你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲知道了芝诺提出的飞箭是静止的这个悖论，这和我们的常识是相违背的。这一讲，我们说说这些一千多年前的悖论是如何得到解释，以及它们的现实影响。
利用无穷小这个概念，牛顿发明了“流数”的概念，用于研究函数的变化，从而找出物体运动瞬间的变化规律。
在牛顿之前，物理学家们对很多物理概念其实搞不清楚，比如大家会混淆质量和重量，速度和加速度，动量和动能这些物理概念。牛顿第一次清晰地定义了这些物理量，其中一个重要的物理量就是速度。
我们今天知道，如果你2小时走了10公里，速度V就是每小时5公里，更确切地讲，就是位移的距离ΔS=10公里除以完成这段位移的时间Δt2小时，即V=ΔS/Δt。这其实说的是平均速度。如果你按照这个平均速度从北京的颐和园走到香山公园，其实每分每秒的速度都是变化的。
如果我们想知道某一时刻特定的速度怎么办呢？牛顿说，当间隔的时间Δt趋近于零的时候，算出来的速度就是那一瞬间的速度。
在图中，横轴代表时间变化，纵轴代表距离变化。从t0这个点出发，经过Δt的时间，走了ΔS的距离，因此在那个点的速度大约是ΔS/Δt。这个比值，就是图中那个红色三角形斜边的斜率。
对比左图和右图，你会发现如果Δt减少，ΔS也会缩短，但是ΔS/Δt的比值就更接近t0那一瞬间的速度。极限的情况则是Δt趋近于零，那么时间-距离曲线在t0点切线的斜率就是t0的瞬间速度。由此，牛顿给出了一个结论，时间-距离曲线在各个点切线的斜率，就是各个点的瞬间速度。
瞬间速度其实反映了在某个点距离的变化率。至于为什么我们想了解瞬间速度，因为在很多应用中我们只关心瞬间速度，而不是平均速度。比如我们关心子弹出膛的速度，命中目标的速度，汽车在出交通事故一瞬间的速度，等等，它们都是瞬间速度。
有了瞬间速度的概念，我们就很好解释芝诺的第三个悖论，即飞箭是静止的这一悖论。芝诺其实混淆了两个概念，即瞬间位移量和瞬间速度的差别。芝诺注意到了当间隔时间Δt趋近于零的时候，箭头飞行的距离ΔS也趋近于零。但是，它们的比值，也就是速度，并不是零。就如同我们在图中画的，曲线的斜率并不是零。
牛顿把上面这种数学方法推广到任意一个曲线。他将一个曲线在某一个点的变化率，定义成一个新的数学概念，这就是前面我们讲到的流数。今天我们在数学上称之为导数，因此以后我们就不再用“流数”这个名词了。导数是微积分的基础。
导数这个概念的提出，把很多物理量之间的数学关系建立起来了。比如速度是位移曲线的导数，而另一个物理量加速度则又是速度的导数。类似的，动量就是动能的导数。此外，在经济学上，经济增长率，就是GDP的导数，而增长率增速，又是增长率的导数。
今天在我们的生活中，导数或者说瞬间变化率，其实用得特别多，只是大家对这个名称未必很熟罢了。导数概念的提出，使得人类能够从掌握平均规律，进入到掌握瞬间规律。可以讲，没有导数的分析方法，人类只能体会变化，但体会不出加速变化。
遗憾的是，虽然牛顿对于速度的定义在物理上很容易理解，并且被大家接受，但是在数学上却有一个小缺陷，就是对这个无穷小概念解释得不够清晰。具体讲，就是到底Δt能不能等于零？
对此，牛顿以及微积分的另一个发明人莱布尼茨都有点含糊其辞。虽然说那个年代人的数学水平没有今天高，绝大部分人看不出问题，但是有一个讲究逻辑的学者却向牛顿提出了质疑。这个人叫贝克莱。
贝克莱这个名字对熟悉哲学的人来讲是如雷贯耳，对非哲学专业的人来讲也未必陌生，因为他在中国哲学课中是“臭名昭著”的唯心主义哲学家的代表人物，他的一句名言是“存在就是被感知”，在我们的课程中被批评和嘲笑。当我在国内学习微积分和科学史时，贝克莱就成了一个被嘲笑的对象，被笑话为不懂微积分，孤立静止地看待世界。
然而，在西方世界，贝克莱是很受尊敬的，他被认为是一位了不起的哲学家和学者，和约翰·洛克、大卫·休谟一同，被誉为经验主义哲学的三大代表人物。今天著名的加州大学伯克利分校里面“伯克利”三个字，其实就是贝克莱的名字。
