你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲说了方程是一个能办具体问题，等量转化成类型问题的好工具，我们在中学也学了一元二次方程的解法，但是当学到一元三次方程时通常就被卡住了，因为没有通用解法，只有那些特殊方程用巧妙的办法才能把解凑出来。
现在回想起来，大家可能有疑问，那一元三次方程的解法是否有现成的公式可以套用呢？确实有！但是为什么世界各国的中学都不讲呢？因为这个公式太复杂，而且大家今天有了计算机，只要理解这一类方程的意义，让计算机帮助解决就好了。
但是在过去没有计算机，大家对这一类问题束手无策，因此只能靠技巧来解个别具体的方程。直到15世纪，人类还不知道它的通解，当时在欧洲，谁能解几个三次方程，就算得上是数学家了。
欧洲早期最著名的大学是意大利的博洛尼亚大学，它也是全世界最早的大学。该大学里面有一个叫费罗的数学家，他有一个学生叫菲奥尔，这个学生既不聪颖，也不好学，看样子将来是找不到工作了。
费罗临死前就对他说，你将来怎么办啊，要不为师传给你一些秘诀，你将来就拿它去找最有名的数学家挑战，如果赢了他，也便能在数学界扬名立万站住脚了。不久费罗老师就去世了。
菲奥尔在老师死后，果然混得不太好，于是就拿出了老师的秘籍，去找一个叫做塔尔塔利亚的数学家挑战，“塔尔塔利亚”是意大利语“口吃”的意思，这个数学家的真名叫做尼科洛·丰塔纳，但是今天大家都很少提及他的真名，而用他的绰号。
当时欧洲数学家之间盛行挑战，就是各自给对方出一些自己会做的难题，如果自己做出了对方的题，同时把对方难倒了，就算赢了。1535年，菲奥尔听说塔尔塔利亚会解一些三次方程，当时大家还不知道三次方程的通解，解具体的三次方程都靠玩技巧，就给他出了一堆难题，像这样的一些：
x^3+8x+2=0
2x^3+7x+5=0
看了这些题目你会发现，它们都大同小异，都是解三次方程，而这些方程中都没有二次项。我们不妨将这些三次方程称为第一类的三次方程。费罗老师给菲奥尔留下的“九阴真经”，其实就是这一类方程的解法，费罗在发现了这样方程的通解后，除了悄悄告诉了自己的女婿，以及这位不上进的学生，没让旁人知道。
在拿到菲奥尔给的这些难题后，塔尔塔利亚也毫不客气地给对方出了一堆难题，也是求解三次方程，但形式上略有不同，诸如下面这样：
x^3+x^2-18=0
它没有一次项，但是有二次平方项，我们不妨将它们称为第二类的三次方程。这一类三次方程的解法，塔尔塔利亚已经想出来了。双方约定30天为期，并且压上了一笔钱做赌注，于是比赛算是正式开始。
菲奥尔看了一眼对方的题，知道自己做不出来，也就根本没打算做。然后他每天晚上跑到塔尔塔利亚的窗外去侦察，看看对方进展怎么样。菲奥尔的如意算盘是，对方也做不出来自己的题，于是双方打平，这样菲奥尔就一战成名，比肩塔尔塔利亚了。
塔尔塔利亚并不知道这些，他就每天从早到晚在书房里做数学题。眼看30天的期限快到了，塔尔塔利亚还没有解出来，菲奥尔暗自高兴，这场比赛看似能打平。然而，皇天不负有心人，塔尔塔利亚最后经过努力解出了对方的难题，赢得了比赛，菲奥尔自然就退出了历史舞台。在这之后，塔尔塔利亚又花了6年时间，完全解决了一元三次方程的问题，这是后话了。
从1535年开始，就有很多人想从塔尔塔利亚那里学习三次方程的解法，但是塔尔塔利亚就是不说。后来有一位叫做卡尔达诺的数学家，不断恳求塔尔塔利亚，想知道第一类和第二类一元三次方程的解法，后者受求不过，让卡尔达诺发下毒誓保守秘密后，将第一类三次方程的解法告诉了他。
卡尔达诺有一个学生叫费拉里，这个人很厉害。这师徒俩在塔尔塔利亚工作的基础上，很快发现了所有一元三次方程的解法，我们可以把它称为是通解。他们俩自然兴奋不已。但是由于之前发了誓要保守秘密，因此他们不能向外宣布自己的发现，这让他们非常郁闷。
