你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。从这讲开始，我们进入第二模块的学习，看看人类对数的认知，是如何从具体到抽象的。
上学时，数学想要考高分，老师和家长总是会说，要多做题，题做得多了自然就会了。大部分人也确实通过题海战术取得了还可以的成绩，但是往往题目稍微改变就又不会了，而有些人，做题不多，成绩却很好，这其中的差别在哪里呢？
我们先从一个大家最熟悉的鸡兔同笼问题讲起，这是现在小学生都要学习解决的数学题，它讲起来并不复杂，但是对于智力还在发育中的小学生，多少有点费劲。今天很多老师把做法教给学生们，大家长大后基本上也忘了，所以这样学数学基本上等于白学。
鸡兔同笼这个问题是这样说的：
在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数，数出来35个头，从下面数，数出来94只脚，请问鸡和兔子各有几只？
这个问题最初出现在中国南北朝时期的《孙子算经》。《孙子算经》给了一个不算太好理解的解法，它是这么说的：
- 将所有动物的脚数除以2，也就是94/2 = 47。每只鸡有一对脚，兔子有两对脚。
- 假设所有的动物都是鸡的话，就应该有35对脚，但事实上有47对脚。
- 如果将一只鸡换成一只兔子的话，用47减去35，得到12，说明需要有12只鸡被换成兔子，这就是兔子的数目。
- 知道了兔子的数目，鸡的数目也就知道了。
不知道你听了这个解法是否明白了，我估计第一次听的人，听了之后至少要想几分钟，或者在纸上画一画，才能明白。上述方法是《孙子算经》里给的算法，它不缺乏巧妙性，但是太不直观。不直观的结果，就是无法让人举一反三，因为这个方法只针对这个特定的问题有效。比如我把问题改一下：
假如有若干辆三轮车和汽车（四轮），一共有20辆，有65个轮子，请问有多少辆汽车，多少辆三轮车？
这个问题就无法用上面的方法解决。因为无论先把车辆的轮子数除以3，或者除以4，都不可以，因为65既不能被3整除，也不能被4整除。
这道题在古代就没法解了，中国古代有不少数学著作流传下来，里面解了不少问题，但是中国的这些数学论著相比欧洲的和阿拉伯的有一个大的缺陷，就是它们给出的都是一个个具体问题的解法，而不是一套系统的方法，因此再多解法也难穷尽所有的问题。
今天小学里教的方法在通用性方面要比古代的方法好了不少。通常学校里会这么教：
- 我们假定笼子里全是鸡，那么应该有35 x 2 =70条腿。
- 但是现在有了94条腿，多出24条，就应该是由四条腿的兔子造成的。
- 如果我们用一只兔子替换一只鸡，就会多出两条腿，那么替换24条腿需要多少只兔子呢？
- 24 / 2 = 12，于是就有12只兔子，剩下的就是鸡。
这个方法可以直接解决上面的汽车和三轮车的问题，具体做法你可以想想，自己算一下：
- 我们假定都是三轮车，那么应该有20 x 3 = 60个轮子。
- 现在有了65个轮子，多出了5个，它们应该是汽车造成的。
- 如果用一辆汽车换一辆三轮车，就会多出1个轮子。
- 现在多出了5个轮子，因此应该有5辆汽车。
今天在学校里，如果遇上一个好老师能把鸡兔同笼问题讲透，孩子是能做出汽车和三轮车问题的。当然依然会有一些同学不会做，因为他们只是记住了鸡兔同笼算法，不会应用到其他问题上。
这些学生要考满分，只好多做题，把三轮车的题目做一遍，再把其他相似的题目也做了，于是就很辛苦。但是即使能够灵活运用鸡兔同笼的解法，大部分人也还是不能解决所有这类问题，比如我再出一个题还是做不出来：
红皮鸡蛋5元3个，白皮鸡蛋3元2个，小明花了19元，买了12个鸡蛋，问红皮的和白皮的各几个？
