你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
上一讲我们讲了无穷大，主要是从突破认知局限的角度来讲的。在接下来的三讲里，我们来讲讲无穷小。
你可能会奇怪，为什么无穷小要花三讲来介绍？它不就是零么？有什么好讲的。如果你把无穷小看成是一个数，确实没什么好讲的。但遗憾的是，无穷小并不是一个确定的数，更不是零，它和无穷大一样，是一种趋势，一种帮助我们把握“动态”和“变化”的工具，也是一种新的认知世界的方式。
一个人是小学数学水平，还是高等数学水平，不在于是否会做高等数学的练习题，而在于他在把握世界变化方面处在什么层次上，那么他是否掌握了无穷小这个概念，就是很好的检验标准。
因此，从概念的来龙去脉到数学家最后的应用，我有必要花3讲，来为你解释清楚。
世界上最初认认真真思考无穷小这个概念的，是公元前五世纪时古希腊的芝诺，后世虽然把芝诺说成是数学家，但其实他一生没有留下什么数学成果，因此对他的生平鲜有记载。
由于他是一个“杠精”，喜欢和人辩论，而且还提出了好几个自己搞不清楚，别人也解释不了的问题，因此被亚里士多德写进了书中，后人才知道有这个人存在。
我们不妨看看他的四个著名的悖论：
悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。
看了这个命题，你会马上说，这怎么不可能？别着急，我们先来看看芝诺的逻辑。
芝诺讲，要想从A到B，先要经过它们的中点，我假设是C点，而要想到达C点，则要经过A和C的中点，假设是D点……这样的中点有无穷多个，找不到最后一个。因此从A点出发的第一步其实都迈不出去。
悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。
我们知道阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿，但是芝诺讲如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，阿喀琉斯就永远追不上了。按照我们的常识，芝诺的讲法当然是错的。不过我们还是听听他的逻辑。
为了方便起见，我们简单地假设阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的10倍。如果乌龟先跑出10米。等阿喀琉斯追上了这10米，乌龟又跑出1米，等阿喀琉斯追上这1米，乌龟又跑出0.1米……总之阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却追不上。
这两个悖论其实本质上是一个。我们如果从常识出发，觉得芝诺的观点不值一驳。我们从天安门出发，一步就走过了芝诺所说的无数中点，阿喀琉斯一步迈得大一点，不就超越乌龟了吗？在这里我们的常识当然没有错。
但是，如果按照芝诺的逻辑来思考，他似乎也有道理，只是忽略了一些事实，因此要想驳倒他，让他心服口服，就不能绕过他的逻辑！在解释这个问题之前，我们再来看看他的另两个悖论。
悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。
在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。而时间则是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。
这个悖论，可能就比前两个难辩驳了。
悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。
如果有两匹马分别以相同的速度往两个方向远离我们而去，我们站在原地不动。在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。但是如果两匹马上有人，那么在彼此看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，彼此的距离应该是很多两倍的Δ相加。
那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0乘以任何数还是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？其实芝诺的错误就是把无穷小直接当做了0。
