黄金分割1.618。
我们刚才说毕达哥拉斯还可能是从铁匠的打铁声中获得了黄金分割的启发，但是无从考证，不过毕达哥拉斯学派利用数学指导音乐是真实的事情。毕达哥拉斯认为，要产生让人愉快的音乐，就不能随机在连续的音调中选择音阶，而需要根据数学上的比例设计：
首先，人们发现两根琴弦，如果它们的长度比是2:1，它们所奏出来的音节就相差一个8度，如果我们用简谱来记录，也就是1-2-3-4-5-6-7-i，高音1的音高是中音1的两倍。在这一个8度中最高音和最低音的频率之比也就是为2:1。
接下来，将这8度又一分为二，按照4:3和3:2的比例，分出一个4度音和一个5度音，它们分别对应1-2-3-4和4-5-6-7-i。注意，由于4/3 x 3/2 = 2:1，因此一个4度音和一个5度音会还原成一个8度音。
最后，每个4度音分成两个整声调，即分出2和3，5度音分为三个整声调，即分出5，6，7。这样就是按照比例设计的了。
如果不按照比例分配音节是什么结果呢？我们听到的声音就如同噪音，而不是有规律的乐音。今天对耳蜗的解刨学研究发现，耳蜗的形状其实也是螺旋线的，和黄金分割的螺旋线非常吻合。这可能是按照黄金分割设定音律后，声音悦耳的原因。
毕达哥拉斯和他的学派对音乐和美学的影响一直影响到柏拉图和亚里士多德，以及后来诸多文艺复兴的学者。
数学不仅和音乐密切相关，也对建筑和绘画艺术产生了重大的影响。我们看从文艺复兴时期开始，到19世纪浪漫主义时期的西方油画，都会惊叹于它们的逼真。这个逼真的效果从哪里来？它源于艺术家们使用单点******的方法，成功地将三维形象绘制到一个二维平面上。当然，这个绘画技术不是一天发明的。
其实，早在古希腊时期，人们就发现了远处景物显得小，近处的显得大这样的特点，并且将这种特点反映到绘画中了，他们把这种方法叫做短缩法。但是，古希腊人并不知道物体在离开我们远去时，该遵循什么数学法则进行缩小。
到了文艺复兴时期，佛罗伦萨的画家乌切洛沉溺于使用几何学技术将绘画变得逼真，在他为美第奇家族绘制的《圣罗马诺之战》中，我们可以看到明显采用******法炫技的痕迹。
大家可以仔细看看地上倒下的战士和旁边的长矛，都指向远方的消失点。他用******法为绘画构建了立体的舞台。不过，如果你仔细看，会觉得这幅画中有不少别扭的地方，因为这幅画好像不止一个******的方向。
那么是谁真正解决了******法中的数学问题，并且将这种技巧给予了广大艺术家的呢？他是文艺复兴时期大名鼎鼎的建筑师和工程师布鲁内莱斯基，今天佛罗伦萨的圣母百花大教堂就是他的杰作。关于这座在建筑史上划时代建筑的建造过程，我们在《科技史纲60讲》中已经介绍了，这里就不再赘述了。
布鲁内莱斯基所发明的单点******法，完全符合我们视觉应有的几何学原理，具体讲就是相似三角形的原理，因此按照这样的方法画出来的画就非常逼真。下面我们就从视觉中的几何学原理出发，简单介绍一下单点******法。
假定我们前方100米和500米处各有一棵大树，它们都是50米高。我们知道近处的树在我们的眼睛里显得高，远处的显得小。那么看起来，它们的比例到底该是几比几呢？简单地讲，就是应该和距离成反比，即100米处50米高的树，放到500米处，应该显得只有10米高。如果放到无穷远处，则应该是0米高，也就是地平线上的一个点。对于其他的距离，我们看到的高度也是同样和距离成反比。这样，如果我们把各个距离之处50米高的大树连城一条线，就是我们得到的******的视觉效果了。
下图是我在电视剧《权力的游戏》的外景地（北爱尔兰）拍的照片。从照片可以看出，所有相同大小的景物，按照远近的比例缩小，在远处汇聚到一点。
