你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们在前几讲的课程中讲了人在数学上认知进步的过程，从具体数字、具体问题到用方程解决类型问题，用抽象的虚数解决现实问题。今天我们看看人类怎样进一步突破对数的认知局限，动态认识数的。当然，讲突破之前，先要讲讲人是如何受困于认知局限性的。
庄子有句话：“夏虫不可以语于冰者，笃于时也。”意思是说，夏天的虫子无法理解冰雪，因为它受限于生命的时长，等不到能看见冰雪的冬天就死了。其实在庄子看来，人的生命也很短暂，认识也很有限。
他说，“吾生也有涯，而知也无涯”，就是说用短暂、有限的生命，无法理解无限世界的事情。不过，人具有想象力，虽然看不到无限的事物，却能想象出一些规律，并且通过逻辑保留合理的。有些人做到了这一点，他们的认知水平就比其他人高出好几个层次了。
我们今天就从无穷大说起，说说认知升级的事情。
说起无穷大，先要说大数字。小孩子们常常爱比谁说的数大，比如一个孩子说出一百，另外一个孩子说一万。别的孩子就问了，一万有多大？他说，一万就是一百个一百，别人只好不说话认输了，因为孩子们还是有基本逻辑的，知道一百个一百显然比一个一百多。
当然，过两天输了的孩子跑去问家长，从家长那里知道一亿这个数，他就又赢回来了。这时，如果输了的孩子脑瓜子灵，会说出两亿来翻盘，最后孩子们就不断地喊，一亿亿亿亿亿亿……，最后是肺活量最大、气最长的那个孩子赢。
接下来，可能又有孩子要回去问家长，家长告诉他无穷大，这回，他就可以回去秒杀那些一亿亿亿……不断喊下去的孩子们了。但是你要问他无穷大是多少，谁也说不出来，大家只是接受了这个虚构的概念，认为它是世界上最大的数。
下面我就问大家一个问题，无穷大是一个数吗？它可以被看成是数轴的终点吗？它在数学上和某个具体的大数一样大吗？
这些很基本的问题很多人在大学里学完高等数学其实也没有一个明确的概念，在绝大多数人心目中，无穷大是一个数，只是它比你能想象的数更大而已，人们依然会用理解一些具体数字的方式去理解它。无穷大的世界和我们日常认知的世界完全不一样。
当然人类也是直到现代才开始正确认识无穷大。1924年，大数学家希尔伯特讲了一个旅馆悖论，让人们重新认识无穷大的哲学意义。他的悖论是这样讲的：
假如一个酒店有很多房间，每一个都住满了客人，这时你去酒店问，还能给我安排一间房子吗？老板一定说：“对不起，所有的房间都住上了客人，没有办法安排您了。”
但是，如果你去一家拥有无限多个房间的旅馆，情况可能就不同了。虽然所有的房间均已客满，但是老板还是能帮你“挤出”一间空房的。
他只要这样做就可以了。他对服务生讲，将原先在1号房间的客人安排到2号房间，将2号房间原有的客人安排到3号房间，以此类推，这样空出来的1号房间就可以给你了。类似的，如果来了十个、八个人，也可以用这种方式安排进“已经满客”的酒店。
接下来的问题来了，既然每个房间都被现有的客人占据了，怎么又能挤下新的客人？因此我们说这是悖论。但是“旅馆悖论”其实并不是真正意义上的数学悖论，它仅仅是与我们直觉相悖而已。
在我们的直觉中，每个房间都被占据，和无法再增加客人是等同的，但这只是在有限的世界里的等价性，在无穷大的世界里，数学中的很多逻辑都需要重新梳理一遍。我们在有限的世界里得到的很多结论，放到无穷大的世界里，需要重新检验，有些能够成立，有些不成立。
比如说在有限的世界里，一个数加上1就不等于这个数了，因为比它大1，但是在无穷大的世界里，这条结论就不成立，因为无穷大加1还是无穷大，就如酒店悖论中的那个酒店一样，再增加一个客人，酒店依然能够容纳得下。
事实上，在希尔伯特做完那个报告后，全世界数学家不得不回去把所有的数学结论在无穷大的世界里又推导了一遍，看看有没有什么漏洞。