贝克莱讲“存在就是被感知”，可不是拍脑袋想出来的，而是做了科学研究的。这里面的细节我们就不多讲了，总之，贝克莱研究了人们如何在两个维度的视网膜上感知和觉察到有深处的第三维度图像，他的结论和今天生理学所给出的结论基本一致。
贝克莱挑战牛顿，主要是两人的宗教观不同。贝克莱是一位天主教的大主教，而牛顿在骨子里有自然神论的倾向。恰好贝克莱对运动学也有不少研究，也非常讲究逻辑，他找到了牛顿的一个小漏洞，于是就挑战牛顿说，你说的无穷小的时间Δt到底是不是零啊？如果是零，它不能做分母，如果不是零，你的公式给出的还是一个平均速度，而不是瞬间速度。
对于贝克莱的质疑，牛顿也不知道怎么回答，因为在那个年代，无论是他还是莱布尼茨，虽然用到了无穷小，但是也没有能对它进行准确的定义。你如果问牛顿什么是无穷小，牛顿可能会说，就是非常非常小，可以忽略不计。
我们上一讲给出的无穷小的那种描述，其实是一百多年后柯西和魏尔斯特拉斯给出的。贝克莱提出的问题看似很小，却引发了第二次数学危机，第一次是前面讲到的发现无理数造成的危机，危机的根据就在于牛顿那个时代的人在逻辑上讲不清楚无穷小是什么。
讲到这里，可能有人会想，这件事情这么重要么？是的！接下来我们就来分析一下这件事。我们要从两个角度来看这件事，第一是从数学逻辑的重要***来看，第二是从具体的无穷小这个概念本身来看。
我们先从第一个角度来说明，那些抽象的话我们就不多说了，我们来看一个实际的例子，伽利略发现物体落地时间和重量无关的例子。
伽利略是在牛顿之前最伟大的物理学家。我们今天知道他，主要不是了解他对物理学的贡献，而是比萨斜塔铁球实验的故事。他通过扔下两个铁球，发现它们同时落地，否定了亚里士多德过去的“重物要比轻的物体先落地”的论断。
这个实验是否是他的学生虚构的，今天有争议。实际上，伽利略质疑亚里士多德的结论还真不是从做实验开始的，他是从简单的数学逻辑中找出了亚里士多德结论中的矛盾之处。
伽利略的逻辑很有意思，既然亚里士多德说了重的物体比轻的物体能更快地落地，那么将10磅和1磅的两个球绑在一起，它们是比10磅的球更快落地还是更慢呢？
如果你认为它们是两个球，一个快一个慢，一磅的要拖10磅的后腿，那么它们就要比单独一个10磅的球落地慢。但是，如果你认为它们是一个整体，一共11磅，就要更快。
这就在逻辑上产生了矛盾。这个矛盾就推翻了亚里士多德的结论。这一类的例子我们在《科技史纲60讲》中举了很多，有兴趣的同学可以复习一下那门课。这些例子都说明，数学千万不能有逻辑错误，否则不仅是数学，很多人类的知识体系都会出问题。
接下来我们从第二个角度，专门看看无穷小这个概念为什么如此重要呢？我们来梳理这里面的逻辑。
我们前面讲了微积分的意义是，让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把握瞬间动态变化和加速变化，这是人类认知的一大飞跃。有了它，近代的物理学和天文学，以及后来的古典经济学，才得以建立。
但是，微积分是以导数为基础的，而无穷小又是导数的逻辑前提和基础。如果无穷小这个基础本身出问题，在上面建立起来的所有大厦都可能被推翻。因为，贝克莱提出的无穷小悖论，是一次实实在在的数学危机。
解决第二次数学危机的，并不是牛顿、莱布尼茨等人。事实上，某个时代发现的危机，同时代的人常常是想不清楚的，需要后面的人发展新理论来解决。
是19世纪的一大批数学家解决了这个问题，他们的名字我就不列举了，因为比较多。这里面特别要提一下的是法国伟大的科学家柯西和德国的魏尔斯特拉斯。关于他们的工作，我们下一讲再讲。
这里我们简单地说一下他们二人在思维方式上比牛顿进步的地方，那就是他们把无穷小这个“概念”从过去人们理解的小得不能再小的数，看成了一个动态变化，往零这个点靠近的趋势。这其实是人类认知的一大飞跃。
要点总结：
我们今天讲了平均速度和瞬间速度的关系和区别。牛顿用（流数）导数来定义瞬间速度，其实是描述了一个曲线或者物理量变化的趋势和速率。人类在早期的时候，只能认识到平均速度等概念，只有当人类理解了导数这个概念后，才能搞清楚瞬间变化的规律，特别是加速变化的规律，这是人类历史上一次很大的认知升级。
