你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
今天，我们来讲讲数列的求和，也就是所谓的级数。在讲这个问题之前，我们来看一个传销的例子。
传销通俗来说，就是拉人头发展下线，你拉别人进来，别人再拉新人进来，每次进人，你都有提成。这么一来，只要你的下线不断把新人拉进来，你什么都不用干，就能躺着拿钱了。大多数搞传销的老鼠会都是这么忽悠你的，我们今天从数学上看看这个看似没问题的“发财经”是否可行。
我们先假定某个传销公司的提成方式只覆盖两层：
接下来的问题是，张三入会了，他在什么情况下可能挣到钱？我们先分析两种情况：
情况1：张三找到5个朋友也加入这个老鼠会，而他的每一个下线也发展了5个下线。这样，他付出1万元，而从每个直接的下线身上得到10000x20%=2000元，五个下线一共给他带来1万元。类似的，下线的下线也可以给他带来一共1万元，两者相加是2万元，张三赚1万元。
情况2：张三找到3个朋友也加入这个老鼠会，而他的每一个下线也发展了3个下线，这样他的收入一共只有9600元，反而亏了400元。
从这两个例子可以看出，要想在老鼠会中挣钱，并不是一件容易的事情。一个人可能会因为一时冲动，或者贪财而被卷进去，但是他要在朋友中找到5个和他同样糊涂或者贪财的人，并不容易。而且，由于朋友之间的朋友圈有很大的交集，通常的情况就是张三想发展的人，和他的朋友想发展的人都是一群人。
接下来我们再看另一种情况，假设这个老鼠会对会员“特别好”，每一个会员可以自己拿下面所有层会员的提成，当然每往下一层，提成的比例要逐级指数递减。这样的话，如果层数不断加深，直到无穷，是否处在比较高层的人就有无限的钱可以拿了呢？也未必，这要看每一层的人能发展多少会员了。
在上面第一种情况下，即张三成功地发展了五个下线，而每个下线也发展了5个，张三还真能拿无限多的钱，因为每一层都给他贡献了10000元，如果层数不断涨下去，他就能拿无限的钱。
但是，在情况2时，也就是张三和他所有的下线（既包括直接的，也包括间接的）每人都发展了三个人。虽然张三挣的钱可以超过他付出的10000元，但却是有限的。具体来讲，他从下一层下线获得6000元，下面第二层获得3600元，第三层获得2160元，这样逐渐减少，最后无限加下去，总和并不是无穷大，而是一个有限的数，只有1.5万元。
此外，让我们再看另一个可能性。
情况3：张三和他所有的下线每人都发展了两个人，这样张三从各层下线挣到的钱的总数是：
4000 + 1600 + 960 + …… = 6666.67元
虽然看上去他从无穷多的人身上挣到了钱，可是，这挣钱的效率衰减很快。他挣的钱还没有付出的本钱多。很多人误以为只要从无限多的人身上挣钱，就能挣很多钱，这其实是不了解级数这个概念而产生的误解。
接下来我们就从理论上分析一下几何级数，也就是几何数列求和的问题，把这个问题搞清楚，上面那个老鼠会挣钱效率的问题就迎刃而解了。
我们还是从老鼠会分配钱的方法入手。我们假设每一个人发展了K个下线，从每个直接下线分钱的百分比为p，从第二级下线分钱的比例为p^2，那么第三级的比例为p^3，因为要分3次，以此类推，逐级下降。
如果每一个人交的会费为A，那么一个人能拿到的钱就是：
A*K*p + A*(K*p)^2 + A*(K*p)^3 + A*(K*p)^4 + ……
这是一个等比级数，或者叫做几何级数。
这么加下去等于多少呢？很显然，如果K*p>=1，它就是无穷大，这也就是为什么当分成比例为20%时，每个人只要发展五个下线，从理论上讲，能挣无限多的钱。这时，上述的级数被称为发散的。