在上面的问题中，客满的、无穷多房间的旅馆，不仅可以增加有限个客人，甚至能增加无限个新客人。那么当无限的客人来住店，怎么办呢？具体的做法是这样的，我们让原来住在第1间的客人搬到第2间，第2间的客人搬到第4间，第3间的搬到第6间。
总之，就是让第N间的客人搬到第2N间即可。这样就腾出无数间的客房安排新的客人了。我们知道一万乘以2是两万，不等于原来的一万，但是无穷大乘以2还是无穷大，并不是两个无穷大。
无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其偶数号房间的数量显然总是小于其房间总数的，比如1万个房间，偶数号的有5000间，不等于总数。然而，在无穷房间的旅馆中，偶数号房间的数量与总房间数量是相同的。
类似的，我们可以证明一条长5厘米的线段上的点，和一条长10厘米线段上的点是“一样多”的。这个证明也很简单：
在图中，下面的线段长度是10厘米，上面的是5厘米。我们将它们平行放置，于是将它们两端相连（虚线），就会交会到一个点S处。接下来，对于10厘米长线上的任意一个点X，我们将X和S相连，就和5厘米短线有一个交点，我们假设为Y，这就说明长线上的任意点，在短线上都可以找到对应点。
因此，短线上的点应该不少于长线上的点。这样，在无穷大的世界里，我们可以认为10厘米线段上点的数量和它的一个子集，即5厘米线段上的点是“相同的”。当然更准确的说法是基数相同。
接下来就有一个问题了，不同类型的无穷大，比如整数的个数，或者10厘米长线段上的点数，它们彼此能比较么？答案是可以，这里面的细节我们省略了，在这里我直接给大家答案，就是一根很短的线段上的点数，要比所有的有理数数量都多，前者的基数比后者大。我知道这可能有点颠覆你的直觉，但这个结论是正确无疑的。
讲到这里，我们一开始的问题，“无穷大是不是一个特别特别大的数？”现在有答案了。它不是一个具体的数，它和万亿、googol数（10的一百次方）等等都不同。它不是静态的，而是动态的，它反映一种趋势，一种无限增加的趋势。在增大的过程中，有的无穷大会比其它的更大，因为它变化的趋势比其他的无穷大更快，这一点我们后面会仔细讲。
对于无穷大的概念，关键要理解它是动态变化到了最终尽头的描述。事实上，无穷大（和以后要介绍的无穷小）代表着一种新的科学世界观，就是让我们关注动态变化的趋势，特别是发展变化延伸到远方之后的情况。
上面这些关于无穷大世界的特点可能有些颠覆你的认知，这并不是说你原先的认知有问题，而是说我们在有限世界里得到的认知太狭隘了，相比浩瀚的宇宙和人类的知识体系，我们的认知可能就如同夏天的虫子，受限于我们的生活环境。这也是我们比较接受通识教育的原因，因为这样可以让我们以最快速度走出我们认知的围墙。
当然，有些同学可能会问，了解无穷大世界这件事情有什么现实的意义？它的意义很多，这里我不妨说一个具体的例子。
我在《谷歌方法论》中讲到了关于计算机算法的衡量标准。假如有三个完全相同功能的算法，A、B和C。
算法A要进行100,000*N次运算；
算法B要进行N^2次运算；
算法C要进行N次运算。
请问哪种算法好？
很多人会说，当然是算法C好，至于A和B，要看情况。如果N<100,000，那么算法B更好，否则就是算法A好。比如，N是20万时，A方案就相当于10万*20万，B方案相当于20万*20万，可见B是很大的。
但是，在计算机科学中，衡量两个算法的复杂度时，只会考虑这两种算法在处理近乎无穷大的问题上的表现，也就是N趋近于无穷大的情况。因为它关心的是，当问题越来越复杂后，每一种算法所需要消耗的计算机资源（比如计算时间）的增长趋势。这样一来，算法B显然是计算量最大的。