牛顿在计算瞬间变化时，引入了无穷小这个概念，但是当时的人对它的确切含义想得不是那么清楚。因此，贝克莱就提出了质疑，即无穷小悖论，导致了第二次数学危机。对于贝克莱以及之前芝诺这样爱较真，但讲理的人，不要觉得他们讨厌，他们对数学的完善是有贡献的。
数学不是实证科学，不能简单通过实验来证实，要在逻辑上非常完美，否则后果不堪设想。具体到第二次数学危机的解决，则是靠新时代的数学家的贡献。
用户留言
65 赞＃数学助教＃ ＃开课两周啦，看看数据＃ 吴军老师的数学通识50讲已经开课两周啦！大家学习的进度如何呢？看看下面的数字： 截止到今天早上08：00， 本课程的学员总数是 34527人； 学完01课 48440人，占总数 140.3%； 学完02课 46522人，占总数 134.7%； 学完03课 44775人，占总数 129.6%； 学完04课 37318人，占总数 108.1%； 学完05课 31667人，占总数 91.7%； 学完06课 26481人，占总数 76.7%； 学完07课 25117人，占总数 72.7%； 学完08课 23110人，占总数 66.9%； 学完09课 22129人，占总数 64.1%； 学完10课 19494人，占总数 56.5%； 学完11课 18998人，占总数 55.0%； 学完12课 14175人，占总数 41.1%； 学完13课 12677人，占总数 36.7%； 学完14课 10496人，占总数 30.4%； 学完15课 6458人，占总数 18.7%； 学完16课 2186人，占总数 6.3%； 看来，前四课来蹭课的人数不少，从第五课开始，基本上就是课程学员的数据了，5~11课大家完成得不错，完******数过半；完成14课的同学，你已经跑在了前30%，恭喜完成16课的同学，你已经跑在了前10%。还在半路的同学，要加油鸭，数学是一个成体系的学科，越往后学越有渐入佳境的感觉，千万不要在半路停下而错过数学之美~ 周末别睡了，起来学数学呀！11小时前
58 赞#数学助教# - 导数与边际 【延伸阅读】 《万维纲 - 精英日课第三季》 -“期权的智慧3：纳西姆塔勒布与魔法石” -“外推谬误” 《薛兆丰的经济学课》 -“第030讲 | 边际革命” 【外推谬误】 有人观察到某种趋势，就沿着这个趋势画了一条延长线，认为这个趋势会一直持续下去。 然而，事情往往不是按照 *固定的速度* 直线发展的——真实世界是“非线***”的。 这就是简单外推谬误。 总是说“照这种趋势下去……”的人，只看到了“速度”，没看到“加速度”。 变是正常的，不变是奇迹。 【导数与边际效益】 效益曲线的导数，就是边际效益。 边际效益通常是递减的。 例如品尝甜点。第一个“哇好好吃好幸福”；第二个“emmm还可以”，……，总存在一个n，让你在吃下第n个甜点的时候说出“不要了不太腻了”。 减肥也是如此，身体一旦感受到系统平衡被打破，就会启动调节机制，例如降低新陈代谢，节省能量消耗。 那么有边际效益递增的时候吗？ 有，例如学习一项技能。 刚开始技能提升缓慢，经济效益甚至为负；但是一旦达到一定的水准，不仅技能提升的速度变快，这个技能本身也会给你带来更多收益。 不过，即使存在边际效益递增的阶段，但是拉长时间轴，最后的边际效益总会递减。 【边际平衡】 -“说！我和游戏，你更爱谁？” -“从边际的意义上讲，你和游戏，我一样爱” -“？？？！！！” -“我很爱你，但是跟你在一起的时间长了，体会到的快乐就会逐渐减少。总会有一个时刻，你带给我的快乐会减少到 *和一把游戏带来的快乐一样多*，再过一秒，我打游戏带来的快乐会多过你带给我的快乐。所以……“ # 上面对话是我瞎编的，男士们请谨慎使用啊20小时前