理解了我们视觉的数学原理，就可以利用它创造出不同的艺术效果。比如在现实世界里，我们看到的是单点******，因为人的眼睛不可能同时往两边看，但是我们可以在艺术创作中采用两点和多点******。
下图是两点******的效果图，景物消失在一左一右两点上。我们通常目光只能集中在一个方向，看不了这么广的视角，但是你如果用鱼眼镜头拍照，就能拍出这样的效果。
我们在今后的课程中，还会讲到，艺术需要数学，也需要光学。印象派绘画的一大特点，就是很好地利用了当时人类在物理上对于色彩和亮度认识的进步。
要点总结：
最后总结一下今天的内容，其实我们是在回答数学的用途。
数学和艺术，以及其他的知识体系有着千丝万缕的联系，我们以黄金分割和******法为例子介绍了这种关系。了解一些基本的数学知识和方法对我们做其他事情有很多好处。当然，有些人会讲，我们学不会那些数学上的道理啊，没关系，有些方法你只要记住就好。
我们下一讲就从黄金分割出发，介绍优选法，大家只要掌握它的一些基本原则，就能直接使用了。
吴军
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用户留言
robovoid
0 赞#数学助教##黄金分割法求极值#一些现实问题可以抽象成，在一定范围内寻找极小值（极大值 极小值本质上一样，为了方便描述，用极小值）。对于在区间[a,b]内连续且可微的函数f(x)，可以直接用分析法找出导数为0的点，从而找到极值。但是，很多函数（尤其是现实问题）并不具备这样的性质，比如 f(x) = |x-2| + (x-1)^2, 在x=2点连续但不可微。对于这类问题，可以用搜索算法找到极值点（实际情况中，一般是找到极值的近似点）。当然，搜索算法也有局限，适用于范围内只有一个极值点的情况。搜索极小值算法的基本思路是，对于初始区间[a0,b0]，假设极值点为f(m)。逐步缩小搜索范围，找到a1 b1, 使得极值点在[a1, b1]里。重复这个操作，直到最终剩下的区间[an, bn]足够小，用 (f(an)+f(bn))/2当作f(m)的近似值。如何缩小范围？原理很简单，找到a1 b1, 计算f(a1) f(b1)。如果f(a1) < f(b1)，那么极值点就在[a0,b1]内，a1=a0。如果f(a1) > f(b1)，极值点在[a1,b]内,b1=b0。不同的算法，区别就在于如何缩小范围，也就是选择适合的a1 b1。a0 a1 b1 b0，4个点，把区域分成3段，直观的策略就是“三分法”，也就是a1=a0+0.33*(b0-a0), b1 = b0 - 0.33*(b0-a0)。这样[a0,a1],[a1,b1],[b1,b0]的长度都是1/3倍关于这种策略的优缺点，放到后面，先来看下另一种分割策略。也就是黄金分割法。 用黄金分割法，a1 = 0.382*(b0-a0), b1 = b0 - 0.382*(b0-a0)。这样操作，[a0,b1] [a1,b0]的长度是0.618倍。对于2种策略的对比，首先看每次迭代剩余的空间. 三分法，每次剩下2/3，黄金分割法，每次剩下0.618，2者都以指数级速度缩小剩余空间，换句话说时间复杂度都是O(log N)。但是，在逐步缩小的过程中，求f(ak),f(bk)的时候，二者有很大区别。三分法，由于每次缩小之后都是取3分点，所以每次都需要计算新的f(ak),f(bk)。而黄金分割法，由于黄金分割的性质，每次只需要计算一个新的f(ak)或f(bk)，另一个等于前一步没有被淘汰掉的。 举个例子，随便画一条线段，按照黄金分割的法则，从左到右分别为a b c d,|ac|=|bd|=phi*|ad|。假设第一次去掉cd段，下一步需要在ac中寻找2个点使得继续满足黄金分割。由于|ab|=phi*|ac|,所以下一步中只需要新增一个点e，使得|ce|=phi*|ac|即可。可以重复利用之前的计算结果，对比三分法，节省了一半f(x)的运算量。时间复杂度虽然相同，但是对于现实问题，表现往往优于三分法。如果有疑问或者建议，欢迎讨论12:57