几年后，也就是1541年，塔尔塔利亚也发现了所有的一元三次方程的解法，但是他依然保守秘密，不和别人说。
1543年，也就是塔尔塔利亚和菲奥尔的挑战赛过去八年之后，卡尔达诺和费拉里访问了博洛尼亚，在那里他们见到了费罗的女婿，得知费罗早就发现了第一类和第二类一元三次方程的解法，这下让这师徒二人兴奋不已，因为觉得憋在心里的话终于可以说出来了。
于是卡尔达诺决定不需要再恪守对塔尔塔利亚的承诺了，便于1545年将所有一元三次方程的解法发表了，这本书的中译名叫做《大术》（Arts Magn，就是《数学大典》的意思），这是过去关于代数学一本非常重要的书。
在书中，卡尔达诺讲，费罗是第一个发现了一元三次方程的解法的人，他所给出的解法其实就是费罗的思想。同时在三次方程解法的基础上，费拉里还给出了一元四次方程的一般性解法。
塔尔塔利亚知道了这件事，当然对卡尔达诺极为愤怒，认为他失信。失信在当时学术圈是一件了不得的事情。不过卡尔达诺解释道，他没有发表对方的工作，而发表的是费罗很多年前的工作，因此没有失信。
这件事在当时就成为了一件很轰动的事情，而双方各执一词，旁人也分不出是非，于是只好采用“决斗”的方式来解决，当然，这种决斗是数学家们比拼智力，而非武力相向。
卡尔达诺这一边决定由学生费拉里出战，他和塔尔塔利亚各给对方出了些难题，结果费拉里大获全胜。从此塔尔塔利亚就退出了学术圈。不过今天三次方程的标准解法公式依然被称为费拉里-塔尔塔利亚公式，大家并没有完全否认他的功绩。
说到这里有人可能会问，既然一元三次方程有标准的解法公式，为什么我们中学的时候，老师不讲，而让我们费劲巴拉地用各种技巧来算呢？更糟糕的是，解每一道题的技巧都不一样，以至于我们学习得特别辛苦。
要回答这个问题，我先把标准解法的公式，即费拉里-塔尔塔利亚公式给大家看一眼：
要算出它的第一个解，需要先算下面三个中间变量。
然后再根据这三个中间变量，按照下面的公式算出第一个解。
有了一个解，三次方程就可以简化为二次的，接下来就好解决了。
我估计你看了上面这一堆密密麻麻的公式，头已经开始大了。因此，中学不教这个公式是对的，否则会把学生们都吓回去。但是，老师又不能完全不讲怎样解一元三次方程，于是学校就教了一大堆解特殊方程的方法，聪颖用功一点的学生学得多一些，成绩就好一些，条件差的学生学会的技巧就少一些。但是那些技巧你无论学多少，都很难举一反三。
相比之下，我倒觉得美国中学的教法更好一些，它除了教学生们最简单的，谁都能学会的技巧，还有就是让学生们使用一种叫做Mathematica的软件工具来自动解决。
根据我个人的体会，今天学习数学，重要的是把实际问题变成数学问题，然后知道如何利用各种软件工具来解决，而不是花很多时间学一大堆无法举一反三的技巧。讲到Mathematica，我还要说一句题外话，这款软件可以推导你能遇到的几乎所有数学公式，他的编写者沃夫兰姆是一位真正的天才。20岁便博士毕业了。
因此我想对很多家长说，不要高估自己孩子的智商，当然，也不要埋没他们在某些方面的天赋。大部分人老老实实学好数学的基本方法，理解其中的思维方式最重要，不要苦练解题技巧。需要技巧的时候，我们应该善于利用沃夫兰姆的大脑，不要自己傻推公式。
现在，我想让你再看一眼上面这一大堆密密麻麻的公式，把注意力集中在那个根号上。我们知道，如果根号里的数字是负数，那么它在过去是没有意义的。在解二次方程时，我们可对这个问题视而不见，直接宣布它没有实数解即可。
但是三次方程是一定有实数解的（原因以后再讲），因此这个根号里面负数的问题就回避不掉，为此，数学家们就不得不正视这个问题，并且引入了虚数的概念。关于虚数我们明天会详细讲，今天只是通过这段历史，介绍它的来源和存在的必要性。
要点总结：