#数学助教# 我上数学课的时候，对书中的公式、推导和证明特别讨厌。无穷小为什么要这么定义？不就是导数嘛，干嘛非要整的那么复杂，用什么 语言（读作epsilon-delta）。 后来我到图书馆翻开了一本数学史，我才第一次感觉到书中的那些公式、定理开始有了颜色，变得鲜活、变得重要。学习数学当然可以不学数学史，但是在一些重要概念上，了解它们背后的历史 对你理解这些数学概念会有非常大的帮助。 书里每一个定义、每一个章节，在历史上都有着一段故事。教科书里一个不起眼的证明背后，可能是那个时代的一位天才数学家持续数年全力以赴思考的结晶。 今天讲的贝克莱悖论，在一百年后就引出了魏尔斯特拉斯对无穷小的精彩定义。当你在阅读教材的同时回望历史，17世纪自然哲学家们的思想交锋在你脑海里重现。你低头看着写满符号的高数课本，这哪里是课本，这分明是几个世纪以来这个世界上最聪明的头脑给你留下来的武功秘籍。到那时候，你应该不会像我从前那样，看到课本中的定义就昏昏欲睡了。20小时前
27 赞贝克莱的经历告诉我们，被嘲笑，被误解并没有什么关系，只要不是无理取闹，而是有逻辑，有求真的精神，就应该坚持自己，坚信自己 同时，再次感受到固执甚至偏执，与天才之间的界限真的很模糊，一念之间，可能我们就放过了追寻到真理的机会，也错过了天才 想明白以上两个点以后，在生活或者工作里再碰到，再遇到与自己意见不和，甚至与大部分人意见不和，观点不一致的时候，我们的头脑里，内心里可以再多一份淡定和耐心，愿意珍惜并听一听这样的不同声音，说不定一个好点子好方法就这样产生了 观点和意见相同，这是保持或退步 而观点和意见不同，才是好的进步19小时前
22 赞团体中需要乌鸦，数学的完善也需要。 顺着昨天的芝诺悖论，今天谈了贝克莱的无穷小悖论，他们喜欢较真，不怕破坏一团和气，也要点破概念上的缺失。团体当中，多数人也不喜欢乌鸦，因为大家容易把讨厌坏消息的情绪，移转到报消息的人，然而一旦没有提出诤言的乌鸦，组织容易行事苟且、虚与委蛇。提到报丧的乌鸦，就想硅谷来信的第341封信，谈的是《腐食者的作用》。 自然界的腐食者包含乌鸦和秃鹰，他们对腐臭味特别敏感，即便像是秃鹰这样的猛禽，也鲜少攻击健康的动物。他们依靠嗅觉当侦探，在广袤的生态中寻找“适当”的猎物，同时为环境去除腐质。对应到市场中的做空，也是投资大鳄在测试一企业的健康程度。同样概念也适用于职场，吴军老师也谈公司容易被腐食者盯上的五种人，包括：绩效末位、靠裙带关系、老而无用、可有可无和资浅平庸，一旦组织面临改组，首当其冲的是这些“类腐质”。 数学史上，那些“杠精”并非故意找碴，而是透过数学基石的逻辑，发现那个时代的认知局限，替数学的发展先踉跄一步。
17 赞争论的意义——有感于牛顿和贝克莱之争 有的人总听不得不同的声音， 不是掩耳不闻就是却只不急。 其实这并不仅仅是狭隘， 有时它关乎绝对的利益。 牛顿和贝克莱争论的， 表面上是数学上的概念。 但动摇的却是， 在哲学上两种观念的根基。 留心的人可能会发现， 在历史的绝大多数情况下， 论战的发生， 往往会催生革命。 焦点所在之处， 就是革命爆发的突破口。 如同十月怀胎经历的阵痛， 一切思想都要有过产道的经历。 从历史的维度来看， 百家争鸣的意义， 不在于谁拔得了头筹， 而在于对先进思想的淬炼。 只有剔除了杂质， 百炼成钢后， 思想才能闪耀出， 智慧的光辉。 一个个伟大人物渐渐远去， 留下是一条条定理和公式。 数学课本冰冷得没有温度， 只有被历史沉淀才有滋味。 为什么学数学总是提不起兴趣， 枯燥课程就是知识的简单堆砌。 百年经历散如云烟， 精彩争论一笔带过。 是谁给了他们舍本逐末的权利？ 科学的学习学的是思想的发展， 学的是大师们的所思所惑所为， 而不是简单的数学工具。 我们的孩子， 不能再接受填鸭式的教育， 知识在每个学生的头脑中， 必须要经历创造性的磨砺。 知道是什么， 更要知道从哪来。 知道怎么算， 更要知道如何用。 知识从来都不是， 用来束之高阁和睡大觉的。 知识的意义在于， 从思想的深处自然地流出。 我们庆幸， 生活在开放的当代。 我们庆幸， 正接受最好的教育。 历史要求我们， 将先进思想传承下去， 那么我们， 就要自信地直抒胸臆…… 启航 2019年11月17日晨15小时前
