你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
今天我们讲述两方面的内容，一来是应用前两讲讲的有关几何级数的知识，分析贷款利率方面的一些注意事项，特别是要防止陷入某些坑中。有些人不知不觉多付了几倍的利息却毫无知觉。二来讲讲利率和债券投资方面的关系。
不过我要先做一个提示，这讲提到的数字和计算稍微有些多，不过都是些加减乘除，不会很难，而且我也会帮大家算好。希望你坚持听完，这样能帮你省下不少冤枉钱。
我们先来说说贷款的问题。
假定你买房要向银行贷款120万，年化利率是6%，那么月利率是0.486%，接近0.5%，为了方便起见，我们就算是0.5%。假如你一年还清，每个月还一次，一共十二次还款，也就是12期。在12期的贷款中，每个月所还的钱该是多少呢？
有人可能会想，利率6%，一年还清，利息就是120万x6% = 7.2万。每个月既要还本金，也要还利息，本息平摊到12个月，每个月10万本金，6千利息，一共10.6万。
这个算法对不对呢？今天很多P2P贷款公司，就是这么和大家算账的，一些不良中介，也是这么算钱的。但是，这其实多交了很多的利息。那么我们每个月应该付多少钱呢？这取决于两种常见的还款方式我们采用哪一种。
第一种被称为等额本金偿付，这种方法顾名思义，就是每个月还的本金数相同。在这个例子中，总贷款120万，12个月还清，每个月要还10万本金。当然，你每个月还要还利息，但其实，利息是随着本金归还后，不断减少的。
我们先看看第一个月，你要还全部贷款的0.5%作为利息，也就是120万x0.5%=6000元的利息。因此第一个月你需要还10.6万元，这和P2P公司对你的要求一样。
但是到了第二个月，由于你所欠的本金只有110万了，这110万的利息是5500元，比第一个月120万时的利息少了500元，因此这个月你只需要还10.55万。以此类推，第3个月你只需要付100万本金的利息，最后到第12个月，这样你所需还的利息就逐渐减少了。
这是一个等差级数，十二个月加起来是123.6万。其中利息3.6万，而在前面P2P贷款错误的计算方法中，你支付了7.2万的利息，多付出了一倍的利息。
刚才说了第一种等额本金偿付，我们再说第二种支付方式：等额本息偿付，就是说把贷款的本金和利息都加起来，除以还款期数，这样每个月还的本金和利息都是相同的。在这种情况下，每个月还款中一部分被用于还了利息，剩下的才用于减少所欠的本金。那么每个月要付多少钱呢？
等额本息偿付的本金和利息计算相对复杂。具体到这个例子每月要偿付本息103,279.72元，利息共支付39,356.59元。
相比第一种支付方式，这种方法多支付了3000多元的利息，但是它的好处是前几个月的月供较低，这对需要钱的年轻人来讲更有吸引力。今天大部分银行向客户提供的是这种支付方案。
但是，通常没有人只贷款1年，一般期限都在15年以上。如果是15年，那就是180期贷款，贷款的年利率还是6%，那么每月的月供是10,126.28元，15年下来，要支付约622,730.75元，大约是本金120万的一半。
如果利率降到4%，那么15年算下来，大约能省23万元的利息（只要支付397,725.92元），这不是一笔小钱。由于支付的利息降低，同样收入的人可以买更贵的房子。在这个例子中，支付同样的月供大约可以买136万的房子。也就是说，利息降一点，10多年下来能省很多钱。
相反，如果利息涨到8%，维持月供不变，只能买大约105万的房子（120万的贷款就要支付864,208.50元的利息）。很多人在买房子时，会为省一万块钱来回来去讨价还价，但是他们在接受贷款利率时，常常在不知不觉中多付出0.5%甚至更高的利率，这其实是捡了芝麻丢了西瓜。
今天绝大多数正规的银行，在给顾客贷款时，都是采用上述方法计算和收取利息的，可以讲是明码收费，是公平的。但是，很多民间的P2P公司提供贷款时，都有很多的坑，我们不妨来看一看。
首先，它们贷款的利息就高，比如同样是贷款120万，12期还清。他们说每个月收1%的利息，很多人算不过账来，觉得年化利息就是12%，比银行6%的利息只多出一倍，还可以接受。其实（1+1%）^12 -1 = 12.68%，比银行的利息多出1.1倍。当然这还不是最大的坑。
其次，它们采用我们一开始说的算法计算利息，你的借期是一年，它们会让你支付120万x12.68%=15.2万的利息。而银行等额本金偿付的方式才3.6万元。
这还没完，很多P2P贷款公司要求你先支付利息，你借了120万，它只给你120万-15.2万 = 104.8万元，然后每个月它还按照你借了120万要求你归还本金，即每月10万元。当然，如果你想要拿到120万，就得向它更多地借款，需要在合同上写137.4万，当然还的利息也就多了，共计17.4万。