听了这些问题不知道你有何感觉。我想，除了当年庄子和惠子也讨论过类似的问题之外，绝大部分时候中国人讲究的是要学以致用，因此，在古代，士大夫们是不屑于理会芝诺的这种没有用的傻问题。
直到今天这种情况其实也没有太多的改变，我在大学时，一些老师还觉得这一类的问题是唯心主义的。但是正是这些问题，让古希腊文明和其它文明有所不同，而这种严守逻辑的思维方式，才让数学和自然科学成体系地发展。
当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。比如说，到底是地球围绕太阳转，还是太阳围绕地球转？在这件事上，我们的经验就错了。当然还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的这两个悖论就属于第二种。
在这种情况下，找到了所缺失的概念，或者分清了不该混淆的概念，数学或者科学就获得一次巨大的发展。我们前面讲的从毕达哥拉斯定理引出无理数的概念，也属于这一种。今天回答芝诺的问题其实很容易，因为有了无穷小的概念，以及微积分中关于导数的概念，这个缺失被补上了。
今天我们就用无穷小的概念回答芝诺的第1、2和第4个悖论，由于第一个和第二个悖论其实是一回事，我们只讨论第二个，也就是阿喀琉斯和乌龟赛跑的例子。至于第三个悖论，我们下一讲讲到导数的时候会回答。
话说在芝诺之后的上千年里，欧洲总有人不断地试图找出芝诺逻辑上的破绽，包括阿基米德和亚里士多德，但都没有给出好的回答。不过亚里士多德的思考还是道破了这几个悖论的本质，就是一方面距离是有限的，另一方面又可以把时间分成无穷多份，以至于有限和无限对应不上。
直到牛顿、莱布尼茨等人发明了微积分，发明了无穷小量和极限的概念，才作出了比较圆满的解释。
接下来，就让我们一层层抽丝剥茧，来解决这些悖论。
我们知道，在阿喀琉斯悖论中，芝诺其实把阿喀琉斯追赶的时间分成了无限份，每一份逐渐变小却又不等于零。比如我们假设阿喀琉斯一秒钟跑10米，那么芝诺所分的每一份时间就是1秒、0.1秒、0.01秒，等等。如果我们把它们加起来，就是之前讲的等比级数。
S=1+0.1+0.01+0.001+……
接下来的问题是，这样无限份的时间加起来是多少？假如每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，那么这样子的无限份加起来显然就是无限大，这是矛盾所在。但是，如果我们能够定义一个被称为“无穷小”的量，它满足这样两个条件，芝诺的悖论就能够解决了。
- 它不是零；
- 它的绝对值小于任何一个你能够给定的数。比如你说10^-100（10的负100次方就是10的100次方分之一）非常小，那么我这个无穷小比你说的还小，如果你说再来一个更小的数10^-10000，那么我这个无穷小依然比你的数字小。
具体到芝诺悖论的例子中，这两个条件如何理解呢？当我们把时间分为无穷多份之后，到后来，不仅每一份是一个无穷小量，而且无穷多个无穷小量加起来依然是无穷小。
那么怎么证明在上面的等比级数S中，无穷多个无穷小量加起来不会是无穷大呢？这在数学上有好几种方法可以证明，我们就不细讲了。在这里我们提示两个要点：
- 无穷多个无穷小量加在一起可以有三种情况，分别是一个有限的数，无穷大，或者是无穷小，我们在后面介绍无穷大和无穷小的比较时会详细讲。
- 在这个具体情况中，无限个无穷小量加起来是一个有限的数，这一点我们在后面讲到极限的概念时会说明，S这个级数的极限是10/9。
因此引入了无穷小的概念，就解决了阿喀琉斯悖论。可以讲，正是阿喀琉斯悖论帮助我们补上了数学上的一个缺失。
至于第四个相对运动悖论，其实说起来就更简单了。芝诺所说的Δ，其实就是无穷小，虽然它趋近于零，但是不等于零，因此Δ≠2Δ。
要点总结：
无穷小的本质是什么？它补上了关于数字在连续性方面的一个定义的缺失。我们随便画一个数轴，数轴上的每一个点都应该是连续的，当然数轴中间那个点是零。
如果我要问你，在数轴上紧挨着零的那个点等于多少呢？你就没法回答了，你如果说是10^-100，遇到一个抬杠的，会说10^-1000离0点更近，只要你能说一个，他都可以和你抬杠。