至于两个算法在复杂度上只差出常数倍，在计算机科学上就认为它们是等价的。对计算机科学家们来讲，将一个算法从平方的复杂度降低到线性，这是捡西瓜的事情，将一个线性复杂度的算法的计算量再减小几倍，这是捡芝麻的事情。这些内容我们在后面会更仔细地分析。
要点总结：
首先，我们通过希尔伯特旅馆悖论，说明生活在有限世界的人，其实很难想象无穷大的世界，在那里，很多规律和有限世界是不同的。比如说，在无穷大的世界里，部分可以完全和整体等价。
因此，我们不能以有限的认知，去理解无限的事物，也不能把那些从很少的经验中得到的结论，放大后用于更大的场景。比如，有些人受过一两次骗，就得到一个结论，世界上没有一个是好人。这就陷入了以有限的经验理解无限事物的误区。
接下来我们强调了，无穷大并非是一个静态的、具体的大数字，而是一个动态的、不断扩大的变化趋势，希望通过这个概念，提示大家能够以动态的眼光看待世界。
至于无穷大这个概念的现实意义，我们举了计算机科学中算法复杂度的例子，量级的差异，要比同量级之间几倍的差异重要得多。我们在工作中，要优先考虑量级的提高，而不是捡芝麻的事情。
接下来三讲，我会拿无穷小为例，详细解释什么是动态地看世界。我们下一讲再见。
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0 赞#提问# 存在最大的数吗？ 如果有，是多大？ 是无穷大吗？5小时前作者回复无穷大不是一般意义上的数。如果说最大的有限的数，一般认为是高德纳箭头，我在《Google方法论》中讲了。5小时前
74 赞#数学助教# - 无穷是趋势 【无穷集合之间的区别】 有的无穷集合，可以对其中的元素一一标号：1，2，……例如整数集合，有理数集合；有的则不能，例如一条线段上的点。后者的“基数”更大。 比较两个无穷集合的“基数”大小，关键就是是否能够建立元素之间的一一对应关系（参考我在03讲的笔记）。 【量级之间有质的区别】 无穷增大的趋势有快慢，N^100 增长再快，在 2^N 面前也是个“无穷小量”；而 2^N 再厉害，在 N！面前也显得不值一提。 （关于“无穷小量”，下一讲会讲到） 计算机行业的人，最看不惯的，就是简单重复的工作。 他们宁肯花大量的时间，写个程序让计算机自动完成，而不是一遍又一遍地人工重复。 因为前者的时间“量级”是常数（也就是编程时间），而后者至少是随着事情规模逐渐增加的。 如果手头的事情，在体量越大的时候，复杂度增大得更快，那么，是时候停下来，重新思考如何降低这件事情的“复杂度”。 【以动态的眼光看世界】 一个数字再大，终究是恒定不变的；而“无穷大”的意义在于，无论你设定了一个多大的锚点，我都能将你轻松突破。 心理学上有两类思维模式：固定型思维 和 成长型思维。 拥有固定型思维模式的人，潜意识会认为这个世界是静止不动的。他们喜欢给自己或别人贴上标签，“你，永远就是这样的人”。 拥有成长型思维模式的人，看到的是世界变化的趋势。他们相信，所有事物都是动态变化的，唯一不变的，是变化。 人生是有限的，但可能性是“无穷的”。 当你拉长这根时间轴，站在一年后或十年后，看当下的自己，眼前焦虑的事情可能不值一提；同样的，当下的风光在未来也可能不复存在。 人们往往会高估自己一年内完成的事情，却低估了十年内能做到的事情。 不要止步于此，因为在你的前方，还有一个永远无法企及的“无穷大”。 ### 无穷远的未来？大家都死了 ╮(╯▽╰)╭17小时前