但是，K*p<1时，上面这个式子虽然加了无穷多项，但到后面都是零点几这样的小数的次方，只能是越乘越小，所以总和是一个有限的数（A*K*p/（1-K*p））。当然，K*p越接近于1，这个数越大，K*p越小，这个数越小。这时，上述级数被称为是收敛的。
其实可以把每一项的“K*p”用r来表示。什么时候发散什么时候收敛，这个r是关键，它其实是后一个元素和前一个的比值，比如斐波那契数列，它的后一项比前一项，就是黄金分割1.618，至于翻番的指数数列，它就是2，因为我们知道翻番就是翻两倍。当r>=1时，这个级数就发散，加起来无穷大。当r<1时，它就收敛，加起来是一个有限的数。
了解了级数的发散性和收敛性，对我们生活、工作和科研会有很多帮助，可以帮我们看清很多类似的迷局。下面我们就来看两个例子：
例一，社交网络上的信息传播问题。
在社交网络上，有时一篇文章会被不断地转发，然后大家就看到相关的事件被发酵了。这很好理解，我们常说，一传十，十传百，其实就是说当r=10的时候，一个人发出信息后，经过几何级数的增长，数量剧增的情况。
但事实上，一条信息总是传着传着就死了。大部分公众号文章的阅读量都不过万。那么问题出在哪里呢？我们就用等比级数分析一下。
我们假定订阅公众号的人中阅读了某篇文章的第一批读者数量是A0。大家读了之后觉得有价值，然后转发了的百分比为p，每一次转发，平均能有K个受众，而这些受众中打开阅读的比例为q，那么第二批读者就有A0*p*K*q个，我们把p*K*q用r代替，这就是前面的等比级数了，第三批有A0*r^2个读者，以此类推。如果r > 1，那么这篇文章就霸屏了。
但是如果r<1，无论怎么传播，无论一开始花多少钱让A0变得很大，读的人数都有限。比如，第一批读者是5000人（不算少了），接下来r=1/2，最终所有的读者加起来，不到1万。如果r=0.9，那么读者数量就可以达到5万。
我在2019年接受了大约50次采访，只有两篇报道不是标题党（甲子光年的一篇和澎湃新闻的一篇），这还是对媒体进行了严格筛选，并在我强烈要求不可以标题党的情况下发生的。
从这里可以看出，标题党的问题只会比我遇到的更严重。但是从结果来看，标题党并没有帮助提升阅读量，因为真实的阅读量摆在那里。这里面根本的原因就是，一旦读者发现一篇文章是标题党，他就有上当的感觉，都未必会读完，更不要说转发了，这个时候转发传播的因子r就可能远远小于1，第二批读者要比第一批少很多，第三批更少，然后就渐渐趋于零了。
不仅媒体如此，任何一个产品，要想成为爆款，都需要提高转发率p这个比例，也就是大家使用后满意，然后愿意主动宣传的比例。
第二个例子是关于核裂变的链式反应的。
我们知道，核裂变就是一个快速运动的中子撞击原子之上后，又会裂变为一些原子和中子，随即释放很多能量。如果每一个中子又撞上一个铀原子，那么就会释放更多的能量。这样一级级撞下去就形成了所谓的链式反应，所有的铀原子都被撞开，并释放出大量的能量，这就是*********的原理。
但是，运动的中子随机撞上铀原子的原子核概率是很低的，大约是百万分之一，这就是天然铀矿不会变成*********的原因。我们假定第一批参加核裂变的原子数量是A0，那么第二批只有A0*r个。我们知道只有r>1，链式反应才能继续，而且越来越剧烈。
那么怎样才能提高r这个值呢？很简单，首先铀纯度要高，这样中子就有更多的机会撞到铀原子上。其次，铀块的体积要足够大，这样当中子错过了第一个铀原子时，它还有机会撞到其它铀原子上。
能够让链式反应维持的最小铀块体积被称为临界体积，它其实就是保证r>1的体积。*********的临界体积是多少起初大家并不清楚，而这又显然无法通过试验测量出来，因为搞不好就会产生核爆炸。所幸的是，奥本海默通过数学计算准确算出了这个临界体积，这才让曼哈顿计划得以成功。从这里我们又可以看到数学的预见性。
要点总结：