因此，我们定义一个新的概念，叫做无穷小，它无限接近零。从它的定义可以看出，无穷小不是一个具体的数，而是一个概念、一个趋势，就和无穷大一样。
当我们的头脑开始接受数的概念可以超出一个具体的数，而是一个趋势时，我们的思维就进步了，我们看待世界也不会一个点一个点地去看了，而是一个趋势一个趋势地去看。
举一个具体的例子，你可能听说过现代物理学上的弦论，它被认为是到目前为止最有可能统一相对论和量子力学的工具，相比今天建立在基本粒子上的物理学模型，弦论讲的就不是一个个具体的点，而是一个个趋势。
牛顿和莱布尼茨等人虽然通过无穷小和极限的概念，解决了芝诺悖论，但是他们当时对无穷小以及极限的定义还不准确，以至于受到了大哲学家贝克莱的挑战。这一点我们下一讲再讲。
欢迎你把课程分享到家长群，帮家长们重新理解数学背后的道理。
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35 赞我觉得如果我生活在芝诺的时代，听到芝诺提出这是个所谓的悖论，我虽然知道他在诡辩，但是也想不到如何去反驳。问题的关键就在于无穷小虽然无限接近零，但是你不能把他就索性当做零来看。无穷小和零有这本质上的区别，从有和无的角度来看，零代表无，而无穷小仍然是有。10小时前作者回复零代表无，而无穷小仍然是有。～～这个形容得好。9小时前
6 赞无穷小 继无穷大之后，又开始了无穷小的论述。把无穷大和无穷小放在同一个应用情景中，就是价格行情。无论股票的、股指期货的还是商品期货的，都是应用的情景。往无穷小说，日线后有小时线，小时线后有分钟线，期后还有秒级。1995年接了金马期货与中国华能的期货一亿多的纠纷案件，在庭上对单时，我要求我们这方一定要读出成交水单的秒后三位数，当时交易所水单成交，可以到1/100秒。这个也就是交易的有限的“无穷小”，不是真的无穷小。现在，成交大体上可以支持秒后7位数，所以，金融技术应用、自动化交易的很多，都是在极小单位时间内，抓取机会的。所以一旦出现对某方向不利的信息，单方向上的进场指令会突然变化，带来行情的巨幅波动。投机交易者在寻求无穷小趋势中，还有一个更大的阻力，就是网络流量和通道商的服务器。特殊事件发生后会有绩效概率的数据包暴涨，一旦某个终端发生回报阻塞，自动化交易会不断发包，最终几分钟内，整个的IT服务环境可能就崩溃了。当然这是极小概率事件，所以伺服不能没有热备。说回来，还是说套期保值业务与无穷小。目前，国内期货从业资格******教材中，根本忽略了套期的会计期间，如果敞口没有了会计期间，那么在实践中，要么发生指定敞口无穷大或者指定敞口无穷小的情况。芝诺对时间的无限切分，才会有他很奇葩的结论。而目前在期货的整个业界，基本上也是这种芝诺状态。 投机的交易，不论如何切分总有到达的极限，就是设备接口的物理极限，而套期保值业务不理会期间，无视会计期间的存在，那结果就是投机。一些金融“大V”搬进了巴塞尔3，用银行的风险控制框架做企业风险管理评估，是忘记了银行负债表与企业负债表是相反的还是失去了常识？ 无穷小在量化交易上，受限于物理量的极小值，所以不可能达到完全收益；无穷小构建了量化投机的时距极限，不可能实现无限小；无穷小给了套期保值业务首要是管理敞口的数学原理，不做敞口期间限制的，一定走向投机。7小时前作者回复谢谢分享！6小时前
49 赞#数学助教# - 无穷小量 【无穷多个无穷小量】 将无穷多个无穷小量加起来可以是： （1）无穷小量，例如 N 个 1/(2^N) 相加； （2）有限数，例如 N 个 1/N 相加； （3）无穷大，例如 2^N 个 1/N 相加； （上面三个例子，当 N 趋于无穷大的时候，就是对应的极限） 【无穷小量与误差控制】 计算机只能处理“可数”的东西（或者说是建立在有理数之上的）。 对于无理数（例如圆周率，根号2...)，计算机无法精确编码，只能用有限的精度，近似这个数字。 事实上，任何现实中的“测量”都是有误差的。 （这里的“测量”也可以指“寻求一个解”或者“探索一件事情的解决方案”） 我们可以尽量减小测量误差，但永远不可能消除误差；在降低误差同时，还需要付出额外的成本。 “精度”和“成本”，需要权衡。 对有的事情，例如一些生活琐事，并不需要太高的“精度”，用完美主义的态度犹如用西瓜换芝麻； 而有的事情，例如热爱的事业，只有做到“极致”，才能看到它带来的光芒。 # 如果说“无穷大”是竭尽所能去探索无限的可能性，那么“无穷小”就是拼尽全力以任意“精度”接近一个目标。18小时前