17 赞在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。 无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。 英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。 当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。 18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。20小时前
12 赞#数学助教# 如果在山上某处，想要在最短时间内到达山底，怎么走？还用问吗，往下走。 如果还有很大的雾，能看清的范围很小，怎么走？还是一样，在能看清的范围内，尽量往下走。 这个往下走，该怎么理解？ 实际的山是3维的，为了简化，降到2维。随手在纸上画一个“倒U”形的曲线当成山，假设山的顶峰点为a，对于 x < a的部分，随着x的增加，山的高度增加。山高的变化率，也就是导数或者说斜率，大于0。在这部分，想要往下走，那就需要往导数相反的方向走。 同理，另一部分(x>a)也一样。对于实际的3维的山(假设山高为z的正方向），思路也是一样，只不过由于维度增加，无法仅用对x的变化率来表示，需要同时对x 对y来考虑变化率，也就是偏导数。 再回到简化的模型里，往导数相反的方向走，也就是需要减导数，很直观的可以得到下面的： Xn = Xn-1 - α * dX 下一步，是在前一步的基础上，往“下”走一段距离。 其中的一段距离是多远合适？通过极端点的例子来想象，如果每次只往下走非常短，那么到达谷底的时间就会很长。如果每次往下走非常远，甚至一步就超过了到达谷底的距离，那么就会在谷底的两边来回震荡，实际到达谷底的时间也会很长，也有可能到不了。 把上面的稍微变化下，就是机器学习里常用的Gradient Descent（梯度下降）算法，简单实用。10小时前
12 赞#一起学数学 DAY16# 从此开始，人类对数学的探究，可以说上了一大大大个台阶。 从对一个事物的分析，变成可以求导，去看趋势的趋势的趋势。这种一层层的拆分，使我们对规律的理解又推进了一个层次。 最典型的就是速度，加速度，距离之间的关系。 对应到日常生活，受力、速度、工程分析，跟真实社会的串联又进了一层。20小时前
11 赞转https://baijiahao.baidu.com/s?id=1634213207777209899&wfr=spider&for=pc&isFailFlag=1 图片可以看链接里的，就分享到柯西和威尔斯特拉斯之前，因为明天吴军老师会继续讲～ 1665 年 5 月 20 日,这是数学史极具意义的一天，伟大的物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微分法），而到了 1666 年 5 月又提出了“反流数术”(积分法),这标志着微积分的创立。而后来莱布尼茨也独立地创立了微积分理论，牛顿、莱布尼茨的微积分理论在数学史上具有重大的意义。 牛顿提出微积分主要还是为了解决以下问题： 1、已知物体运动的“距离——时间”函数关系求任意时刻的速度和加速度。“任一时刻”的时间间距是0，那么他的位移量也必然是0，这就出现了v=0/0的困难2、求曲线的切线3、求函数的最大、最小值4、求曲线的长、曲线围出的面积、曲面围出的体积、物体的重心问题。 所以微积分主要存在这几个方面的内容，主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论；积分学包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 但是刚刚创立的微积分也存在着许多的缺陷，比如当时欧氏几何一统天下，牛顿也并没有摆脱欧氏的影响，微积分还处于依赖几何论证的基础上。 