廖伟吉
0 赞黄金分割比例这个概念我觉得是不是被神化了呢。画一个符合黄金分割的长方形，它的长度是X，宽度是Y。如果我们用剪刀从中剪掉一个边长为Y的正方形（也就是图中灰色的部分），剩下来的长方形，长宽之比依然会符合黄金分割。通过吴老师讲的这个案例，很容易解出这个比例是根号5加1的和除以2，但是这并不能说明什么啊。探讨非自然界的东西没有什么意义，因为这加入了人为的因素，比如埃菲尔铁塔，当初也许建造者就是以这个比例建造的，说明不了任何问题。在蒙娜丽莎这幅画中截取一部分强行加入这个曲线，更是显得生硬，而整幅画的长宽比显然还不符合黄金分割比例，这甚至还反证了世界公认的一幅画不符合黄金分割比例，但依旧很美。关于自然界的是否存在黄金分割比例这个现象，文中所例举的蜗牛壳，龙卷风这些也很牵强；因为蜗牛壳的过度是自然过度的曲线，而通过不断的加正方形的方式外扩的曲线则是多个1/4个圆的弧线生硬的连接在一起，实在无法认同这是同一个东西。可能是我境界或水平不够，一直理解不了这点，今天这篇文章依然没能解答我心中的疑惑；生活中，我们现在用得最多的应该是各种屏幕：手机屏幕，电脑屏幕，电视屏幕，这些屏幕据我所知很多都不是黄金分割比例，而且我们还同时用着不同比例的屏幕，习惯了就都觉得挺好，黄金分割比例似乎没什么特别的啊。在我看来事物本身无美丑，黄金分割只是某些人的美学观点，将其视为美，并找了一些依据来支持他。人有一个观点，总能找到一些支持他观点的证据。比如如果我说：画一个符合钻石分割（也可以叫白银分割···）的长方形，它的长度是X，宽度是Y。如果我们沿着长度X的中线折叠，得到的一个新的长方形的长宽之比依然会符合钻石分割。由此算出钻石分割为根号2，然后我说这个钻石分割是最美的，这难道不是同一个道理吗？12:18
易水寒00
0 赞黄金分割率解法:设长方形长为X，宽为Y黄金分割满足的关系为Y/X=(X-Y)/Y设X/Y=a，则X=a*Y，代入上式，化简可得
a*a-a-1)*y*y=0又因为y>0，所以a*a-a-1=0解得a=(1±√5)/2又因为a>0，所以a=(1+√5)/211:40
a*a-a-1)*y*y=0又因为y>0，所以a*a-a-1=0解得a=(1±√5)/2又因为a>0，所以a=(1+√5)/211:40Dx
0 赞等角螺线可以看做是指数函数在极坐标下的表现，黄金风格的等角螺线是其中一种重要且特殊的存在。除黄金分割以外，还有白银分割，青铜分割等等其他以金属分割命名的比例。数学通式是：x^2 - nx - 1 = 0这些分割都拥有各自的美学特征。作为高等生物的人类，能不自觉得从美学角度来捕捉作品中隐藏的数学信息，可以看做是道法自然的重要体现之一。9:28
Frank林
0 赞读完本章节，首先想到的是《维特鲁威人》。达芬奇作为科学巨匠和艺术巨匠，似乎是诠释“数学和艺术结合”的最佳人选。他的《维特鲁威人》，是严格按照数学上精准的比例绘制，将数学在绘画中应用到极致了。其次想到的是斐波那契数列，很多人在丹布朗的《达芬奇密码》中，才首次知道这个数列。斐波那契数列是一个线性递推数列，前两位都是1，从第三位起，每一位等于前两位数之和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，……，17711，28657，46368，……。神奇的地方在于，随着数值的增大，前一位与后一位的比值越来越逼近黄金分割比0.618。证明就略了吧9:25