首先，我们讨论了级数什么时候会是无穷大，什么时候是有限的。这里面扮演关键角色的是相邻两个元素的比例r，如果r>=1，即后一个比前一个大，级数就是无穷大，就是发散的。反之，如果r<1，它就是收敛的，多少项加到一起，它也是一个有限的数字。
其次，我们在生活中，有些时候希望r>1，比如我们要传播消息，但是有些时候我们希望r<1，比如我们不希望谣言扩散，时间会让r逐步下降，这时要做的事情是千万不要挑起新的事端，火上浇油。
通过介绍级数，我希望大家能够对趋势有量化的体会。下一讲我们介绍一个和大家投资、贷款相关的金融问题，有关利息的问题。我们下一讲再见。
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71 赞#数学助教# - “r”是关键 【永续年金】 （来自《薛兆丰的经济学课》 - “第081讲 | 米奇老鼠的阴谋诡计”） * 举个例子：从今天开始，如果每年给你一块钱，直到永远。 * 由于“贴现率”（上一讲笔记）的存在，未来价值不断贬值，哪怕你长生不死，最后你得到的钱也是有限的。 * 假设贴现率是 5%，那么这份永续年金的总价值就是 1/0.05 = 20 块钱。（感兴趣可以自己推算一下） * 事实上，前50年你得到的钱，在当前的价值就已经达到了 18.3 元；而50年之后直到永远总共的钱，在当前的价值就只有 1.7 元。 * 薛兆丰老师还借“年金”的概念论述了：知识产权的保护期限不易过长。 我们保护一份知识产权，授予它专利或版权，使得发明创造人能够从中得益；而在最早的几十年，他已经得到了这份年金收入的大部分，如果再往后延，他得到的其实是很小的一部分。 【“r”是关键，1 是临界点】 看似同样的无穷项累加，“r”是否大于 1 ，直接决定了 最后是无限靠近“天花板”，还是“爆炸式”增长。 有很多难题，一旦突破点被找到，就自然瓦解。 高手与普通人的一个细微的区别在于，面对同样的问题，前者只是多思考了一点点。 遇到难题的时候，多思考一点点，说不定，你就在“临界点”附近。昨天
47 赞吴军老师关于老鼠会的例子还是那种比较“良心”的，有一些干脆会把第一级就设计的让你感觉没希望，但是第二级你的分红又特别诱人。 比如交1000，发展一个下线你可以得到50，你需要发展20个下线才能回本，但你的下线发展一个下线，你可以拿到40，这样你就只需要寄希望于自己发展一个很强的下线，下线自然带你******带你飞。 但其实这不过就是把第一层拆成了两层，两层加起来才是90，只是你需要至少发展11个各自能发展一个下线的下线，总计22人，这其实还是一个很难完成的任务，而且更加摊薄了传播性。 这种做法在微商里特别常见，一般人还真就玩不过这些套路，一不留神就掉进了坑里，我老婆曾经就掉进去一次，被人坑了几万块钱，拿到了一堆价值几百块钱的东西，然后根本卖不出去，到现在她也没算明白自己是怎么被人套路的，而她的数学成绩远超过我……昨天
40 赞边界 世界是物质的， 大到整个宇宙， 小到一个粒子， 都表现出存在的意义。 世界又是规律的， 人类历经数千年， 用精准的逻辑， 解释了万物间衍生的关系。 严密的思考， 演绎的逻辑， 数学在另一个维度， 为人类打开了一扇门， 自此世界有了， 另一套完备的解释体系。 数学是哲学的延伸， 是一切自然科学的根基， 数学提供了通用方法， 也为为各领域确立了边界。 数学是高傲的王后， 总是喜欢给人， 不食人间烟火的感觉。 但深究起来， 她却面冷心热， 在自嗨的同时， 为人类解决了无数难题。 数学是最挑剔的裁判， 眼中容不得任何沙子， 理论上的每一次突破， 都会引发科学的巨变。 发现的与创造的， 形象的与抽象的， 极大的与极小的， 发散的与收敛的， 固态的与演化的， 特殊的与普遍的。 