另外就是关于牛顿导数的定义并不太严密，比如说 x2 的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x 。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？牛顿后来也未能自圆其说。 而这漏洞偏偏被基督教大主教乔治·贝克莱给发现了。要知道，在文艺复兴的影响下,自然科学逐步从中世纪的神学桎梏中解脱出来，欧洲逐渐走向科学大繁荣时代，宗教神学走向衰弱。 基督教主教贝克莱一直心有不甘，想要反击，所以发现了微积分的漏洞之后，出自对科学的厌恶和对宗教的维护，他以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题特别特别长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》。没有看错，这就是完整的书籍标题，你要是能把这标题背下来，算你狠。 在这本书里，贝克莱就抓住了牛顿微积分的把“无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计”的漏洞进行攻击，借此想要复活上帝。贝克莱还把“微小增量”嘲讽的称之为“无穷小精灵”。 除了对无穷小量的批判，因为导数定义不严密问题，他在书中还大肆攻击流数（导数） “已死的幽灵……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”“用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。” 由此，引发了数学史上的又一次危机，这是神学对科学的一次激烈反扑，贝克莱的话也被称为“贝克莱悖论”。贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。 贝克莱的言论可以说在当时引起数学界一片混乱，贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。不仅差点推翻了微积分理论，甚至要颠覆整个现有的数学体系。 这主要是因为其数学分析的严密性问题一直没有得到解决，当时的数学家还依赖于几何论证，缺乏完备的实数理论，无论是数学分析还是代数都笼罩于欧氏几何的阴霾中。再加上当时受欧氏几何的束缚，本来就有许多数学家怀疑微积分的全部工作。比如和牛顿同时代的数学家罗尔就说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。甚至有数学家讽刺：“如果牛顿知道连续函数并不都是可导的，（如f(x)=|x|,在原点就不可导）那么微积分就不会诞生了”。 所以贝克莱的话一下就把这质疑的声浪给挑起来了。 牛顿在 1676 年写的论文《曲线的求积》和 1687 出版的物理学的圣经《自然哲学的数学原理》中，曾使用了“最初比与最终比”来解释这个悖论，力图避开实无限小量，并且试图重新解释无穷小增量单位“瞬”的概念重新说明，还使用了“最初比与最终比”来解释这个悖论，从实无限小量观点转向了极限观点。 牛顿提出的最初比与最终比方法相当于求函数自变量和因变量变化之比的极限，为后来的极限理念奠定了基础。 但是他并没有解决贝克莱悖论，甚至带来了更多的混乱。 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。而他的追随者使用“无穷小的非0量”以求过关。但追究起来，也无非是“文字花招”。 到了牛顿和莱布尼茨去世也并没有解决这个问题，从而引发无数数学家前赴后继来修补微积分这座大厦所出现的漏洞，这中间，耗费了整整 150 年的时间。 第一个对微积分开始修补工作的是麦克劳林，他是牛顿的铁粉，堪称牛顿粉丝团团长，曾蒙牛顿的栽培，作为 18 世纪英国最具有影响力的数学家，他的人生目标是继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。 