35 赞#数学助教# #为什么要用三节课来讲「无穷小」＃ 看到课表，无穷大有一讲内容，无穷小却花了三讲时间，这在全部课程的50讲当中都是一个很重的分量，看起来无穷大和无穷小就是一个对等的概念，讲完一个另一个也就不难了吧，因此我也很好奇，一直在思考：吴军老师为什么要花这么大的篇幅，去讲一个看似和无穷大对等的概念「无穷小」。以下是我的思考： 其实，对无穷大和无穷小，在理解的难度上是不对等的。经过前一讲，大家对无穷大有了更深刻的理解，它表示一个无限变大的趋势，虽然对于无穷大的理解上也有一些门槛儿，但是它基本上还算是能够想象的。因为通常我们日常生活中说的无穷、无边、无限、无际，其实都指的是「大 」。但是到了「小」，还说它是无穷，就难以理解了，因为它不是没有边界啊，大不了就是0呗，还能更小么？理解无穷大时，反正我们也看不到增大的终点，那就让它一直增大、没有终点吧！而无穷小的终点就在那里，就是0啊，我们看得见、摸得着，怎么就到不了呢？这就给我们理解无穷小带来了很大的障碍。我猜，这也是为什么吴军老师花这么多课时引导我们一点点接近对无穷小的正确理解。 无穷小，它也是一种趋势，它无限趋近于零，但就是不等于零，你让它怎么接近于零都没问题，但就是到不了0那个点，就如同在一条数轴上，把0那一个点挖走了，所有的数字都可以走到无限接近于0的位置，但就是到不了0的位置。 能理解到这一点就足够了，后面两讲，吴军老师会做出更形象和详细的展开。如果你有任何疑问，欢迎你在留言区与我和其他助教一起讨论。18小时前
27 赞人因想像而伟大，跳脱具体看趋势。 回顾大学前对数学的认识，『无穷大』的概念早在国小就有稍微提过，而『无穷小』反倒是到了高中二年级后，运用到微积分才涉猎的范围。因此我们大多无法将无穷小的定义说明清楚，在计算时往往也直接当作“0”来假想。吴军老师透过芝诺的几个悖论，让我重新思考无穷小的动态和变化，虽然芝诺像杠精一样，但他的问题影响了两千多年到现在我们仍用专栏来学习。 谈谈我对无穷小的发想：在医院常常会经历许多病人的最后一程，如果把“0”想像成一个人的死亡，那么许多末期患者的状态就是无穷小。能以一种动态趋势来理解，现代医疗的『进步』，即便一人心肺功能都非常差，仍可用ECMO体外循环机来维生。虽然大家都希望奇迹发生、病况好转甚至等到捐赠的器官，然而多数时候只是维持在无穷小。医疗上的死亡判定有严格的规范，一旦积极抢救on上各种管路，何时撤下都是人伦煎熬。无穷小的过程是如此扎心，因此现代人大多预立医疗决策，台湾在今年一月也施行《病人自主权利法》，这是医疗制度完善的福音。 从原始丛林的“数数不过3”，到现在能抽象来看无穷的概念；文明，总是在思想的危机中迸发生机。18小时前
20 赞#一架发疯的钢琴——贝克莱小传# 我们在读书时受到进步主义教育的影响，认为宗教对于数学科学的诘难往往都是无知而浅薄的，但是今天吴军老师所讲的贝克莱是一个例外：他15岁时就成为都柏林大学三一学院的津贴生，不到二十岁时写作的第一篇论文恰恰是数学论文，字里行间充斥着对洛克，牛顿等数理哲人的仰慕，而他四十岁左右就前往北美殖民地，身为大主教的他着手建设了和他同名的学院——伯克利（Berkeley ）大学。除了在学问，行政，教育方面颇有建树之外，他还是一名经济学家，他的主要观点是劳动创造价值，在货币，信贷，银行，贸易等方面提出过诸多基本性的经济学问题，可以说除去他的形而上学背景，他就是一名知行合一的学者。 事情回到他四十岁左右的时候，贝克莱的好朋友加思博士临死前竟然拒绝基督教的祈祷，理由是他的好朋友哈雷博士让他认为基督教的教义不过是“哄人的”，“难以捉摸的”，贝克莱盛怒之下向颐指气使的理性发起了回击，洋洋洒洒的写下了104页的战书，全名叫《分析学家：一篇致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象，原则，及论断是否比宗教的教旨有更清晰的陈述和更明显的推理》（以下简称分析学家）。虽然没有指名道姓，但是显然这是针对哈雷博士的——后来他的名字命名了一颗著名的彗星。 