这样算下来，你比向银行借款多付了将近4倍的利息。也就是说，如果以等额本金偿付的方式正规地贷款，这相当于借了年息29%左右的高利贷。很多人问学数学有什么用，搞清楚这里面的猫腻，就是最现实的用途。
当然，很多人会说，我还是算不清这里面的账，没关系，只要记住下面两个原则即可：
借钱不要去所谓的P2P一类的机构。
永远记住“卖的人比买的人精”，不要试图贪便宜。
除了借款，我们很多时候还会把钱借给别人，还想拿到更高的利息收益。比如说你存银行或者买债券，当然银行通常把债券包装成理财产品，让你搞不清它的本质。实际上，这类固定收益的投资和买国库券是没有差别的，国库券风险很小，一般被认为是无风险利率，用来对比其他理财产品，我们就以它为例来说明。
今天中国二手债券市场并不发达，大家很少交易二手国库券。但是在美国等发达国家，人们通常会有大约20%～30%的资产放在类似于国库券的债券上，而且二手债券交易频繁，很多中间商利用大家对微小利息变化带来的债券价值变化不敏感的弱点挣了很多钱。
各国国债付利息的方式有两种，一种是到期后连本带息归还，还有一种是半年（或者一年）付一次利息。很多人觉得前者是利滚利，更合算，这其实是误解。因为当你在每半年拿到利息后，可以再买新的国库券，依然能实现利滚利。因此，这两种方式在投资上基本上是等价的，我们就以连本带息一次归还的债券来说明。
假如你购买10000元十年期的国库券，（复利的）年息5%，10年后到期，你可以拿到6290元左右的利息，也就是说10年下来，你的投资获利62.9%，还是不错的。
通常发行债券的机构会把它包装成年利率6.29%的单利金融产品，这样显得投资回报更高一些，也好计算一些。中国的国库券说的利息，都是折算后的单利利息，每年实际的回报要比标称的利息少一些。
接下来我们看两种情况。第一种情况，如果你刚买了国库券，央行就加息0.5%，新的10年期国库券的（复利）利息变成了5.5%，你手上的国库券就瞬间贬值了。这是怎么回事呢？我们不妨假设你的邻居小明在加息后买了10000元的新国库券，他10年后大约能获得17080元，比你手上面值10000元的国库券多出了大约800元的利息。因此，我们可以得到第一个结论，加息意味着同样面值的债券实际价值的贬值。
另一种情况，你手上的国库券会升值，那就是降息。比如央行的利率降低了0.5%，相应10年期国库券的利率也下调到4.5%，这时你手上那10000元的国库券，就相当于10489元新发行的国库券，等于瞬间升值了5%左右。因此我们可以得到第二个结论，降息意味着同样面值债券的贬值。大家如果对里面的细节搞不太清楚，记住这两个结论就好。
未来在中国，随着金融市场的完善，债券交易也会像股票交易一样普遍，大家都需要了解这方面的知识。而这里面核心的知识，就是复利增长的数学原理。
要点总结：
1.我们通过对比正规银行收取利息的方式，和那些打擦边球钻空子的P2P收取利息方式的不同，说明在贷款这方面有非常多的坑，你一不小心就要多支付很多倍的利息。
2.我们通过利率和国库券等固定收益债券价值的关系，说明了利率的调整是如何影响到我们手头上投资产品的价格的。
这两个例子实际上是我们这几天所讲述的数学知识的应用。大家既可以看到数学在生活中非常现实的用途，更应该看到它能够帮助我们更好地看待“趋势”这个概念。比如央行通过调整看似不多的利率，就会影响很多年债券价格的趋势。
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12 赞#数学助教# 数学的难 大体上可以分为两种：第一种是概念性的，第二种是计算性的。 第一种难，是颠覆你世界观的概念。比如无理数、极限和无穷大、向量和张量、黎曼几何等等。这些概念可能是对世界更高层次的抽象，虽然初看起来晦涩难懂，但一旦理解了它们，你的认识会上升到新的高度。 第二种难则纯粹是计算上的。这些问题用到的知识可能无外乎小学学到的加减乘除，最多不会超过高中的乘方、对数等知识，大多时候只需要一张草稿纸和一个标准的计算器就可以解决。但许多人苦于不知道计算公式，或者是小数点后位数太多，许多情况下口算算不出来就直接放弃了。在我看来，今天讲的利息计算问题实际上属于第二类问题。 在我们大多数人的生活中，拥有数学思维并不一定非要掌握太多高深精妙的数学概念。像吴军老师说的，只需要在看问题时能够从数学的角度出发，学会算一笔大帐，学会分清芝麻和西瓜，其实就可以了。 当然对于理科和工科的学生来说，数学的难很多时候是这两种交织在一起的，我的观点也许并不准确。但如果你觉得文中的计算过程比较繁琐，不要害怕，在心里告诉自己它们其实只是小学学过的加减乘除，计算量大了一点而已。相信你一定能够听懂，并且在实际生活中举一反三，灵活应用。 最后，一些计算过程和公式的推导，我习惯在OneNote里敲公式，既美观又方便输入。如果你对课程中的计算过程有疑问，欢迎向我提问，我会在知识城邦里发出详细的解答。2小时前