首先，通过数学史上这段著名的公案，说明了数学定理发明的过程。通常先有引理，你可以把引理看成是一个简单、辅助性的定理，它们存在的目的是为了后面证明定理。在一元三次方程的解法里，无论是费罗对第一类三次方程，还是塔尔塔利亚对第二类三次方程的解法，只能算是引理，它们能解决部分问题，但不具有普遍意义，不能算定理。
后来卡尔达诺、费拉里和塔尔塔利亚发现的对于任意三次方程的解法，则可以看成是定理，它是建立在引理之上的。定理具有里程碑的意义，但它不是凭空产生的。数学的发展是层层叠加的，学习数学也应该如此，理解这一点是学习好理科课程的关键。
其次，我们要特别强调数学是个工具，学习数学是练习自己使用工具的能力，花很多时间在学习小的解题技巧上不值得。因此不要因为掌握不了一个小技巧而沮丧。最要注重学习的是概念，以及概念之间的联系，然后能够把现实的问题转化为数学问题。接下来怎么解决，工具是很多的。
那么三次方程的解到底是怎么得出来的？这就需要人类再次抽象对数的认识，虚构出一个认知工具来，我们下一讲再见。
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3 赞我儿子现在加拿大上四年级，发现这里的学校都不要求背九九乘法表，但是生活中经常需要用到乘法表。老师，请问这种教学方法对吗？我有没有必要在家让他练练？9小时前作者回复还得背5小时前
73 赞#数学助教# 【一元 n 次方程的解】 一元 n 次方程，在 n>4 时，没有通用根式解。 在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题。 直到19世纪，这个问题才被天才数学家伽罗瓦解决，他不仅证明了 4 次以上的一元方程没有通用根式解，还顺手开创了一个新的数学分支：群论。 最短需要几年才能成为大数学家？伽罗瓦回答了这个问题：6 年——从他刚刚掌握加减乘除四则运算开始算起。 【伽罗瓦的一生命途多舛】 父亲被人害死、考巴黎理工大学两度失败、提交的论文两度石沉大海、被巴黎高师开除、两度入狱、******未遂。 数学家之间的“决斗”，像极了武侠小说里面的华山论剑，只不过他们不会死于决斗。而伽罗瓦却在仅仅 20 岁的时候，死于决斗——是真的决斗，为了心上人。（更多参考《卓克科学思维》051讲） 【数学大厦建立在层层的抽象中】 在数学世界里，数字可以不对应任何的实体事物； “加减乘除”可以作用于任何事物，只要合理定义…… 从确定性到“概率”的不确定性； 从现实的“三维空间”到 n 维空间，再到“无穷维”的世界； 从“欧式空间”到“黎曼流形”； 从“集合”到“范畴”…… （再往下，我也看不懂了 (///^///)...）19小时前
41 赞＃数学助教＃ ＃解方程的两种思路＃ 在没有计算器和计算机的时代，靠纸笔求解方程固然是困难的，数学的门槛就会很高。但是，“现代”不同了，有计算器可以飞速算出加减乘除、乘方、开方；也有非常多的计算机软件，只需要你输入方程，一个回车就给你输出方程的解，这样，解方程的门槛就大大降低了，更重要的是如何将实际问题抽象为数学模型，写成方程，至于后面复杂的计算过程完全交给计算机就可以了。下面我就简单介绍两种“现代人”应该有的解方程思路。利用解方程软件直接获得方程的解 推荐一个软件：Microsoft Mathematics，这是微软出品的高等数学计算器，最多能计算六元n次方程组，绝对能够满足大多数人的需求。 利用软件作图获得方程的解 图像是函数的可视化，能够非常直观的展现函数在定义域中间各个位置的性质。比如，要求解ax＾3+bx＾2+cx+d=0的解，最直观的做法就是画出y= ax＾3+bx＾2+cx+d的图像，然后找到图像与x轴（y=0）的交点位置即可。 推荐一个软件：Matlab，它是一款极其强大的数学软件，解方程对它就是小菜一碟，它还可以画出各种形状、不同纬度的函数图形，函数的各种性质，一目了然。 可见，在数学工具日益强大的今天，数学的门槛一直在降低，技巧在逐渐被淡化，真正有价值的依旧是我们课程中一再被强调的「数学思维」。19小时前