他首先完整的引述了牛顿关于流量，流数，增量等等概念的定义，之后论述道：关于无穷小量，我们不能理解成有限分子，有限分子不是无穷小量，而是它所代表的趋势，比如矩形的两边为A，B，而他们的增量分别为a，b，那么新矩形的面积就是AB+aB+Ab+ab,增量就是aB+AB+ab.，通过流数法求得的增量又是aB+AB(后世称之为微分)，这样就有了误差ab，但是a，b都是一个量，牛顿却说他们足够小从而略去了。实际上牛顿的这个论证的确借助于几何直观而且缺乏可预测性，以至于后世的马克思都看不下去了，评论这里时说道：“牛顿求流数的时候是在用魔术变掉、用暴力******掉那些不需要的，挡路的项”，因此“在数学上正确的结论，不一定基于一个正确的假设。” 而对于牛顿取得的成果贝克莱则是持宽容态度，但是他还是怀疑的说道“你如何证明你的逻辑与方法？如果要证明一个命题，先设定一个论点，据此，其他论点即可获得，这个设定的论点自身随后被一个矛盾的假设所否定而消失，在这种情况下，，所有其他导出的论点也应该随之否定而消失，论证中再不使用。”“这些增量是什么？他们既不是有限量，可也不是虚无，难道他们是已死量的幽灵吗？” 这场超越数学界的争执迟迟不得其解，，直至柯西写出《分析教程》后才得以解决，而我们从中又能看出，如果科学研究中一味拓展新方法而忽视了外界的批评与自身的逻辑严整性的话就会陷入理论危机。虽然贝克莱在数学，哲学上的诘问十分有力，被同时代的人称为“发疯的钢琴”，可没有他这样的刺头，科学又能往前走多远呢？ 让我们为真正的批评者致以敬意。18小时前
16 赞#数学助教# 拓展阅读：第二次数学危机的解决与实数理论 第二次数学危机伴随着微积分严格数学基础的建立得到了解决，这个过程从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，这也为数学分析奠定了一个严格的基础。 波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义； 柯西认识到函数不一定要有解析表达式，他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分; 阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和; 狄里克莱给出了函数的现代定义； 在上述数学基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限定义、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。 <来自维基百科>18小时前
13 赞按照老师的讲解，无穷小这个概念中有两个关键的点，即不等于零，以及永远可以更小，小到一大堆加在一起仍然非常小。 在我看来，“不等于零”这一特征意义非凡。零在数学中是一个极为特殊的数，它不能作为分母，而且任何一个数乘上它都还等于零，它就像是数字中的“黑洞”一样，很多事情扯上它就会变得很麻烦。芝诺的第四条悖论就是用到了这一点，让Δ和2Δ相等，让我们走到了思维的死胡同中。 发明无穷小的概念，制造一个永远可以更小的量，却又恰好躲开那个“最麻烦”的零，不仅帮助人们解决了芝诺悖论，也为后来微积分的发明铺平了道路。“无穷小”就如同之前讲过的负数、虚数一样，最开始发明出来只是为了解决眼前的难题，但作为一种工具，以及认知的拓展，它真正的影响早已远远地“溢出”了它本来的用处。17小时前
10 赞#一起学数学 DAY15# 无限的总和，未必是无限。 芝诺是杠精，时代也需要杠精。越是讨论理所当然的问题，越有可能获得全新的发现。 现在听老师一讲就知道的******，在历史里经过了几千年。 在芝诺所处的时代往后的几千年中，欧洲总有人不断地试图找出芝诺逻辑上的破绽，破解芝诺的悖论。 终于亚里士多德出现了，他认为，芝诺悖论的矛盾之处在于我们用有限的时间去对应无限个点（距离）了，如果我们把时间也能分成无限份，不就可以对应上了吗？ 但是，亚里士多德的解释又带来了新问题，如果时间分成了无限份，它们还是有限的时间么？ 这个问题两千年来欧洲人一直没有解释得很清楚。直到牛顿发明了微积分，有了无穷小和极限的概念，才作出了圆满的解释，也就是无限分割后的时间或者空间的总和可以是有限的。 当然，牛顿的微积分还不是一个极其完善的公理系统，又过了100年，法国伟大的数学家柯西才彻底完善了微积分。 可以讲，苹果并没有砸到牛顿头上，导致万有引力定律的出现，但是无穷小的概念则直接导致了微积分的产生。18小时前