这个问题其实是鸡兔同笼问题的变种，但是用上面改进的鸡兔同笼的解法也不管用。对于这个问题，有兴趣的同学可以在留言区讲讲你的解法，前提是不要用方程。
那么能不能针对所有这些问题，提供一个寻找答案的思路呢？美国人的教法很有趣，下面我就和你分享一下。
首先，在小学他们不教学生那些需要技巧的解法。对于鸡兔同笼问题，就是列表的笨办法。比如，在第一个例子中，他们先让学生们明白，兔子的数量不能超过94/4 = 24只，然后就列一张表，从24只开始往下试验，看看脚的数量有多少：
我当时看了他们的教科书，就想美国人真笨，果然数学学不好。
但是发现他们再做其它相似的问题时，就可以从上述过程中受到启发，比如前面的鸡蛋问题，美国人也是列表：
事实上，只要是有整数解的各种二元一次方程的问题，都可以用列表这种笨办法解决。也就是说，美国小学的做法实际上是教给了大家一个很笨的，但是很通用的工具。这样，能解决一个就能解决很多，虽然办法很笨，很花时间，但总不至于让孩子们无从下手。
至于那些解题技巧，他们很少在小学教，省得大家学不会，有挫败感。那些聪明的孩子，可以去上课外班。上述笨办法的另一个好处是，学生们在列表的过程中，更感受到数字变化的趋势，慢慢地就会知道大约从多少开始试验，而不是永远从零开始。
相比之下，中国学校里教的那些聪明办法，常常和具体问题有关，除非是悟性很好的学生，普通孩子并不容易举一反三，因此家长总是责怪孩子笨。
当然，在这一类问题中如果数字很大，列表就不太现实了。这时，老师会告诉大家，别着急，到了中学（或者小学高年级），学了解方程自然就会了。
很多人在离开学校之后，除非辅导孩子，可能一辈子不会再解方程了，以至于会质疑为什么要在中学学习它。因为他们并不知道，方程就是用来解你之前不会的难题的，它是一个非常强大的解题工具，它可以让我们脑子想不清的很多数学问题变得非常直观、简单。
还是以上面的鸡兔同笼问题为例。我们只要假设鸡有X只，兔子有Y只，然后列这样两个方程即可：
X+Y=35
2X+4Y=94
对于汽车和三轮车的问题，相应的方程是：
X+Y=20
3X+4Y=65
对于鸡蛋的问题，我们可以把问题稍微变一下，也是一样的解法，解法我放进文稿了，你可以先自己试着做一下，再看答案。
解：红皮鸡蛋3个一盒5元，白皮鸡蛋2个一盒3元，一共花了19元买了12个鸡蛋，问红皮和白皮的各几盒？我们假设它们为X和Y，就有下面的两个方程：
3X+2Y=12
5X+3Y=19
X和Y分别是2和3，于是我们就知道两盒红皮鸡蛋有6个，白皮三盒也是6个。
上述三组方程，对于高年级的学生来讲，做出来是分分钟的事情。如果你不教会他们方程这个工具，让他们苦思冥想，这几个问题还真有点绕脑筋。从这三个例子中，我们体会一下方程是什么，它是一种工具，这种工具有一整套合乎逻辑的解法，只要通过一个问题掌握这个解法，就能把成千上万的问题解决掉。这才是学习数学的正道，而不是做更多的题。
那么如何把形形色色的题目抽象成同一类题目呢？这就涉及做数学应用题的核心关键了，就是要把用自然语言描述的现实世界的问题变成用数学语言描述的问题，比如列出方程。人的作用其实相当于一种翻译器，做练习题就是练习翻译，只要现实世界的问题变成了数学的问题，就能用现成的工具解决它们。
学习数学也好，物理也好，其实关键不在于刷多少道题，而是在于理解它们中工具的作用，然后学会把生活中的问题用数学或者物理学的语言来表达，剩下的就交给工具了。
多年前我问张首晟教授，为什么老一辈（当时50岁以上）的理论物理学家很少能再发表具有轰动性效应的论文？他说他们的数学工具不够先进，因为他们读研究生的时候学的数学和新生代科学家相比多有不足。
对此我也深有体会。当我们掌握了中学的一些数学工具后，小学的各种数学难题就变得非常容易。当我们掌握了微积分这个工具后，很多中学的数学难题就不值一提了。我们常说，工欲善其事，必先利其器，这就是说明了工具的力量。