35 赞#数学助教# 今天的课程讲到了mathematica。不得不说这是一件神器。它几乎可以推导你能想象到的任何数学公式。 除了mathematica以外，至少还有以下几种数学软件能够作为我们的助力(从轻到重，我个人认为maple最简单，缺点是它们没有一个是中文的。不过我觉得至少前三个都不难，大家感兴趣都不妨上手试试)： 1) mathstudio。它是一个网页，mathstud.io，也有手机App叫mathstudio express。它能够求导、积分、解各种方程、画二维和三维图，你甚至还可以用它写个俄罗斯方块、贪吃蛇，或者用它画出化学分子式。它的网页上有案例库，右侧就是教程；手机App上也有交互式的tutorial教程。最可怕的是它体积非常小。 2) geogebra。我知道它有网页和Windows APP。这是一个解析几何作图软件，我在科研中也用它来求解三维空间中某个点的位置和某直线的方程。它似乎还有个计算器，可以画出函数图像。 3) Maple。这个软件相比前两个就要大一些了。它可以说完全是mathematica的替代，官网介绍上处处都在怼mathematica。但是它比mathematica强大的一点是它对新手极其友好，几乎是上手就能会用，而不需要像mathematica那样面对一个空白的输入框。求导数、画图像，复杂一点的公式都可以用它搞定。自从有了maple，我大学考完高数以后基本就没自己手算过积分(惭愧) 4) MATLAB。这家伙大名鼎鼎，你很可能听说过它。但几乎没人敢说自己“精通”MATLAB。MATLAB里的符号计算工具箱据说来自maple，但是自从2016版本以后，用它的live script功能推的解析公式也是漂亮的一塌糊涂。 5) Python中的sympy工具。这个就相对硬核一点(其实都提到MATLAB了，还能怎么硬核)。大致可以理解成Python环境下的符号计算工具箱。和MATLAB的区别就在于一个是官方给统一文档，另一个是开源的代码，由社区提供文档。19小时前
17 赞由引理叠加至定理，培养我们归纳能力与结构化思维。 借由今日课程三次方程，除了了解数学史的著名公案，也能连结归纳法和MECE分析法，以下容我展开来谈。归纳法和演绎法 (Inductive/ deductive method)，是我们在中学研究数学证明时，认识的两种方法。其中，借由引理证明定理，搜集各种资料和解法，推导成通用公式的归纳法。在我印象中，数学证明题相比应用问题，枯燥乏味且困难；但后来在教学生时，反而认为数学证明的过程相当重要，即便少讲两三题应用题，也要把证明过程的逻辑讲明白，因为定理的推导，一通百通，这是捡西瓜的大事。 MECE分析法，大家就更熟悉了。MECE全称是 mutually exclusive collectively exhaustive，即是常听到的『相互独立，完全穷尽』。这在管理谘询领域中流传之广，正因为该方法便于讨论，针对一个主题能做到不重复且不遗漏的区分后，再逐个讨论，能更有效掌握核心问题。在做归纳法的过程，我们也力求提出不同类别、没有遗漏的情况，像是文中提到的第一类、第二类的三次方程。如此，得出的结论，才不会有一堆例外，而使应用上窒碍难行。 工作中的思维工具，有赖于数学思维得以坚固。我认为，不论是学生还是社会的职场人，都应该努力把握数学，将之融入处事的方方面面。18小时前