她涉足领域之广， 思考维度之全面， 无出其右！ 而今随着科技的发展， 人类的头脑已很难承载， 数学的浩瀚。 一些聪明的头脑， 毕其一生， 也很难解决几个困难问题。 更为惊诧的是， 人们在不断推演中发现， 数学也有自己的边界。 有些难题无法计算， 有些根本就无解。 有时在想， 也许只有另一个高级文明， 才能解释未知的一切。 但细细品味， 毕达哥拉斯发表在， 数千年前的话语， 仍然响彻心扉。 “宇宙是严格遵从数理逻辑建构的！” 基于此我们不难想到， 即使历史从来， 即使换一个平行宇宙， 一个科技文明的发展， 也始终离不开数学， 因为他探究的是物质的本源。 所以面对庞杂的数学大厦， 面对解不开的难题， 我们没有必要妄自菲薄！ 因为人类解决的每一个问题， 都是向真理的一次逼近。 可能会震荡， 可能走弯路， 但结果必定是光明的， 辉煌的！ 最后借用伟大的先行者， 孙中山的一句话： “革命尚未成功，同志仍需努力。” 向着胜利， 出发！ 启航 2019年11月10日晨昨天
40 赞听完这一讲，我想到的是金融学课里学到的“存款准备金率”这个概念。 银行拿到存款，把这笔钱贷出去，贷款兜兜转转，最后还会以各种形式回到存款中，然后再被银行贷出去。如果不加任何限制，就算这笔钱并不会真的无限生钱（r=1），也会导致过高的通货膨胀。 央行给银行设定存款准备金率，无论存款是多少，都要交一笔准备金给央行，就相当于给这个“存款-贷款滚雪球”的模式，设定了一个小于1的r值。这样即便是极端情况，市场上的货币流通也是有限的。 进一步讲，央行还可以通过调整准备金率，也就是调整r值，对市场内具体的货币总量进行调整。虽然每次都是0.5%之类的小范围调整，但总发行货币数体量很大，这样的调整还是会造成显著的改变。昨天
24 赞#数学助教# #几个数学概念# 吴军老师结合具体实例，把数学问题形象化，这一讲对应了如下几个数学概念： ● 数列 数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数，正整数集实际是每个数的序号。 ● 级数 将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。 ● 数列和级数 简而言之，数列就是一列数，级数是一列数的和。 ● 等比数列 是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。 ● 等比级数 表示等比数列的前n项和，又称为几何级数。若n为无穷大，则为无穷级数。无穷级数的值为有限值时，称为收敛；若值为无穷大或是一直跳跃，则称为发散。昨天
19 赞#数学助教# 一个等比级数，无穷多个数加在一起，结果却是有限的。为什么呢？ 因为等比数列求和公式， S(n)= a0×(1-r^n)/(1-r) 看一下这个公式，把r的数值大于1和小于1代进去，你马上会发现当n趋向于无穷大的时候，如果r胆敢小于1，它马上就被无穷多次乘方消耗没了；如果r稍微比1大那么一点点，在无穷次乘方中，就越变越大。 数学就是这样。当你写出公式的时候，事情的解答、性质和结论仿佛显而易见，但却缺少那个把数学给你的洞见带到生活里的人。昨天
18 赞其实这中间还有一个中间地带:例如∑1/n，它显然是递减的，可是它却是一个无穷级数——这可以解释为如果谣言造成了个人形象的损坏，就算是之后再澄清，公众潜意识中的坏人标签也难以抹去，亡羊补牢也是要看时机的。 讲深一点，1+1/2+...+1/n,这些分数相加所得的级数称为调和级数，虽然他们的增长趋势会日渐缩小，但是他是和ln函数同阶的，换句话说只要积累的项数够多，他的值域也是无穷大。而lnx与该级数之差也是一个有趣的无理数——欧拉常数。昨天