他 1742 年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于柯西以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的麦克劳林级数展开式，并用待定系数法给予证明。不过因为当时还没有完备的实数理论，麦克劳林还是依赖于几何方法去修补，只是起到了对微积分的梳理作用，并没有真正解决微积分存在的漏洞。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是法国数学家达朗贝尔。他在1754年指出，必须用更可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。 这两个人的失败都是因为当时代数并没有从几何中独立出来，缺乏完备的实数理论系统作为支撑。 欧拉曾经写过《无穷分析引论》 这是他的划时代的代表作，是世界上第一部最系统的分析引论，也是第一部沟通微积分与初等数学的分析学著作。也是这本书，把微积分从几何中解放出来，而使它建立在算术和代数的基础上。这一步至少为基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路，比如定义正弦不再是线段长，而是纯代数定义。 但他坚决认为在求导数的运算中,其结果应该是0/0。他举例说,如果计算地球的数值,则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。但是在微积分的运算中,“几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。” 牛顿与欧拉关于导数运算上的跨世纪分歧，即使到如今依然没有一个满意的解释可以解决。欧拉认为导数的运算应该是一个确定的数值，但牛顿他们认为这应该是一个无穷小量，无限趋近0。19小时前
6 赞牛顿和莱布尼兹是公认的微积分的奠基者，他们定义了平均速度和瞬时速度的区别，将人类的认知水平又提升了一大步。不过，在微积分大范围应用的同时，关于微积分的基础问题也越来越严重。其中最关键问题就是无穷小的概念，由此也引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。无穷小究竟是不是零？其实两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量，1671年又说它是一个趋于零的变量，1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替；但是，牛顿自始至终也无法解决上述矛盾。莱布尼兹也曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但最终也是无法自圆其说。直到19世纪20年代，数学家们更关注于微积分的严格基础，从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，才从根本上解决了无穷小的矛盾，从而为数学大厦又增添了一块重要的基石。 虽然牛顿等人并没有最终解决无穷小的概念问题，但是他们的工作却成为后来者发展新理论的重要基础。第二次数学危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。从中，我们也能够看到，无论做任何事情，都不是将一切推倒重来，而是在前人的基础上开展工作，这就能大大加快科技进步的速度。可以说，这就是一种科学的做事方法，也能让我们持续获得可叠加的进步。20小时前
5 赞很多问题的解决或完善，都是从质疑开始。贝克莱质疑无穷小，伽利略质疑地心说，拉瓦锡质疑燃素说……9小时前
5 赞前面讲“无穷大”的概念，认知上从静态转化为看趋势，通过“导数”和“无穷小”的概念，又了解到瞬间变化的规律。数学的发展，也是我们看待世界认知升级的过程。19小时前