39 赞成就= 成功率x 事情的量级x 做事的速度。 听完今天无穷大的概念，回头复习谷歌方法论第5封信谈『量级』，老师提到成就的三要素，成功率、做事速度和量级。前两者在熟悉后都能快速增加，而提升量级却很难做到，原因是大多数人倾向在舒适圈安逸，要转变思考角色、不断提升见识，也需要下苦功学习。在计算机科学中，衡量复杂度时是考虑近乎无穷大的状况，而我们的成就不也是充满复杂的趋势？人与人间的量级差距，越到后来差距会越大，俞敏洪从俞老师到俞校长就是一例。 改变思维惯性，提升做事量级。分享我近期心得：最近我参加科内的达文西手术训练计划，让年轻医师能透过模拟器来提高操作的熟练度，有五六种不同关卡、分别测验7次，从统计成绩曲线来看，成功率和做事速度，在系统的学习之下，能在短时间内大幅提升；然而，什么是提升量级呢？发掘达文西手术更多应用场景、基于临床经验提供机器手臂修改建议等等，那么就从临床跨度到管理、医学工程和研发，职涯自然也和大部分医师不同了。 每当在工作中反覆操作同样内容，也别忘了反思，我还能怎么提高做事的量级？人与人的差距也就这样拉开了。17小时前
29 赞#数学助教# #本节得到# ● 无穷大不是一个静态的、具体的数字，而是一个动态的、不断扩大的变化趋势。 ● 在无穷的世界里，部分可以完全和整体等价，比如5 cm线段上的点与10 cm线段上的点的个数相同，因为部分也是无穷大，部分与整体能够找到“一一对应”的关系。 ● 量级的差异，也就是指数变化的趋势比线性变化的趋势更值得关注和优先考虑。 #无穷大的比较# 课程中，吴军老师比较了3个无穷大在量级变化上的差异，100000*N，N与N^2，当N为无穷大时，100000*N与N在量级上其实是相同的，都属于N的量级，而N^2在量级上是高于N量级的，它属于N^c量级（c是大于1的常数）。稍微推广一下，和N相关的无穷大除了上面这两种量级，还有另外几种，它们之间量级大小的比较关系我给大家列出来了，帮助大家区分什么才是量级更大的变化：log_a(N) < N^(1/b) < N < N^c < d^N < N! < N^N （其中a，b，c，d>1） #d^N指数带来的量级差异# 从上面的排列关系看，d^N是比N^c（例如N^2）变化更快的一种无穷大，看下面两个例子，其中的两个d（一个是0.99，一个是1.01）只相差一点点，但是，当N增大，即使N只到了1000，距离无穷大还很远很远，结果的差异已经非常巨大了。 0.99^10 = 0.904 1.01^10 = 1.104 0.99^100 = 0.336 1.01^100 = 2.705 0.99^1000 = 0.000043 1.01^1000 = 20959.156 所以，为什么说要更关心量级的变化，大家可以感受一下~ 为什么说某一天的进步多大不重要，重要的是每天都进步一点点，从1变成1.01，这背后就是无穷大的力量！17小时前
15 赞#数学助教# 无穷大是大学数学的第一道门槛、看门狗、拦路虎。从这道门里进去，里面还有很多猛兽、很多概念等你征服。从这道门出去，是大部分人完全不受影响的人生。 在这里我们不谈学它有什么用。万老师这一季精英日课开篇讲相对论，几乎对我们每个人都没用。但我们总要面对一些宏大的东西，感受那种逻辑的美妙带给你的冲击和顿悟，本身就是一种享受。希尔伯特的旅馆就是这样一个有趣的概念，在无限的世界里，部分可以等于整体，满了的旅馆也可以继续装下无限多的旅客。 在我的学科领域，工程师会去用有限来逼近无限。在真实世界里也并不存在无限大的东西。物理世界里物质不是无限可分、精度也无需无限提高。但是在数学的世界里，无穷大和无穷小的概念、以及随之而来的无穷大的阶数、无穷大之间的比较，却可以帮我们在有限的世界里框定误差的边界。17小时前