12 赞这么一说，以前遇到的三次方程，都是通过因式分解解决的，也是出题人精心设计的。 转载补充 上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。 数学中还有个思维或者说方法，高次方逐步转换为已经有解法的低次方。让我也联想到魔方，高阶魔方转换成低阶魔方的玩法也是一样。这是化归思路的一种，所谓“化归”，是把未知的、待解决的问题，转化为已知的、已解决的问题，从而解决问题的过程。有个数学家烧水的故事。给数学家一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个空水壶，让他烧一满壶开水，他会把空水壶放到水龙头下，打开水笼头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。然后再问他，一个煤气灶，一个水龙头，一盒火柴，一个已装了半壶水的水壶，烧一满壶开水，又应该怎么做？数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。如果是物理学家，他会把装了半壶水的壶放到水笼头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶，把一满壶水烧开。 解析几何，其实也是将几何转换为代数的一种方法；助教说的方程作图，看与坐标轴交点，又是一种转换。条条大路通罗马。18小时前
8 赞方程反映的是变量与数值的关系，而通用的求解方法或公式，就是寻找某一类别方程变量之间的通用规律。对于一元三次方程，费罗和塔尔塔利亚的解法，都是这一类方程中“不完全”的规律或者说是共性，而只有将两者统一起来，才是所有一元三次方程共同的规律。之所以要找到普遍规律，而非停留在引理上，是因为引理或者说“部分”的规律，解决的是一大类问题中的特例；特例情况可以由通用情况经过简化得来，但只知道引理却并不能解决普遍性的问题。物理学上追求“大一统”的模型，甚至尝试弥合相对论与量子力学之间的鸿沟，也是为了相似的目的。 说到一元三次方程组的实数解，我们可以规定一个函数，y = f(x) = ax^3+bx^2+cx+d。方程 f(x) = 0 ，就是函数值等于0时的特例。在直角坐标系下，这个代数问题实际上就被转化成了，函数y = f(x)的曲线，与直线 y = 0 是否有交点的问题。由于这个函数的曲线是“N”形或者倒“N”形，并且向上、向下都可以无限延伸，因此无论a、b、c、d怎样取值（a不为0，否则就不是三次方成了），这条曲线都会与直线 y = 0 有交点，因此方程 f(x) = 0 至少有一个实数解。17小时前
5 赞记得自己在国外读本科的第一年，我听学长说像会计、统计等学科的期末考试是可以带书带计算器的，我深表惊讶。当时自己的理解是老外的学校真人性化，很多环节可以偷懒不需要自己算。后来逐渐才明白，学校想传达的，其实就是把数学等学科当作是工具，学会之后运用到生活和以后的工作当中就好了。对于那时经历了十多年如一日备战高考的我，可谓是换了一个新的世界，面临一种全新的思维方式：学以致用。11小时前
5 赞数学通识50讲(12)一元三次方程 1.天才和“蠢材”决斗，为一元三次方程的求解增添了戏剧性，个人的争名，却促进了人类科学的发展 2.人类对数的认识的另一个维度即将打开——虚数 3.中学的时候只学过特殊的一元三次方程的解法——因式分解法，通过因式分解，提取变量，得到解。中学用的最多的是一元二次方程的通用解，这与中学阶段研究最多的是二次曲线有很大关系。三次曲线要更多的依靠高等数学解决，而不是初等数学。 4.时代的发展，工具也在发展，谁可以利用有效的工具，就可以获得优势。19小时前