内含子
0 赞数学通识50讲（06）黄金分割 凡是美的东西，都有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调性。这种协调性是自然界中普遍存在的客观规律。 当气温处在人体正常体温的黄金分割点处23度左右时，人感觉最为舒适。 植物界，上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5度，这时采光，通风是最佳的。137.5：（360-137.5）=0.618 动物界，凡看上去舒服的，长与宽的比例都接近黄金分割。 黄金分割是上帝创造的，人类只是发现并学会利用它。9:12
donwe
0 赞吴老师好，记得中学时老师说到黄金分割这个概念时，又把它叫做零点六一八法，就是一条线段分为长短两部分，其中长线段的平方等于总线段与短线段的乘积，那个点位就叫做黄金分割点，长线段与总长之比就是0.618。课堂上老师还提到过，数学家华罗庚大力推广的优选法就是这个定理在实际中的应用，比如做试验加配方，以黄金分割点对应的数值上下调整，这样试验的次数是最省，实现的代价是最经济的。PS：突然觉得我们国内的中学基础教育还真不赖，只是自己当初没学好，很多知识追根溯源都是在中学萌芽的。8:51
梦祺
0 赞# 数学助教 ## 黄金分割与美学 #黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，被认为是建筑和艺术中最理想的比例， 在达·芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》中都运用了黄金分割，古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗双腿与身高的比值为0.618，在建筑设计中，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。# 黄金分割与界面设计 #现在社会，黄金分割广泛用在了界面设计中。在构图遇到正方形或者长方形等规则的形状时，会在前期把规则的形状中心放在黄金分割线上，等所有内容添加完成后再分析画面的重量，微调来平衡画面；对于不规则的形状（或者轮廓化形状），根据形状的重心与黄金分割线重合；一个画面可以切成多个黄金分割线，在界面设计时，可以根据元素的多少选择更合适的环境分割线；黄金螺旋线可以帮助确定画面的最佳兴趣点。黄金分割在生活中还有什么应用吗，欢迎大家补充。8:45
金戈铁马
0 赞著名数学家、计算机科学家冯·诺伊曼曾说过：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的”。数学并不仅仅是冰冷的数字、公式和定理，它更是一门艺术，是能够融入生活的美学。可以说，对于美学的追求，也是数学得以发展和进步的重要源动力。即使是数学中最简单的形状，比如说圆、三角形、四边形等等，这些形状不仅在生活中处处可见，还能够被赋予各种含义，例如正方形往往代表工整，而圆往往代表完美。而在艺术创作领域，数学更是与美学产生了更加紧密的融合，达芬奇的代表作《维特鲁威人》描绘了一个四肢张开的健壮中年男子，画作中不仅仅包含了大量的黄金分割，如果以头、足、手为端点，正好外接形成一个圆形；同时，在画中叠加着男子两臂张开平伸的结构，则可以外接一个正方形。可以说，这副画作将数学之美展现得淋漓尽致。所以，如果我们把每个学科看成是不同的道路，那么在特定的时间和地点，这些路途就会产生交集，从而诞生让人类觉得不可思议的事物。数学和美学也就是这样产生和谐共鸣，并且还将继续发展、绵延下去。8:32