12 赞最大的无穷大是多大呢？答案是 没有尽头。 事实上，(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应：把这些实数写成二进制，小数点后第n位为1，对应于n在子集中；为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。 我们把前面说的所有曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。 另外还有一个问题，即连续统假设：整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说，是否存在比整数基数大，而比实数基数小的无穷基数，也就是n与2^n之间有没有别的基数。 更一般的，任给定无穷基数a，在a和2^a之间是否有别的基数？这被称为广义连续统假设。 数学家证明了这样一个事实：连续统假设无法在ZFC集合论公理下被证明或证伪，换而言之，承认连续统假设将导出一个体系，不承认将导出另外一种体系。连续统假设或其否定均可作为额外的公理。17小时前
11 赞#一起学数学 DAY14# 想到了最近运营里，时常会考虑的问题——应该定义多少受众人群。 通常都会觉得，人群越广越好，这样大家都能听，买的人才多。 但是，如果我们用无穷去看，全球人76亿，中国人14亿，北京人口2154万。 对于一个公司卖的音乐课来说，这些大数，可不都是「无穷大」么。 一个公司能服务的人，大体上是有上限的。 以这个上限来看，定义出一个更精准的人群，并不会使人变少的那么多。 假如推广一门音乐课，一类是听过音乐的人，一类是听过音乐并买过专辑的人。 就算世界上实际的数字，是1000万人和100万人。 但是放到实际情况里，100万的受众对我们来说也是无穷多。 所以：千万不要觉得，定位更精准会使受众变少。因为对比中国的人口大基数和我们能服务的总人数，总归是无穷大的（相对来说）。 这给我们提了2个要求： 1.精准的人群意味着精准的内容 2.精准也能无穷，意味着着眼的不能是已经用App的人，而是社会上的所有人。17小时前
10 赞在高数上，其实我们研究无穷最多的问题就是讨论趋势的。有时候是比较两个无穷数的快慢变化，有的是比较他们是否等价。我们有各种各样的工具，但是都逃不过这两个问题。17小时前
10 赞#数学助教# #补充一个思考题# 讲了几节无穷大的思维模式，我们知道无穷大是一种变化趋势，它的整体可以和部分相等，证明的思路就是“一一对应”。那么，请你用“一一对应”的思路，证明一个更加反直觉，甚至匪夷所思的结论：「正整数的个数和全部整数的个数是一样多的。」 答案我会稍后在知识城邦公布。欢迎大家在留言区写下答案，向我提问。17小时前
7 赞学、停、思……然后不断重复，这是学习这一课的过程，真切体会到摆脱具象思维的束缚，进行抽象思考之难。不过每每想明白一点，就会开阔一些。最大的一点收获就是对于无穷大的理解，从具体数字大小的静态想象进化到对动态扩大的趋势思考，对于我来说，这是一种思维上的飞跃。 谈谈两点启发： 第一，罗胖曾讲过“看不见的天花板”，指的是职业发展中，有些人发展到一定程度之后就开始多年如一日的原地踏步。比如一个银行的小职员，各种基本业务技能优秀，甚至在比武中还获得第一名，但是总也得不到进一步的升职。这应该就是老师课里说的没有琢磨怎么在能产生量级效应的事情上下功夫吧。 第二，全力做正面黑天鹅发生概率大的事情，比如课里提到的投资，巴菲特说假如一辈子只有十次投资机会，那么一旦发现机会就要尽可能多的投入资金，回报才可能最大化。8小时前