中国古代在数学上有很多贡献，但大多集中在解决一个个具体的难题，而不是创造工具。相比之下，无论是古希腊还是后来的伊斯兰文明，在这方面贡献都要大得多。
我们今天说的解方程，无论是有很多未知数的一次方程（比如我们前面给的三个方程组，它们的未知数的次数都只有一次），还是一元二次方程，比如X^2 + 2X = 3，在阿拉伯伟大的数学家花拉子密的著作《代数学》中都有详细的论述，只要读了他的这本书，一大堆数学问题就都会做了。
相比之下，读那些只涉及到具体问题的书，就算读书破万卷，遇到新的问题还是没法解决，因此，学会把具体问题抽象成模型，才能解决更多更难的新问题。
要点总结：
我们用鸡兔同笼问题，说明了数学的本质是工具。美国人为了强调数学的工具性，在小学教学生们笨办法，但是从工具的角度讲却是一个好工具，到了中学，就有解方程这个工具。
相比之下，我们学了很多针对具体问题的解题技巧，其实用处远没有想象的大。在学习数学时，我们最需要做的，就是将生活中的某些问题，由自然语言翻译成数学语言，然后用相应的工具来解决。
最后介绍一下下一讲的内容，数学发展到花拉子密的时候，已经有了解决一元二次方程的公式了。但是在接下来的几百年里，没有人能够找到诸如X^3 + X + 1 = 0这样的一元三次方程的解法。当然最终它的解法还是被发现了，至于是谁发现的，则是数学史上一桩著名的公案，而这个方法的发现，你还可以看到数字的概念是如何从实数扩展到虚数的。
欢迎你把这篇文章分享到自己的家长群，帮助家长朋友们和自己的孩子一起重新理解数学。我们下一讲再见。
用户留言
101 赞小学上奥数班的时候，老师教授的鸡兔同笼的解法要更加“机妙”： 在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数，数出来35个头，从下面数，数出来94只脚—— 在此时，假设所有的兔子和鸡*同时举起了两只脚*，那么由于有35个头，所以一共举起了70只脚。由于鸡只有两只脚，那么多出来的94-70=24只脚，全属于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是鸡。 这个解法能十分迅速地解出题，而且显得十分机智。并且事实上，这个解法的内核就是方程组。但对于理解能力不足的小学生，这个解法就是需要很长时间才能够听懂。 对于解出一类题而言，固然，让聪明的、理解能力强的同学去学习这样的机智解法能够让他们迅速解题。但教育的目标，终究不是「解题」，而是让受教育的人们能够由受到的教育，能够举一反三地去诠释、解决真实世界中存在的问题。昨天
77 赞#数学助教# - 模型视角 【模型思维】 “模型”是对真实世界的抽象与简化。 “列方程”的过程，本质是将具体的实际问题抽象成“数学模型”，也就是变成用数学语言描述的问题。 很多实际问题，一旦将它们抽象成一个数学模型，你会发现它已有了解决方案，接下来只需要利用前人开发出来的工具就可以解决。 （就像上一讲推导的“等额本息偿付”的月供计算，带入公式即可；或者直接利用 Excel） 【一个有趣的例子：七桥问题】 # 18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。 问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。 （好奇七桥怎么搭的同学可以看我在知识城邦的笔记） 后来，数学家 欧拉 把它抽象成一个图论的问题：一笔画图问题。 ——如何用连续的一笔将一个由“点”和“边”构成的几何图形 *不重复边* 地画完，最后回到初始点。 （之前有一个手机游戏，就是不断挑战一笔画出各种奇怪的图） 欧拉不仅解决了这个问题，还给出了一个“图”可以被一笔画完（且回到初始点）的充要条件（等价条件）： “图中的每个点，与之相连的边数必须是偶数。” ............................ 事实上，上述的“七桥问题”其实是无解的。 可是问题提出之后，许多人纷纷进行尝试，而如果要把每座桥都走一遍，可能的走法一共有5040种。 而欧拉将问题抽象出来，从数学的角度，探索了问题的本质。不仅解决了这一个具体的问题，以后的同类问题也都迎刃而解。 ——抓住本质规律，一通百通。 【模型只是一个有用的工具】 当然，真实世界永远不会像数学那样纯粹。 既然抽象成模型，必定需要舍去一些不那么重要的“细节”，如何取舍这些“细节”，是一门艺术。 借用英国统计学大师乔治·博克斯的一句话：“所有模型都是错的，但是其中一些是有用的”昨天
34 赞能将自然语言抽象成数学语言，是数学思维中重要的转译能力。 我借用了医学发展的名词——转译医学 Translational Medicine，是指将基础医学的研究，应用到临床治疗的新思维。过去，基础研究、药物研发和临床治疗是边界分明的领域；现在，随着生物统计和大规模的 meta analysis，让领域间的连结更加紧密、应用面也更广。数学带给我们抽象的能力，从幼儿学习加减乘除，就学习将不相似的苹果视做同类；高中拓展生活中不常见的大小数字，比如2^30或是ln10。只看表象，会误以为在学习符号的规则；深入理解，是在练习将语言转化成数学。 文中提到的红皮、白皮鸡蛋的问题，若不方程来解，我的思路会是『慢慢凑』，这其实跟美国人的学法类似，也是最直观的菜市场思维。方法如下：已知小明花了19元，那么假设在红皮鸡蛋花了5元，则剩14元买白皮，发现除不尽（对方是3元卖两个）；接着假设红皮花10元，那么剩9元买白皮，可行先保留；再试试看红皮花15元，则剩4元买白皮，依然无法除尽。因此只可能有一种可能：红皮买了10元6个、白皮买了9元6个，即便不必说总个数，也能知道买了12个，可以当作验算来确认。 数学其实离不开日常生活，吴军老师的文字平易近人，透过这些很基础的题目和思考，让我们得以重新提起兴趣、一窥数学之美，邀请大家一起学习。昨天
30 赞#数学助教# 鸡兔同笼问题，其实古代的算法和今天老师讲的算法本质上是一样的原理——都是先假设一个极端情况，比如先假设笼子里全是鸡，再往里面加兔子。 其实后面那道鸡蛋的题，如果不限制必须用整数的话，用类似方法同样可以做出来。这个问题不难，相信读到评论的你一定也可以不使用方程就做出来。怎么样，挑战一下？ 今天讲的是方程。对一个复杂问题，设出未知数，描述未知数之间的关系的这个过程，其本质就是把生活中遇到的问题抽象成数学问题。这其实就是一种数学思维。比如昨天讲的等额本息问题，如果没有方程这一强大的工具，不会设未知数，那我们可能永远也解不出来。 —————— 今天的课程给我们的另一点启发 就是通用解法的重要性。深入学习数学本身虽然需要天分，但是使用数学工具却不是天才的专利。在解决数学问题的过程中，一个对于某一大类问题都适用的通用解法 远比一个使用了巧妙技巧但没有普适性的特殊解法更重要。读书时，有些同学做数学题能触类旁通，而另一些人虽然做了很多题，可是看到新的题目却还是不会，这就是没有掌握题目背后的通用解法。 这样的例子有很多。除了方程，我们高中学过的解析几何、导数、大学里学到的洛必达法则、微分方程的通解，都是这样。这类问题的特点是，当你没学过方程时，你每解一道题都要动脑子想一个“巧妙”的解法；而当你学过方程知识以后，就好像走迷宫时直接开了上帝视角，不需要怎么思考就能把问题解出来了。 回想一下，自己生活中有没有被某个问题困扰，不得其解的经历呢？也许你缺少的正是一个类似“方程”这样的通用工具。而这种通用工具，虽然在你的行业很少见，但说不定在其它行业里是那些从业者们每天都在用的思维工具。昨天