自律给我自由
0 赞数学通识课程笔记#6以黄金分割和******法讲解数学和艺术，以及与其他的知识体现的联系。1、理解数学的用途之黄金分割：——最先提出黄金分割的人：毕达哥拉斯——黄金分割：1.618左右（根号5+1➗2）例如帕特农神庙、断臂的维纳斯、埃菲尔铁塔、大金字塔等符合黄金比例的雕塑或建筑看着顺眼、美观。——符合黄金分割比例的美感其实是来自几何图形的相似性和自然界的物理学特征。——等角螺线：任何东西如果从中心出发，同比例放大，得到等角螺线。——毕达哥拉斯学派利用数学指导音乐：让人产生愉快的音乐，需要根据数学上的比例设计。原因可能是耳蜗的形状也是符合黄金分割螺旋线的。2、理解数学的用途之******法：——绘画：******法炫技（乌切洛----圣罗马诺之战）——建筑：真正解决了******法中的数学问题（布鲁内莱斯基----佛罗伦萨的圣母百花大教堂）——布鲁内莱斯基发明的单点******法符合相似三角形的原理。视觉的数学原理与眼睛的特征。——艺术创作中采用两点和多点******。鱼眼镜头拍出的广角照片。8:15
慕霞飞｜霞飞七点整
0 赞之前对数学的理解太狭隘，都是为了让孩子们考的更好。黄金分割之前的认识是达芬奇的蒙娜丽莎，做题中如何应用。今天认识到毕达哥拉斯发现的黄金分割还可以应用在音乐上，建筑物上，绘画上。我知道要深入思考把所学的知识应用在其他的领域或者其他事物上，做到这个太难了。对焦自己，深入思考还是不足的。这次跟着吴军老师学习，有一种冲动，想继续去深造。也希望吴军老师能分享自己是如何做深度思考的？8:06
斜阳
0 赞黄金分割的用途远不只于艺术领域，仔细观察，它在生活中简直是无处不在。几个月之前，我参加了一个表演类的培训课，体验特别好，但当时只是体验好，想着也许是老师带导技术高吧，我带着课堂笔记回家复盘了一天，试着理解究竟教练哪里做对了，惊奇地发现，教练安排的集中讲解和现场演练时间居然符合黄金比例，无论一个话题总时间有多长，它内部的讲解和role play或者游戏时间的比例总是近似于黄金分割比例，从更大的结构看上去，前两天学习，最后一天总结加学员自己设计成果，这也是一个黄金比例，所以我三天跟下来感觉收获很大，精力集中，并且不会很累，最让我震惊的是，一周后我把这个想法和授课的教练做了一次交流，他马上说我的体察力惊人，因为他们的课程就是依据这个比例设计的，这种节奏天然复合人的本能，所以会激发身心共鸣，原来一切的舒适感都不是没来由的，结构对了，什么就都对了。7:26
皮戈
0 赞学了勾股定理和黄金分割，才明白为什么毕达哥拉斯会认为万物起源于“数”。这两个定理都是算术与平面几何结合的经典解析，黄金分割是长方形从一端切去一个正方形后剩下部分是还可以按同样方法无限分下去的长方形问题，勾股定理是正方形从一个定点切去一个正方形后剩下部分重新拼接成正方形的问题。如果说黄金分割代表美与无限，那么勾股定理就代表正与直。7:24
戚志光
0 赞上中学的时候，美术老师讲黄金分割比例是0.618，然后跟我们说只要记住这个数字就可以，我对比还很不屑，心里想老师也没说出道理来，就让死记硬背个数字，没准还是错的呢！今天听吴军老师用数学解释了黄金分割的原理，再仔细看了老师给出的所有图片，我非常信服老师对这件事的解释。知其然，还要知其所以然啊。想想自己在美术、摄影、书法上都很白痴，总觉得自己缺少艺术细胞，看来并不是这么回事。我真正缺乏的，是运用数学方法，认清世界本质的能力。6:12