6 赞“无穷大”是个非常让人抓狂的概念，它加多少数都是它，它乘与多少数还是它，它的一半也是它（奇数、偶数），感觉这个无穷大有着神奇的效果，永远都是它。 记得第一次学习它时，就是停留在绝对静止的状态来思考的，所以怎么都想不通，但是一旦“运动”起来，这个无穷大的魅力就体现出来了。 而且这个抽象概念一旦掌握： 第一，颠覆掉自己的感官和直接判断。特别是把“点”去除掉空间的大小，点就是抽象世界的“点”，否则会被自己的想象卡住。 第二，它在世界的应用可以进一步拓展人类的空间和时间，一种可变化的推导，让最初学习数学的静止感变为动态感。特别是老师说的“数量级”的改变，在大数世界，不能再用线性或几倍之间来比较，而是用趋势递增或递减来衡量。17小时前
5 赞和计算机算法的衡量标准类似，在处理日常工作的方法中，有的方法看似简单快捷，却不具备处理批量问题的能力，或者处理问题的量级很有限。 比如，作为公司服务100家客户的方法，和服务10000家客户的方法。我们需要一种长期看来边际成本很低的服务方式，哪怕这种方式在前期建立的过程是缓慢的。9小时前
4 赞是的，不管是无穷大和无穷小都代表着一种趋势，这种趋势有块有慢，举例来说，无穷大加无穷大等于无穷大，这个好理解，但是，无穷小加无穷小不一定等于无穷小（如果这两个变化趋势慢的话相加就不是），从这个无穷小就可以感受趋势的变化是可以决定结果的。我已经隐隐感觉到这个应用到工作生活中带来的好处了。17小时前
3 赞无穷这个概念最有意思的地方就是突破了我们日常生活的认知，比如说全体正整数和全体正偶数一样多，这就让我们感觉到很难理解，为什么一个集合的个数会和他的子集的个数一样多呢？因为无穷是一个趋势，很难对应到生活中的事物，所以我们也就很难想象。但是这种突破我们想象的东西才能真正带动人类的认知的进步。今天的内容也然我理解了为什么计算机里100000*N和N的时间复杂度是一样的， 因为从数学上的来看，这两个集合就是一样多的。8小时前
3 赞学了本讲，我对有限和无穷的理解。有限好比我们拍摄的照片，这张照片上反映了一个静态的、具体的瞬间；无穷好比银幕上正在播放的、永不停歇的影片，该影片表现了一个动态的、不断扩大的影像。这张照片剪切下一部分，照片就不完整了，而这部影片剪切下一部分，不论哪一部分的都可以与完整的影片等价。由于这部影片是永不停歇的，所以我们不必在乎数量繁多的普通瞬间，始终把目光关注于能给我们带来精彩享受的高光时刻。8小时前
3 赞上初中的时候理解到，物质也可以无限分小，并不是只有原子。（1，2）和【1，2】中间都含有无限个数字。如果和生活结合，我会认为，任何一个领域都有无穷的认识空间，人类自己可以数出来的知识领土是有限的，而外部世界本身是无限的，人类只是用自己的能力，为世界编制意义之网，方便自己睡在这张网上。17小时前
2 赞吴军老师，之所以无法理解无限的世界，是因为我们生活在一个真实的世界。过去我高中的物理老师告诉我们错误是可以避免的，误差是无法避免。从这句话中其实就可以发现，任何制度只要想要精确，小数点后面可以无限的精确下去，正好符合了5厘米和10厘米线段上的点都是无限的。在我看来这是一个思维认知的过程，只有理解了什么是无穷大，才能理解更高层次的思维。只有理解了更高层次的思维，才能理解什么是更大的世界，什么是高速世界。在过去的课程中对于速度的理解都是根据常识获得的，比如在一辆行驶的汽车上，向前和向后分别投出一颗球，向前的速度是需要减去汽车的速度，而向后的速度是需要加上汽车的速度。这在我们日常的世界里是非常正常的，也是很容易理解的。但是当范围，速度被无限扩大的时候，很多事情想要理解就需要更高层次的思维。比如在行驶的汽车上向前和向后分别打出一道光，光速速度是不是要加减汽车的速度，通过计算发现结论都是错误的。当爱因斯坦提出光的速度是不变的，当人所有人都理解光速是一个常数之后，才发现我们生活在慢速世界里，很难理解高速世界的事情。这就需要让我们通过提升，迭代才能理解什么是高速世界，什么是无穷大。