4 赞#数学助教# 定理与引理 通常一个定理的证明是通过多个引理的辅助完成的，但这些引理并非空缺来风，而是在得到想要结论的过程中，发现缺少什么条件，需要什么作为前提，然后才带着目的地去验证这些条件或前提是否成立，从而产生了很多所谓的“中间引理”，所有的工作结合到一起是最后的定理。同样地，我们平时在看一个方法或结论的时候会很好奇，作者为什么能想到这样做，为什么恰好是选取这个参数，然后表现这么好，其实这背后是通过系列推导计算得到最优设置，作者通过一系列的中间结论最后才总结得到这个看似简单的表达。我们学习的时候，如果只局限于学会方法本身，会用就行，而不去深挖其中的思想，那么在问题变化时，我们很难举一反三，利用原方法的思想得到新问题的一个方法。定理的推导过程给我的一个启示是：学习可能需要带着目的性，从问题出发，缺什么补什么，而不是，漫无目的地学各种知识，期望在需要的时候能派上用场，前者可能更功利，但在某些方面或许更加有效。6小时前
4 赞#一元三次方程引发的数学公案#【课程要点】由一元三次方程求解历程，就是一段科学史的发展，先有引理开始，慢慢得到了定理。引理之于定理是基础，而定理才是集大成者。并由该定理的推论衍生了虚数的概念。 【个人随想】学数学在于思维方法的培养，我想中学时不学三次方程不只是它的求解困难，也是方程的思想已经在二次方程中得到了完成的体现。在大学时，有了先进的数学软件和工具，如matlab，可以很简单地得到各类方程的解析解或者近似解。这个工具内部一定集成了相关问题的解法，我们站在前人先进成果地基础上直接应用。深度不是我们的追求，或者可以看得更广。 2019.11.1219小时前
3 赞#数学助教# 本讲的故事很精彩，其中有些细节值得推敲。 按照时间线来看，费罗早就发现了第一类和第二类一元三次方程的解法，可能是时间不够，留下个遗憾（没发现通解）。临死前告诉了女婿，并且部分告知了不上进的学生菲奥尔。一方面可能是老师担心菲奥尔找不到工作，要用碰瓷的方法混口饭吃，另一方面，我觉得有可能是费罗精心设计的找通解方式。老师了解学生，知道菲奥尔一定会去碰瓷。通过“决斗”，吸引流量。费罗可以解第一类和第二类，但是只把第一类告诉了菲奥尔，导致菲奥尔碰瓷最好结果只能是平局。菲奥尔碰瓷失败，退出历史舞台，但是成功吸引到了流量 很多人想从塔尔塔利亚处得到第一类 第二类的解法。卡尔达诺以发“毒誓”的方式得到了第一类的解法。 为什么只有第一类，可能塔尔塔利亚觉得第二类是他的“独创”，不愿意给别人。第一类至少菲奥尔也会，给了损失不是最大的。卡尔达诺和费拉里在第一类的基础上，很快就找到通解，迫于誓言，无法发布。 只有最天才的才能站到顶峰。相比之下，塔尔塔利亚到1541才发现通解。他不发的原因，不太清楚。1548年，师徒俩找到誓言的漏洞，发布通解。又通过决斗，战胜塔尔塔利亚 从数学家个人荣誉的角度来看，属于零和博弈。谁先找到，谁大概率命名公式。 巨大收益=巨大动力，无可厚非，但是由于零和博弈，互相不共享成果，进展会慢一些。如果换个角度，从全人类的认知来看，就不是零和博弈，共享发现的收益更高。计算机领域在这点上还是有优势的。从发展的早期开始，就有人致力于开源。开源的好处不仅是对程序员之类的专业人士。对于一般用户，免费 开源的也会导致收费 不开源的精益求精，否则将没有竞争力。AI时代，如果绝大部分代码是AI写的，开源的趋势应该会更强8小时前
3 赞数学史上的一段公案听老师娓娓道来，显得跌宕起伏，不但有各种神转折让人听来十分过瘾，而且画面感十足，尤其是费奥尔侦察塔尔塔利亚解题进展情况的情节，让人忍俊不禁。本节课最大的收获就是“大部分人老老实实学好数学的基本方法，理解其中的思维方式最重要”，一是明确数学学习的目标与重点，不必花费太多无用功；二是管理期望，评价数学掌握程度有客观评估标准；三是习得思维和掌握工具是关键，能够确保事半功倍。9小时前