侯剑
0 赞读书时，只是知道“黄金分割”这四个字，唯一记得的应用是老师说主持的时候不要站在最中央，要靠左一些，要站在“黄金分割点”上。今天听了课，才明白原来世界如此美妙！！！4:51
伪装
0 赞如果我的中学数学老师是这么教数学的，我的数学成绩虽然不一定有多少提高，但是现在的数学思维不至于这么惨，这几节课一直都在烧脑和惊叹中度过，也在焦虑和无奈中度过，无比羡慕数学好的同学。3:58
叉叉
0 赞利用黄金分割点，保持视觉上腰的位置是上下半身的黄金分割点，这样身材看上去最和谐，这样就可以知道高跟鞋或者衣服怎么选择和搭配。2:46
Hanskeng
0 赞今天的课让我产生了一种遐想，通过今天的课我们知道人类的视觉原理和听觉原理有黄金分割的数学力量在运用着，那假若上帝创造人类时，微调一下基因，我们还会觉得黄金分割美吗？人类视觉只有很小一部分是实像，人眼能看到的范围特别小，几乎只有焦点的一小片单位。在你眼睛所看到的视界中，你以为的像实际上是眼睛扫描后，大脑创造出来的虚像。人眼的成像机制十分主观，所以在艺术上要循序人的审美机制去创作，现在手机AI的调色方向都要偏向人类视觉的审美。对于构图独特的艺术作品，我们记忆特别深刻,比如位于卢浮宫的“美杜莎之筏”，就运用了两个金字塔构图。比起复杂的图形，人类对简单的构图印象更为深刻，在其中黄金分割是个隐藏在基因中的特殊构图，虽然现在它被人熟知，但它的发展对艺术创作上非常有意义。我上次去卢浮宫时留心到，17世纪后的法国绘画很多时候都运用了黄金分割。可谓是数学对艺术的影响，进一步说，是数学对人类审美的影响，对基因表达的影响。2:22
Cynthia
0 赞#数学助教# - 数学与美学【延伸阅读】1. 每天听本书《数学与人类文明》2. 每天听本书《隐秘的知识》# 古代西方的艺术家借用光学器材和技法，在画面上临摹了光学工具投射在画布上逼真的、微妙的、精确的光影效果。3. 万维纲精英日课1 - “《流行制造者》1：悦耳如音乐，精准如数学”# 原来语言的节奏，音乐的编曲，政客的演讲，都可以用精准的规则进行“定制化”。【黄金分割比 1.618 如何用数学推导出来】* 先设该比例为 k （即矩形的长/宽）。利用上面文章配图中的 X，Y 的分别表示大矩形的长和宽，可以知道 X = k * Y* 现在再看小矩形：长是 Y，宽变成了 X-Y = (k-1) * Y，此时的长宽比为 Y / [(k-1)/Y] = 1/(k-1)* 利用“大矩形和小矩形有相同的长宽比”，可以知道 k=1/(k-1)* k 就是方程 k^2-k-1=0 的一个*正数*解，不考虑负数解，利用求根公式得到 k=(1+sqrt(5))/2 ～1.618# 文章中提到的黄金分割比是1.618，你可能也会在其他地方看到这个比例是0.618，其实两者是一回事，因为 1/0.618～1.618。# 更详细的，可以参考另一个助教姐姐侯雅琪的笔记～【黄金分割与美学】* 达芬奇《最后的晚餐》的画面里，耶稣被安排在视觉的中心，而叛徒犹大则被放在了黄金分割点上。《蒙娜丽莎》的微微上扬的嘴角也在这个位置。* 摄影中的“三分构图法”其实是近似黄金分割比。【AI 画风迁移】 有一天 AI 学会了绘画，它拿着梵高的画笔，为你画了一幅蒙娜丽莎的微笑。不用惊讶，它只是数学。2:06
罗怀昭