23 赞#数学助教# 方程：一种描述数学问题的语言 一直觉得数学最美的地方在于其表达的准确性和简洁性，而方程正是实际问题与数学问题的桥梁，将一个复杂的问题抽象成一个通用的式子，进而寻找一类通用的方法去求解。 还记得上节课讲到的等额本金还款和等额本息还款吗？就很好的体现了数学抽象问题的能力，看似含糊不清的两种偿还利息的方式，转化为一个数学问题，通过严格的计算，我们就会很清楚的知道两者的区别，从而在做选择的时候一眼看到起实质性的东西。 我们常说看问题要透过现象看本质，分析事情背后的根本逻辑，进而做出决策，当然这需要长期的训练；数学上解决问题也是类似的，学会用数学思维看问题，将一个实际问题抽象成一个数学问题，利用数学上严格的工具去解决它，这便是所谓的“数学建模”，也需要不断积累常见的数学模型，进而达到举一反三的目的，这同样需要长期的训练。 从事数学研究的人分两种，一种是研究纯粹数学，对着一个函数或者方程分析其各种性质，试图得到一个数学上完美的结论，这应该大家脑海中数学家的样子；另一种是研究应用数学，先将一个实际问题转化为一个数学问题，利用数学工具进行求解，然后利用得到的解去解释原来的实际问题，两种研究没有难易之分、轻重之分，只是根据自己擅长的地方各种承担不同的分工。昨天
12 赞我举个我女儿小时候买东西的过程： 换成5元买3个巧克力，3元买2个糖，如果她手里只有19元钱， 我女儿：老板两种我都要。 老板给她3个巧克力和2个糖，收她8元钱。 她一看还有钱：老板还够买吗？ 老板：还够。 她又拿到3个巧克力和2个糖，老板又收走她8元钱。 她一看还有钱：还够吗？ 老板：只能够买糖了。 我女儿：那我都买了。 她又收到2个糖，数一下巧克力6个，糖6个。 这跟美国的教法一样。昨天
10 赞先说说红白鸡蛋的题，我是怎么解的吧：如果引入分数的话，其实这问题跟鸡兔同笼差别不大，我们可以想象，一只红皮鸡蛋有5/3只“脚”，一个白皮鸡蛋有3/2只“脚”，这样每一只红皮，就比一只白皮鸡蛋多1/6只“脚”，然后我们假设所有的鸡蛋都是白皮，他们一共有18只“脚”，少了1只，于是…… ………… 咳咳，其实我一开始算的时候，根本就没用假设法，而是用“列表法”。只不过，这道题数字不大，又太“舒服”了，甚至没有列表的必要：这里我选择先看价格一侧，利用5和3，想凑出19这个总数，只有一个办法：5x2+3x3=19。其实这里连鸡蛋总数是不是12只，都不是很有必要再去验算了，因为数字对不上的话，很有可能是题目本身有问题。不过数字再大一点，就可能真的要列表，或者像上面那样，用假设法数“脚”了。 列表法是一种很通用的办法，就像是高考算解析几何时，“硬解方程”是最笨，但也一定能解出来的方法。而鸡兔同笼问题的“假设法”，虽然使用有局限，但是在本讲涉及的几种“二元混合”问题中都可以使用。具体地讲，它是一种假设一元独占，然后通过两种元素之间的“脚差”，来求得另一元素的份额的方法——从另一个角度讲，这就是提出假设，然后根据事实进行修正。昨天
8 赞美国学校教的列表，逐步增加数值，求解的方法，好像和编程中的循环找答案的思路很类似。 当然，如果结果是相对不变的，事先算好，存在一个表里，用时一查可能更好，不过要用空间换取时间和算力，有利有弊吧。 其实都是可以举一反十的解决一类问题的思路，只是ta是适合计算机“傻算题”的特点，而利用方程式为，更适合人类的大脑，不过ta们是等价的。昨天
7 赞今天的文章给我体会最深的就是*数学是工具*，就像锄头解放了手，不需要直接用手去拔草。曾经学方程，对我来说就是解鸡兔同笼这种问题，没别的用了。 数学，就是把现实问题翻译成数学问题，再借助工具解决问题。美国小学教学方法看起来笨，但是传达的是对数学最根本的理解。 非常感谢吴军老师，让我在对数学的理解上，前进了一步昨天