2 赞能在学习数学的过程中读到这样一个波澜起伏的故事，真的很少见。数学家们之间的挑战和决斗也很有意思，比拼智力，比拼解题水平，他们这样的决斗，是在推进科学的发展。能够看得出，数学知识在以前的世界里，有点像独门配方，传内不传外，用来维系自己一门的荣誉。那样的研究氛围中，想让数学获得快速的发展也是很难的。让我们知道，今天的很多数学知识其实来之不易，要有一些敬畏，好好学习。要学会站在巨人的肩膀上。我们每个人的时间有限，而且很难像沃夫兰姆那样聪明。好一点的做法，就是直接拿来用这些聪明人做的工具，而不是妄图自己傻推所有公式。很多时候，一个人的想法真的影响很大。记得自己上学那会就经常傻推公式，就会对自己推导出公式挺满意的，但是自己的数学成绩很差。当时问过一个数学成绩很好的同学，一个公式如何推导，他说这个不用推导，直接拿来用就好。当时自己没有听他的，就是觉得自己推到一遍才能真正理解。也许当时为了考试，需要通过推导的过程来增强记忆，那么现在已经完全没有这个问题。 遇到了问题，就想办法转化成数学问题，然后找相应的数学工具来解决。11小时前
2 赞回到知识悬疑和场景，体会这个公式是怎么来的，强化＊数学是个工具＊这个思想。 感觉自己每天在追剧似的。15小时前
2 赞#一起学数学 DAY12# 找到了关于虚数的最好解释，爱死了！ 把虚数与几何作图的不可能性联系起来，根号-1有什么几何意义？挪威人维塞尔在1797年前得出了线段乘以根号-1是将之在平面内旋转90°的结论。 根号-1的含义，代数的、几何的含义，再也不能被视而不见了。 欧拉在《代数基础》中写道：“因此它们（负数平方根）通常被称为虚拟（imaginary）的量，因为它们只存在于想象（imagination）中。”德文imaginär（或者英文的imaginary）的首字母“i”于是被用来指代根号-1。 单位虚数i的引入，犹如打开了一个神奇的盒子，自那里飞出的新事物不断地冲击人们对于惊奇的承受力。18小时前
1 赞老师在最近的课程中多次提示不建议用题海战术，我又想到了中学课堂（本课多次让我想到中学数学基础），老师提到曾经某个高考状元，数学的训练方法是把一本习题册反复做了多次，并且形成了一道题目用不同方法解的习惯，这其实就是一种人工算法的迭代，联系到老师说的不用过分在意技巧而要注重思维方式，其实就是不仅仅在“术”的层面，更要学会总结至“道”的高度。现在越来越多的计算工具、程序的出现其实就是解决了术的问题，但是学会抽象成通识数学思维，用数学思维量化就是一种道的方法。3小时前
赞很早以前，乔布斯曾把电脑比喻成“人类大脑的自行车”。他是这么说的：“我小时候曾在《科学美国人》上拜读过一篇文章，文中对比了地球上各种不同物种的移动效率，比如熊、猩猩、浣熊、鸟类、鱼类等——当然还有人类。然后计算它们每移动一公里消耗的热量。最后秃鹫赢了，它的移动效率最高。作为万物之灵的人类，排在倒数第几位。但是杂志特地测量了人类骑自行车的效率。结果把秃鹫远远甩在了身后，在排名上遥遥领先。 这篇文章给我留下了深刻的印象，人类擅长发明工具，工具赋予我们奇妙的能力。” 数学和电脑都是我们人类生产的伟大工具。5小时前
1 赞学数学的目的不是学小技巧，而是注重概念之间的联系，理解题目背后的逻辑，换句话说，比解出一道题，更重要是借助工具，解所有的同类题。9小时前
1 赞说到三次方程，就想起自己当时做题时苦思冥想的情形，现在想想也倒是有一番乐趣。 听老师讲的三次方程的发明证明过程，真是一波三折，堪比小说故事的精彩。 不过，我们还是要从中了解到前人为此付出的自己的智慧是非常难得可贵的。 现如今，我们工作后大多数人是用不到这种解题公式的。但其中归纳出来的各种逻辑性工具是可以作为日常工作生活中的方法论来加以发扬光大的。12小时前