9 赞飞矢不动”悖论： 这个悖论模糊了一个概念——“瞬间”。瞬间到底应该是一个极短但却有长度的“时间段” 就像线段是一个没有长度——就像点的“时刻” 一支箭飞行的过程是一大段有长度的时间段，所以它就算被分割的再细，其组成部分也应该是一段一段极小的时间段，而不是像点一样的“时刻”。时间段是运动发生的必要条件，每一场运动都必定发生在一段时间中（不管它有多短）。但在某一时刻中却不能谈运动，而只能谈位置。 芝诺正是用“时刻”偷换了“瞬间”。 期待明天吴军老师的解说～18小时前
6 赞想起人生中第一次接触到“无穷小”这个概念。 关于阿喀琉斯悖论，有一个更容易小学生理解的变形叫“龟兔赛跑悖论”，把阿喀琉斯换成了兔子，内容一样：只要乌龟先跑出去一段路程，兔子就永远追不上了。 这个问题在小学的一本杂志上看到，那个年纪，自然理解不了微积分。杂志上给的解释很有趣，说是无穷小在物理上是无法无限分割的，因为兔子和乌龟都有可测量的步副，用此兔子每迈一步，兔子就更接近乌龟一分。 这个解释很小学生，很适合跟小朋友讲。9小时前
6 赞无限接近，但是永远也到不了，这让我想起来另一个有趣的物理概念：绝对零度（absolute zero）。它是热力学的理论最低温度，也就是理论上的下限值。绝对零度就是开尔文温度标定义的零点。 0K约等于摄氏温标零下273.15摄氏度，也就是0开氏度，在此温度下，物体分子没有动能和势能，动势能为0，故此时物体内能为0。绝对零度是不可能达到的最低温度，自然界的温度只能无限逼近。如果到达，那么一切事物都将达到运动的最低形式。因为任何空间必然存有能量和热量，也不断进行相互转换而不消失。所以绝对零度是不存在的，除非该空间自始即无任何能量热量。 再次感慨，所有的数学概念都有物理现象与其对应，包括之前讲的虚数，也许对应的就是暗物质和暗能量吧，如果还没发现对应现象，那就是我们人类的观察和研究还没到位而已，数学超越现实，而给现实研究提供了一种趋势性的指引，这就是数学的魅力所在。12小时前
5 赞和无穷大相类似，无穷小也不是一个在现实世界中存在的数，它无限接近零，但却不等于零，它代表的也是一种动态的、变化的趋势。17世纪，无穷小量随着近代力学的发展登上了历史舞台；然而，无穷小却以其无限的神秘给数学界带来几百年的激烈争论。终于在19世纪，数学家柯西通过把微积分建立在极限的基础上，将极限概念作为微积分的理论基础；而正如极限对于微积分，无穷小在极限中也扮演着同等重要的作用，这是因为所有关于极限的讨论都可以归结为无穷小。对于今天我们大多数人而言，理解了无穷小，也就是认识到人类世界极限的存在；不仅仅是物理界的自然规律存在极限，我们个人的认知能力也同样存在极限。只有了解了极限存在的意义，我们在探索未知世界的时候，在面对人生难题的时候，才能对无常的命运多一份敬畏之心。这既是个人的认知水平，也是人生境界的一种提升。18小时前
2 赞#数学助教# 无穷小不是一个确定的数值，不能直接使用确定数值才适用的规则，芝诺的悖论4问题就出在这里。 如何理解不确定？一方面，不同的无穷小可以比大小（趋近于0的速度不一样）。另一方面，在不同的场合，可以使用不同的东西以到达无穷小的目的。 还是计算机的例子。 C语言（C++以及一些C基础的），打开关于浮点数的定义文件，会发现3个常量，FLT_EPSILON DBL_EPSILON LDBL_EPSILON，分别代表float(32位), double(64位), long double(不同平台定义不同，位数>=64)3种不同精度里的epsilon，也就是相应的无穷小。学过微积分的，应该见过不少ε-δ形式的定义。就以float型为例，FLT_EPSILON是满足 1.0+FLT_EPSILON > 1.0的最小数字。这个数字具体来说，是2^-23=1.192092896e–07。DBL_EPSILON = 2^-53 = 2.2204460492503131e–016。 应用中，需要根据实际情况选择合适的数据类型以及相应的无穷小。关于计算机的精度导致的舍入误差，可以参考08讲的#0.1+0.2=?#9小时前