16 赞#数学助教# #橘子只能和橘子比# 标题有点土，先从一个实际例子出发。还没上小学时，有一次家里来了个保险推销员。他推销一个“热销”的人寿保险/投资，规则是先分8期，每期投入m。在之后的不同阶段，上学，结婚，退休，分很多批（数量大于8很多）再返还一些收益。为了使这个方案，看起来很诱人，他使用的策略算是一种诡辩，偷换概念。土一点的说法，橘子和苹果比。他当时说，把后面的收益加起来（直接加）和前期的投资（也是直接加）相除，收益率（不是年化）有大概150%，也就是大概2.5倍。我当时问了一句，这样的话，保险公司靠什么赚钱。他的回答是，不用考虑保险公司赚不赚钱，只用考虑你赚不赚，同时还伴随着得意的笑。这个非正面回答，也算是诡辩策略，矛盾转移。按照弗洛伊德对于笑的理论，他笑的原因是由于当时信息碾压，产生了强烈的优越感。 保险公司究竟靠什么赚钱？学到今天这一讲的内容，完全足够。还是回到橘子 苹果。这里的水果指代的是钱在不同时间节点的价值，直接比较没有意义。想要比较，只能是橘子和橘子比。也就是需要把不同时间点的钱，转换到同一时间点，下一步谁都会。这个我亲身经历的例子，计算过程比较复杂。换一个更简单，典型的。 假设有一种方案，立即投资10000元，分40期，每期返还500，请问在什么情况下金融机构可以盈利。钱可以生钱，比如年增长率5%时，当前的100，一年后就变成105，2年后，100*1.05^2，等比数列，指数级增长。也就是说，10年后的100，在今天的价值仅有 100/1.05^10 = 78.4。理解了这一点，就能够算出金融机构靠什么盈利了。回到例子，计算一下该方案在不亏的情况下，所需的最小增长率。直接使用Excel自带的金融系列函数，rate = (nper, pmt, pv) = (40, 500, -10000) = 3.93%。可能有人要问，为什么要用-10000。因为钱也是有方向的，从顾客的角度，收入是正的，支出就是负的。 3.93%意味什么？只要年增长率大于3.93%，就可以盈利。 举个例子，假设增长率为5%，那么收益是多少。还是Excel公式，pv = (0.05,40,500) = -8579.54。赚了1420.46。 这里面有个最重要的问题，增长率r是什么。具体解释，可能需要金融专业的才能讲清楚。简单点理解，平均增长率，换个具体的，GDP。假如从事的行业，增长率不幸低于GDP的话，看起来也是在增长，实际上却是在消亡。这段如果理解有误，欢迎金融相关专业的指正。昨天
9 赞判断一个几何级数收敛或者发散，我们可以通过观察相邻两个元素的比例 r，r>=1，级数就是无穷大，即发散的；r< 1,级数就是收敛的， 但是几何级数只是一类级数，满足相邻两项的比例是一个常数 还有很多级数相邻两项之间没有明确关系，比如说上节课讲到的斐波那契数列前n项求和对应的级数，那么该如何判断其收敛还是发散呢? 举两个例子： 一个是调和级数：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+... 一个是交错级数：1-1/2+1/3-1/4+...+（-1）^(n+1）1/n+... 这两个级数看起来是差不多，似乎结果不会差多少 但是事实上，第一个级数是无穷大，第二个级数是收敛于一个常数 自然界中有好多看似是收敛的级数，但实际上慢慢累加之后便会发现，其和会趋向于无穷大昨天
9 赞传销和标题党两个案例有一个共同点就是价值缺失，由于两者都不能创造和传递真实价值，所以不断衰减直到消失再正常不过。从r=k*p可以分析得出，要使r>1，就要提高后两者的值，以文章传播为例，选择流量大的传播渠道和精准的消费人群才能获得杠杆效应，前者可以使文章触达更多的人，后者能够提升文章的转发率。由此想到，一些经典的广告能够产生现象级的传播效果，并非突出产品本身特点，而是通过激起更多人的情感共鸣而产生了广泛的发散效应。昨天