如果没有对于量级的概念，想要理解无穷大也是一个很困难的事情，因为这需要更抽象的思维，就好比一个橘子加上一粒芝麻，和一个橘子是同等量级的。如果在小数世界中人就会认为，再大的数字只要加上一，就会原来的数字要大。这在小数世界是可以的，但是到了无穷大的世界里就会发现，根本就是没有任何的意义。无穷大是需要比较的是量级，是橘子和山峰比较，山峰和地球比较，地球和银河系比较。只有理解了量级的世界，才能真正的了解无穷大之间的区别。所以无穷大是一个对于未知宇宙的探索，只有理解了无穷大才能理解更大的世界，理解宇宙，理解趋势。7小时前
2 赞"无穷大并非是一个静态的、具体的大数字，而是一个动态的、不断扩大的变化趋势，希望通过这个概念，提示大家能够以动态的眼光看待世界。" 动态就是不稳定不确定。对不同的人，无穷大就意味着不同的大小。 双11的八卦新闻有一则: 老公发现老婆一夜之间刷了23万购物，立刻被吓死。这说明23万对这个老公来说就是个无穷大的数，对于这个老婆来说是个有限的可以应付的数字，在这里我们排除她已经在购物狂热中神经错乱这种可能性。 当我把这个故事告诉一位富商时，他问:"这个老公是不是装死呀？ 23万怎么能吓死人呢？"。对于这位先生来说，23万不仅不是无穷大，而且是极为有限的小数。 最近很多人在辩论双11购物的买买买现象，这实在是物欲横流的一个实证。"物欲横流"到什么限度~是2000， 2万，还是23万，还是200万~就是一个无穷大的现实案例。买买买的无穷大这种现实后面是人们心中的无穷大的"缺失与乏亏"，所以说买买买体现的是穷病。 与此同时我们看到很多令人高山仰止的风流人物与名师大家，与物欲横流正相反，善欲横流，心中拥有一个善的无穷大。比如毛主席与周总理的艰苦朴素与为人民服务，邓稼先等一批科学家的是金钱如粪土，李嘉诚对香港的救市，周润发与比尔盖茨的裸捐，等等。这些人追求的是精神的无穷大，物质世界的无穷大是他们精神无穷大当中的一个有限小点点。与得穷病的人正相反，我们常常称他们为精神贵族，拥有富贵病的人。 以无穷大的眼光看，谁没病呢？那你我得的是什么病？穷病还是富病？ 在日常生活中我们说有些人胸怀大量，指的是他心胸有个无穷大；有的人心胸狭窄，一个巴掌对他来说就是个无穷大。拥有无穷大的人乐观积极向上，心中的无穷大概念，越小的人越悲观，狭窄，无所作为。 无穷大是个虚数，却可以测试一个人乃至人类的心胸与发展的实在工具。8小时前
2 赞终于在多年后的某一天在地铁上理解了无穷大的概念，依稀还记得小学有道数学题目就是考无穷大的，题目已记不清大致是说，无穷大+1是否比无穷大还大。 那个时候的自己选择了是，老师给出的解释说“数不清的无穷大不论加几都是无穷大”。年纪还小的我心中是“？？？”。 这就是受困于当年的认知局限，无穷大不是一个具体的数字，而是一种趋势。9小时前
2 赞无穷大不是一个具体的数，不是静态的，而是动态的，反应一种趋势。无论一个孩子肺活量多大气多长，总有说不动的时候，那么无论说出几个亿，那还是一个有限的数，而无穷大本身是动态的，说出来就开始无限增长了，显然是秒杀前一个孩子的。而且无穷大之间的比较，也不能再比较谁的具体数字更大，而是比较谁的增长速度更快。这两点都是和我之前的认知不同的，我一直认为无穷大就是一个非常大非常大的数字，虽然自己描述不了那个数字究竟有多大。显然之前的认识是错误的，很多时候还是要虚心一些，接纳新的知识，不断更新原有的认识。 我得到的一个认识是，我们养成的一个好习惯或者掌握了一个技能，如果一直坚持下去，那么这个好习惯或者是级能会不断优化，会带着我们不断成长，就如果一个无穷大的数字，会不断增长下去。我们的时间有限，要选择那个量级更高的技能或者好习惯，这样它能带给我们更为快速的成长。9小时前