6 赞为什么现在很多机构都在提倡“思维模型”的学习？ 从今天吴军老师的课程中，我们可以从几个具体的数学问题的解决方法的演变中略窥知一二。 鸡兔同笼是具体问题，你当然可以想出一种方案来解决它；三轮车和汽车的问题也是具体问题，你也可以想出一种办法来解决它；红鸡蛋白鸡蛋又是一个新的问题，你依然需要一个新的思路来解决它…… 但是，庄子告诉我们，吾生也有涯而知也无涯，啥意思呢？意思就是说，如果你针对每一个具体的问题都单独去想一种解决办法的话……你就死定了。 为了更高效率的用一种通用的方法来解决一大类问题，我们必须进行归纳和抽象，找到那些更底层的方法，道理和规律——这就是所谓的模型思维，而找到的这些可以适用于一大类问题的方法，道理和规律，就是思维模型。 方程，公式，以及所有基础学科的基础理论，就是几千年来，尤其是从牛爵爷以来的几百年来全世界的精英大脑们为我们提取出来的，用来理解这个世界的底层模型。 不学习这些现成的思维模型，妄想凭自己孤单一人赤身******的去面对这个复杂且越来越复杂的世界……你就死定了！昨天
6 赞关于直观与抽象的思考。“直观”对于不同年龄的人是完全不同的感受，我给小学低年级的孩子讲题的时候，总是想列方程，因为我觉得那很直观，但是孩子没学过，理解不了，觉得非常不直观，但是列表的笨办法对他们真的很直观，所以用对方能理解的直观视角才是真正的直观，这一点在沟通中显得很重要。“抽象”就是透过现象看到本质的能力，我们从小背诵乘法口诀，和搞题海战术，就是在把自己变成工具，直接面对的都是现象，而抽象能力是一种******眼，是透过现象识别本质问题和使用工具的能力，这一点是中西教育的巨大差异，缺少了抽象能力，我们的实践很难在个体间复制和积累。昨天
6 赞厉害，听的我******澎湃的好想刷几道应用题。想想还是算了。要是我幼年能遇到吴军老师说不定今天我就是数学专家了。昨天
6 赞我记得我原来做应用题的时候最喜欢用方程，因为用方程的思维非常容易列出算式，直接顺着题目的意思就能够把方程列出来，而有了方程，求解自然就简单了。而如果你从应用题应用场景的本身出发去寻求解法的话，你相当于是要推导这个解法，这个推导的过程随着应用场景的不同，有时候可能很复杂，这才是应用题最难的地方。而用方程你根本不用关心应用场景，相当于避开了应用题中最难的部分。 我很喜欢吴军老师说的，关于人就是翻译器的那段话，太精辟了。应用模型的思维相当于是把问题的本质和现实的场景进行了解耦，而解耦之后又有成熟的算法来进行问题的演算，从而让解题变得不再困难。从翻译这个角度看，不会做应用题的有两个原因，一个是数学太差，另外一个就是语文太差。看来学好数理化也不够，语文也很关键。昨天
5 赞我们假定都买的白鸡蛋，那么应该花了3x（12÷2）=18元。 现在花了19元，多出了1元，它们应该是红鸡蛋造成的。 如果用一个红鸡蛋换一个白鸡蛋，就会多出5/3—3/2=10/6—9/6=1/6元。 现在多出了1元，因此应该有1÷1/6=6个红鸡蛋。昨天
5 赞今天老師提到了另一個數學思維的重點，我在現實中常常發現有人無法解題，其實有人本質是看不懂題目、有人是思維真的單純，而不是不會使用解題工具。他們的思維，或是說解釋題目的過程卡在半途，或是卡在經驗不足。 以雞兔同籠來說，帶著他們思考，他們能想出全部是兔子和全是雞的時候有多少隻腳，但是接下來就卡住了，因為他們想不到數字的差異怎麼辦，就算繼續讓他們注意到兩種動物差兩隻腳，也不會把多出來的腳去除2；就算除了，也很難去理解為何那就是多出來的兔子數量。 