8 赞反传销只要能够给他们讲懂级数及其收敛性即可。而他们总是被传销者宣传有无穷个下线，以及级数的基r大于1。因此一直幻想有挣不完的钱。 级数有发散与收敛之分，而且现实中的级数往往是有限的。真正的发散也是有界的。 没有增殖，只有耗散的传销，注定是级数项多的少数人分配了级数项少的多数人的钱。 传销就是参与者拿出相同的钱，然后按不同级数来分配钱。昨天
7 赞虽然算不明白，但是听明白了，谢谢吴军老师…昨天
4 赞当年我还在上大学的时候，我们学校东门外边不远处就有这样的一个“老鼠会”，他们打着“大学生自主创业“等旗号在我们及附近的学校疯狂拉人头，他们是这样运营的： 1.每周末会有“老鼠“出现在我们及附近的学校，他们通常拿张表在学生宿舍楼下、或挨个走进每个宿舍去找人要联系电话，事后他们会打电话过来说自己那边有个大学生创业宣讲会，来请他们参加（去了之后还要收5元钱），在会上他们进行的内容无非就是产品展示、劣质成功学洗脑； 2.会后，那些“老鼠“中的老司机就会盯住一些新人，事后给他们洗脑，叫他们来买货（货是一些昂贵、低性价比的保健品或化妆品），并会告诉新人这叫”创业起步“，而”创业起步“金额越多越好，因为起步金额越大公司返利越多； 3.这个“老鼠会“每天干的事，就是约人开会，然后偶尔出去跑跑销售，当然对于销售额，大家都讳莫如深（滑稽），当一个新人被忽悠的”创业起步“了后，带他的”老鼠“就会不断督促他去拉人头，并会解释说这种操作叫做”开前排“，将美好的事业分享给别人。 这个真实的“老鼠会“发展模式与今天课程的案例基本一致，除此之外，由于这个制度的存在，这帮”老鼠“通常会有以下几个特征： 1.对于自己的直接下线的“关心“程度远高于非直接下线（因为这一层下线人头费最高）； 2.他们最喜欢偷换概念以及用别人的成功故事伪装自己的虚假表面，比如他们对于马云、史玉柱之类的故事如数家珍； 3.喜欢囤货（其实是被迫），因为业绩每月清零，且销售业绩还得满足一定量才能拿到返点，然而他们每月根本达不到，他们最好的“朋友“除了直接下线就是信用卡，从而一直陷入恶性循环； 在我大学毕业那年，还依稀听说这群“老鼠“搬到了更大的办公室，也不知是真是假。 另外，今天专栏老师提到的在2019年的非标题党采访为： 1.《甲小姐对话吴军：人的归人，机器的归机器 | 甲子光年》 链接：http://www.360doc.com/content/19/0603/14/29891768_840113171.shtml 2.《专访｜吴军：对科技的很多担心是过虑的》 链接：https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_3868505昨天
4 赞#数学通识50讲（九） 1 今天的文章纠正了我两个误区。第一个误区，关于传销，知道是违法的，也不会去干，但曾经真的以为不断发展下线就发大财那套说辞是可行的。吴军老师这么一算，知道问题在哪里。 关键在于下线人数（k）和提成（p）的乘积（r），r＞＝1，确实可能实现人数扩散，收入不断增长的美梦。但是r＜1，人数怎么增长，收入都十分有限，因为越到后面，能分到的提成越小。 而且这里还有一个关键，下线人数越往下，越难以发展，假定提成是20%，得保证每个下线能找到5个人，才会实现r＞＝1，实际情况可能无法保证这个数。所以，想靠传销挣钱，从数学和从生活角度都不可能。 2 第二个误区是我对文章的传播。以前听人说买十万＋，我想这是利用马太效应，开始造出人很多的假象，接下来会让人误以为文章很受欢迎，于是不断传播。 吴军老师又拨乱反正了，传播率是逐级递减的，文章质量不行，转发率会大打折扣，最后断线。但是如果一开始什么人关注，文章质量再好也没法形成传播效应。 因此文章要想成为爆款，可以先买十万＋（虽然听起来不是很政治正确），同时保证高水平的创作，提升转发率，就真的刷爆朋友圈了。昨天