0 赞一般人不是专业使用数学的，尤其是黄金分割，在工程、建筑、设计和绘画等方面，应用十分广泛。那对于普通人来说，应用场景最多的就是拍照了。现在人手一部手机，自带各种功能的相机，想要拍出好的、具有一定审美和漂亮的照片，除了功能外，更重要的一点就是掌握“黄金分割”。虽然不能记住“1.618，或者根号5加上1之后的和除以2”，但大体拍照时，在2/3处的地方就约等于黄金分割。如果能打开9宫格取景框，那样景物或人物在2/3的地方就更容易识别。拍出的照片，自然就带着艺术的气息。所以，理解了数学的美，对生活的美也是一种巨大的提升。数学不仅是象牙塔里的精美思维，也可以是现实中的星光指引。1:11
古小千
0 赞从毕达哥拉斯的音程，到朱载堉的十二平均律。数学之美反映到音乐，却遭遇了瓶颈。毕氏音程Pythagorean interval 是源自数学理论，他认为音乐也有像数学一样的基本原则，任两个不同音高的频率，必然存在 (3^m/2^n) 关系，也就是“3的某次方除以2的某次方”的倍数。譬如 (3^0/2^1)=1/2，也就是所谓的八度关系；而 3^1/2^2=3/4，即四度关系；3^1/2^1=3/2，即五度关系，在乐理中特别称为完全四度、完全五度。而根据Pythagoras提出的原则，一个八度内能找出七个音，即为七声音阶，若假设中音Do的频率为x、高音Do的频率为2x，能排列出以下频率：x, 9x/8, 81x/64, 729x/512, 3x/2, 27x/16, 243x/128, 2x。然而随着各种音阶的普遍使用，以及半音在音乐史的发展，渐渐发现困难——简言之，就是互相兜不拢。因此，音级的概念开始被讨论，在一个八度中有12个音级 (通常称半音)，平均分配的结果就是赫赫有名的『十二平均律』。十二平均律把频率x到2x间，划分成等比数列，因此每个音的频率是上个音的2^(1/12)，即2的12方根。由此算出来的第五音弦长并非恰好是2x/3，而是约 801x/1200。最明显的，是毕氏音程的3,6,7音，比现代十二平均律之音高频率高许多。而后，明代音乐家朱载堉发明平均律的事情，大家就比较熟悉了。不论从数学或音乐来看，Pythagoras都开创一家之言，而他所坚持的某些原则，也让人们在实际推演、运用的过程，发现矛盾，带来别开生面的契机。1:06
唐学长
0 赞今日得到:黄金分割之所以显得美的原因:反映了几何上的相似性和自然界的物理特征。我们探索新鲜事物，新鲜事物中熟悉的感觉又会让我们倍感亲切，想到万老师的喜欢=熟悉+意外。吴军老师用轻松易懂的故事串起了黄金分割、等角螺线、艺术之美，数学真美。我要试着给别人讲一遍，巩固下学到的知识。1:06
晓丹媛心
0 赞比如律制，是乐理知识中相对复杂艰涩的内容，它本质上是一个非常数学化的概念，是规定音阶中各个音的由来和精确音高的数学方法。音是由于物体的振动而产生，不同振动频率的弦按照比率排列在一起，就能演奏音乐。最早的律制叫纯律，后来又有了五度相生律，它们有一个共同的缺点，就是无法转调，当一首乐曲要转到其它调上演奏时，就会和原调有很大差异。这个问题到了巴洛克晚期逐渐得到了解决，以巴赫为首的作曲家们开始探索用更好的律法作曲，也就是十二平均律。1:00
小小寰球
0 赞对于黄金分割率在自然界普遍存在的问题，会不会黄金分割率就是自然界中的一个变量呢？就像直角三角形直角边平方和等于斜边平方和一样。只不过在我们所处的时空中，“等式”左边的变量还未被人类观测到。或者人本身就处在某个变量中，就像复合函数一样，人～f(人)。人只能映射出f(人)这个变量，但是没法直观感受出f(人)。又如二维平面里的一个平面图形永远没法感受出第三维一样。而“等式”右边的变量就是黄金分割率，这个变量在数值上是0.618，在几何上表现为我们看到的那些图形的比例。以致于为什么人觉得黄金比例很美，说不定也从某种程度上暗示了人～f(人)的映射关系。0:55
灵魂最高