但是若教上面這種自然思考解不出題目的人，單純的用工具（2元1次聯立方程式），他們要解這種雞兔同籠甚至更難的延伸問題反而簡單多了，因為他們只需要帶入設計出兩個式子再照解題步驟去解就好，這反而比思考自然原理容易的多就得到結果。 我的體會是，有的人天性就是不求甚解，與其教他們從原理來找出答案，不如給工具教他們用就好了，因為他們也根本不想知道原理。 又想起國中時，老師問我一元二次方程式的公式解....我背不出來，因為我每一次都是老老實實跑幾次等號兩邊的計算把根找出來，因為我討厭背公式，我認為懂了原理就不用背也不會忘，反正我計算速度快。結果被老師狂罵...…那一天我就在背那個公式解中度過昨天
4 赞#一起学数学 DAY11# 暴风哭泣，感觉差点就赶不上今天的笔记了。 说个我的感受，什么是方程？很多同学都提到了连接世界，构建模型。我给另一个角度——找到变化中的稳定。 方程是含有「未知数」的等式 变化的是那个未知数，稳定的是等式。有解没解无所谓，先把那个等式关系找到。 找到了关系，再针对具体情况求解。 生活中不是有很多这样的事情么？投资能赚多少钱不知道，但是得找到资本运作的关系。学一门课能收获多少不知道，但是能知道一门课跟某种能力的对应关系。运营投放一次能带来多少用户不知道，但是得找到投放与转化的关系。 方程是啥？这么理解，我觉得就是在找关系。昨天
4 赞分组法： 红皮3个和白皮2个为一组： 一组个数：3+2=5个 一组价格：5+3=8元 19➗8=2（组）…………3（元） 正好剩下的3元全部去买白皮鸡蛋，所以 红皮鸡蛋：2✖️3=6个 白皮鸡蛋：2✖️2+2=6个 假设法 （1）假设全是红皮鸡蛋，则一共需花钱：（12➗3）✖️5=20元 （2）再假设全是白皮鸡蛋，则一共需花钱： （12➗2）✖️3=18元 加起来正好是19元的两倍，所以 （3）红皮和白皮分别是12➗｛（20+18）➗2｝=6个昨天
4 赞其实我觉得吴军老师说的美国孩子们的算法，一个一个可能都写出来其实并不是吴军老师说的笨办法，反而是很简单的办法。只不过需要我们再往深里推一下，以下就是我过去小学做题的办法 1.画一个直角坐标系L 2.左边刻度写头数量，下面刻度写脚数 3.分别确定鸡和兔的前两个点，并且连线放长 4.两条线的交点就是答案 (当然大家也可以说，这个数很大，线画出来，那我们可以把刻度等比例缩小，最终乘以一个比例。通常小学生的题目也不会把数量放的这么大不是嘛？) 好处 1.我们不需要一个一个都写出来，只要写动物数X2就可以了，难度是定量增加的。 2.当以上的的题动物数放大的情况下(假设有1.2.3.4.5等的腿的动物存在)，那指望方程的难度就成集合倍增加了。 这样看，其实笨办法不见得是笨办法。要看题目的情况来定。昨天
4 赞对于鸡蛋问题：可以逐步推演。 先花5元和3元各买了3个红皮和2个白皮，这样一共花去8元买了5个鸡蛋；再增加一倍就是花去16元买了10个鸡蛋。最后发现，正好再花3元买2个白皮，一共就是19元买了12个鸡蛋。 当然这样的方法有运气成分，也是老师说的美国的数列方法。 所以到初中学会一元二次方程后，以上所有题，只要将现实问题转化为数学问题后，都交给数学工具就可以了。 不过，现实中也出现了一种军备竞赛。就是去辅助先学习了高级的数学工具和思维，再来考当前阶段的试，这样可以先带入高级工具，得到答案，有了题目和答案，一头一尾，再找到中间的推演方法就容易很多，再加上有了垂直交叉的思维，做错的概率也大大减小。当然这样造成了很多资源浪费和不公平竞争。 数学是一个可以向下兼容的过程，从高级再来看低级，容易很多。反过来看，也发现数学大厦的建成也不是件易事，跟随老师去发现数学发展的历史，更体会到人类发现数学奥秘的艰难过程。很有趣。昨天
4 赞与其浪费时间寻找解决鸡蛋问题的巧妙方法，不如选择方程组快速且高效地解决。昨天