4 赞写文章发表，不能靠“标题党”吸引人，文章内容要真实、有理有据、能打动人，对人有用才能传播的广。做产品也是如此。对于想把好消息让更多的人知道，就要保证传播的级数大于1；对于不想使坏消息让更多的人知道，就要保证传播的级数小于1，给事件“降温，泼冷水”。<br />学好数学，可以提高预见性，做到认知升级。<br />仰望星空，星辰的数量和距离的级数远远大于1。这给了我们无限的想象空间。昨天
3 赞从传销骗局，我想到了一个段子，“世界上最赚钱的方法，都写在《刑法》里了”。毫无疑问，传销骗局大多数属于《刑法》的范围内，但骗局能否赚钱，还需要懂数学的等比数列。等比数列的通项公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。公式中的r是后一项与前一项的比值，其代表成长性，r>1，在n级数中，公式就是发散的，Sn的值就是无穷大；反之，r<1，在n级数中，公式就是收敛的，Sn的值就是一个有限的数。公式中的n是一个常数，其代表持久性，n越大，数列可以显示越来越长的趋势。昨天
3 赞数学中的这种发散性思维和收敛性思维用在个人和企业处理危机和突发事件也同样有用。 对于突发事件，我们要避免让其陷入发散性振荡之中，而要让其进入收敛性的平稳之中。 我看到前面一个同学的留言，从中感觉到学好数学和用好数学真的是两码事。 但我们学的目的，就应该是要学着去用它。 不然学的多，却用的不多，那只是死知识而已，不能称之为会了，而只能算是学了。昨天
3 赞薛兆丰老师在讲科斯定理的时候，说过“讲数不讲理”，遇到事情，有时候讲不清楚道理，往左走往右走都有各自的道理，尤其是有很人善于调动人性的欲望和恐惧去控制别人，这时候，阻止别人上当的最好办法就是绕过情绪对他的心理影响，直接给他算一笔账，当对方看到终局，并看清为此他可能要付出的努力程度，那要不要继续，就很清楚了。当数字直接出现在你面前的时候，那种震撼力是很强大的，从这里，我们可以看到数学不可辩驳的说服力。昨天
2 赞讲一个我遇到的真实微商案例。 我发现微商很多也是在传销方法，招代理，吸引人头。 其中有一个微商特别牛逼，一个代理入门费是25000，和30000，然后用很多博士导师包装，给你上不同的课程，不断给你讲，卖出多少货，可以赚多少钱。她们产品单价在230—1000不等，其实朋友圈是很难卖出去的。有一天，里面有5个人给我发了消息，说是否要加入她们团队。 我就问：竞争这么大，你真的能赚到钱？ 她自信说：当然能，而且跟着大佬学习，进步快。 我去翻看她朋友圈，发现她一月才出2—3单，剩下的都是别人的晒单，而且还带着孩子，真的很辛苦。 我回复：感觉僧多粥少啊，而且我圈子里没人消费的起产品。 她说：团队会给你升级人脉…（完全被洗脑了） 其实我内心在想，朋友圈已经有很多厉害的人在做这个产品了，圈子这么小，我认识的她们也认识，按照影响力来说，人家肯定找更值得信任的人呀！就好像有种菜市场大妈都知道炒股的事情一样，加入了，只是给自己找无尽的焦虑啊，因此我拒绝了。 今天看到吴军老师讲的数列增长，等比数列的规律，更有一种醍醐灌顶感觉，看样子我学习那么多知识，是有作用的，感觉遇到很多骗局，会有一些预警出现，避免踩坑。昨天
2 赞要想事情能够爆炸增长，A0决定你在有限时间内能走多高，r决定你走得多快，未来能走到多高，如果r大于1，那么只要你坚持走下去，就有无限象限空间，如果r小于1，那么为了提高投入产出比，就选择一个合适的点结束掉吧。昨天