0 赞黄金分割这个词从耳朵里过了无数遍，也知道这个比例的数值是1：0.618，但是现在才发现其实自己对这个概念完全是模糊的。从文稿里看了螺旋线，看了台风漩涡，看了宇宙螺旋，看了螺旋线下的蒙娜丽莎和埃菲尔铁塔，这才真切的感觉到什么叫黄金分割。数学公式是那么的完美，原来数学的应用也是如此的美和真切。0:41
毕小喵
0 赞#数学助教#从今天开始，我们试着给大家留一些思考题，欢迎感兴趣的同学在留言区里与我们互动。黄金分割是初等数学中一个非常重要的数字。它体现了数学的和谐与美丽，你能在大自然和人造世界的许多地方发现它的身影。【课后思考题1】除了文中提到的例子，你还能否举出其他自然界里或艺术品中用到黄金分割的例子？其实，纯数学领域有许多定理并没有实际用途，只是满足了数学家对美的期望，或者很有趣罢了。黄金分割之所以这么出名，我想那是因为它在自然界也多次出现，并确实给人美的享受。【课后思考题2】设0＜ a ＜ 1，请问根号(1-根号(1-根号(1-…根号(1-a)))) (省略号代表无穷多) 等于多少？思考题2的题目我会在知识城邦发一个图片版。我觉得这个问题挺有趣，而且其实并不难。欢迎同学们一起讨论呀~0:36
陈C
0 赞拍照的时候，无论是用手机，还是用微单相机拍照（单反需要开启“实时取景”），都会有一个功能，就是开启“#”字的网格线，也就是我们通常所说的“三分线”。三分线的位置，实际上就是画面的大约33%或者说67%处，这与黄金分割的1/1.618比较接近。虽然实际拍照中，并不总是将拍摄主题精确地放在三分线上，但是有网格线的辅助，再根据实际情况微调，拍出来的照片总不会差。因为相比将什么东西都放在正中间，这种往三分线上靠的构图方法，看上去会更自然一些。0:30
Allelujah 朱磊
0 赞黄金分割除了用文中提到的“黄金矩形”来展示之外，最常见的展现方式还有用线段切割来表示：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。黄金分割不仅可以在艺术、绘画、设计中找到应用的例子，对于人体的欣赏，黄金分割也是最好的参考之一。在描绘人体的作品《维特鲁威人》中，达芬奇就尽可能的使用黄金分割，绘出了完美比例的人体。芭蕾舞演员在表演中踮起脚尖、女士穿高跟鞋，也都是为了在视觉上拉长下半身，使得身体比例更加靠近黄金分割，让自己看起来更富有美感。0:24
侯雅琦
0 赞#数学助教#今天吴军老师讲解了黄金分割比，课程中提到通过矩形分割的例子，不难算出黄金分割比例的数值为“1加根号5的和再除以2”，大家有没有试试看自己能不能算出来呢？好奇答案的同学，可以点击我的头像，去我的知识城邦，我给出了一个极其详尽的计算过程，相信大家都看得懂。有不懂的地方，大家随时向我提问。0:17
阿拉拉拉-3-
0 赞#一起学数学DAY6#不是因为符合了黄金分割比我们才觉得美，而是我们发现了一种美的规律，叫黄金分割比。数学的价值在于，找到潜藏在宇宙里，数量的、位置的、大小的各种规律，然后用公式、定理表示出来，仿佛找到了藏在世界的一段代码。把现实里的万事万物，找到一套通用的规律解释。万Sir在第二季《数学王国的“最最终极理论”》里说：物理学家探索世界就好像猴子看人下围棋。猴子以为人们只是在棋盘上胡乱摆子，看得多了，竟也总结出各种规律。久而久之猴子王国终于参透了为期的规则。这无疑是猴子的胜利，但这不意味着猴子真的会下围棋了。同样，很多规律，我们仍然处在探索之中。即使真的发现了，也未必代表能用好。比如量子、比如基因、比如心理等等。数学能发现规律已是极大的价值。突然想知道，各行各业里，大家用得最多的规律是什么。0:08