1 赞无穷小不是一个具体的数，而是一个概念、无限个无穷小量加起来是一个有限的数，一个趋势，就和无穷大一样。 上述作者通过二节课讲了无穷小与无穷大的概念，使我数学差，悟性差的人也感觉感受到了一些认知上的提升，或者说容易懂。 希望作者以很容易懂的方式教悟性差的人。 这样我购买付的钱也更有价值，谢谢。10小时前
1 赞芝诺的悖论其实快要触碰到求导的本质了，如果他是从数学层面而不是哲学层面进一步往前推导的话，也许人类的历史进程就要改写了。 理解无穷小是走进微积分的敲门砖，大学时总是好奇，为什么牛顿和莱布尼茨能想出那么多奇怪的求导公式。后来自己坐下来好好研究之后，才发现原来所有的求导公式都是通过无穷小这个概念推导而来的。 理解无穷小之后， 第二个要攻克的难关就是和无穷小配套的ε δ语言，通过它，我们才能比较好的定义函数的连续性。 这两个概念可以说是高等数学学习的拦路虎，而且在入门初期就成双成对的讨伐新人，拳打脚踢。 等抗击打能力稍稍变强之后，好玩的事情发生了，无穷小让Σ变成了∫，Δx变成了dx，积分登场，而且花样百出，dx带着dy，dz等一家人，继续把半新不旧的学生按在地板上一通羞辱。 趋向于0和趋向于∞这些两个概念构筑起了微积分，并拉着其他学科领域一同走出古典，得以继续发展。 这其中很多是和我们生活息息相关的。 作为上位学科的数学，它的征途往往能直接影响人类文明的发展水平。可以看做是度量文明的标尺之一。10小时前
0 赞吴军老师好 和芝诺悖论、阿喀琉斯悖论一样，中国也曾经出现，庄子里曾有惠施说：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”要解决这些“思维严谨的悖论”，必须要借助一些新的概念、工具，之于前面所说的工具就是“无穷小” 无穷小真是一个神奇的概念，在计算极限时，在加项里可以视作零，但它也可以出现在分母里，这个无穷小和那个无穷小未必相等，他们的比值可能是某个常数或是无穷大、无穷小。 无穷小不是一个具体的数，而是一个趋势，只有定义好了这些概念，才能彻底解决上面所说的悖论。6小时前
0 赞吴军老师，人生活在现实世界，接触的都是有限事物，对于一些逻辑根本就没有仔细的思考。对于芝诺的悖论需要在现实世界中增加几个维度，这个维度就是时间和空间的维度，只有拥有了更高的思考维度，才能真正的理解芝诺悖论的意义。在现实世界中人只对于真实发生的过程有经验，就好比一个人射出去一支箭，在一瞬间箭就可以射中靶心，在人的脑海里就形成了箭飞行的速度非常的快。但是在芝诺的眼里，箭是在空间和时间内飞行的，在相对时间和相对的空间中，这个箭其实就是一个静止的状态，只不过人在当时还无法理解时间和空间的概念，根本就无法想象怎样通过更高的维度来分割时间和空间。如果人用了更高维度的思维，就可以明白无穷小和零是有区别的，无穷小是对于事物趋势发展方向，可以通过不断的分割时间和空间，让人了解这个世界的本质。其实想要理解时间和空间的分割，过去的胶片摄影机就可以给我们很好的提示。过去的胶片摄影机每秒播放24格画面，在我们看来影片就是连续的。如果把胶片一格一格的看就会发现，在这一格的时间和空间就是静止的。只不过我们在逻辑上无法和胶片一样的分割，但是可以通过胶片上的一格一格的画面来理解时间和空间，如果这一格胶片是不是也可以分成24份，24分之一再分24份，如果可以理解这些就可以理解无穷是一个趋势，和零根本就不是一个维度的事情。7小时前
0 赞我之前有个误区，就是认为无穷小就是数值上的变小的趋势，甚至把负的无穷大-∞当作无穷小。其实它描述的是无限接近的趋势，这个接近程度是“小的”，不是数值本身。这个概念与无穷大不是完全对称的概念，但都是描述趋势的工具，可谓异曲同工。8小时前
0 赞无穷小无限接近零，但仍旧不是0，通过三个悖论，我又发现了思考的乐趣，他实际上是提出了一种问题，你在解决这个问题过程当中，反倒能扩展了知识的边界，加深你对问题思考的深度。 反感我数学成绩最好的时候是初中的时候，那时候曾经质疑“勾股定律”，为什么它是正确的，它是怎么来的？甚至曾经相当神情恍惚。我想可能更是这份深究才让我喜欢数学和轻易地考取高分。后来高中，似乎丢失了这种精神，慢慢陷入平庸了。9小时前