5 赞在大学数学时学习了“导数”，刚开始很难理解，不过掌握了“变化率或变化趋势”的时候，就豁然开朗，有种思维升级的感觉。 所以才有“速度、加速度、恒定变加速度、变加速度等”，帮助理解了更多物理、化学世界。还打通了曾经学习数学的很多疑问。 老师课程开篇的题目，其实就是一个有着“恒定角加速度”的题目，但因为转动变化和直线运动的区别，在理解上会增加一点难度。 有了“导数”这个趋势概念，其实就很好理解。结果是“越转越快”，不可能匀速转动下去。 这就是之前大家热议的“飞轮效应”，只要每天在一个核心能力上使用相同劲，飞轮会越转越快，核心能力会越发强大。 “无穷小”是个比“无穷大”更令人难以想象的概念，但它真实存在于世界和人类活动，离开它，数学就像缺了一根巨柱，会导致“逻辑严谨大厦”的坍塌。而一旦掌握它，就会指引人类通往更高的思维和技术进步。19小时前
4 赞五个为什么。 为什么距离会越来越远？因为有距离的导数－速度的存在！ 为什么速度会越来越快？因为有速度的导数－加速度的存在！ 为什么文明会不断进步？因为有文明的导数－思考者的存在！ 为什么思考者会不停地思考？因为有思考者的导数－“杠精”的存在！ 为什么很多人坚持终身学习？因为他们不只是为了追求知识，更是为了追寻人生导数！7小时前
4 赞机器学习里面也用到了微积分的内容，其实机器学习就是一个统计模型，只不过机器学习这个名字比较值钱。 更具体一点的说，统计模型也只是一个带有参数的假设函数。机器学习的过程就是调整参数对函数求解的过程。 关键的就来了，既然要不断地调整参数，那么一定会调整到某一个值，使得模型能够更好的拟合训练用的数据和真实的数据。 那么这个参数要怎么找到呢？原来这些可以改变的参数本身也可以形成一个函数，只要对这个函数求导，让他的导数为零，那么就可以得到一个最优的参数。机器学习说到底还是数学的游戏。10小时前
3 赞导数是个非常有用的工具，它能帮助我们认识并描绘动态过程中的具体瞬间。但是用归用，这种工具本身能够成立，需要“无穷小”这样的基础概念能够成立——或者应该说，是对这类概念的正确认知上。基础理论出了问题，工具也会受到挑战。 我曾经被一些人问过，工具能用不就好了？的确，在工具“通常”的用途下，是可以这么说；但问题在于，我们通常不仅仅是“用”工具，工具更会影响我们的认知。“手上拿着锤子，看什么都像钉子”，绝不仅仅是句比喻。同时基于这种认知，以及更广泛用途的客观需要，我们还会在工具的基础上，再去改造、衍生出新的工具来；而如果最初的工具就有问题，或者我们对工具的边界认知有错谬，那么工具的拓展，就有可能超出边界。 其实当代的数学领域，也还存在着这种“挖了坑还没填”的事情。去年阿蒂亚爵士声明，自己证明了黎曼猜想的时候，卓克老师的解读中就提到过，黎曼猜想被证实不要紧，被证伪却会产生巨大的问题，甚至导致新的数学危机。这其中的原因就在于，已经有超过一千条的数学推论，是建立在黎曼猜想的基础上，而这些推论，又支撑力密码技术的发展。6小时前
3 赞数学讲逻辑严密，工程讲结果精确。 数学的连续建立在无穷小以及无限细分的可能；物理中发现存在最小不可再分的粒子，即不确定性是物理的本质，因此在微观尺度也不存在连续性，而是跳跃性。 这是误差的本源，因此在工程角度只能活动近似解，满足规范的，在一定限制条件下的有效解即可。 不确定性是预测困难的原因。11小时前
3 赞微积分是以导数为基础的，而无穷小又是导数的逻辑前提和基础。 无穷小是一个趋势，是一个动态，不等于零，而是趋近于零-这就是认识的升级。 当导数不为零时，表征的是一个非线性曲线。可以用来描述经济，人际关系，投资产出。这些曲线局部来看可以是递增的，也可以是递减的，但最终还是递减的，整体表现为“倒S”曲线。11小时前
2 赞导数关注物理量的瞬时变化率，也把很多物理量之间的数学关系建立起来了。我们的关注点从宏观到微观，从结果到过程。 加速度是速度的导数，描述速度的变化率。类似的我们可以理解动量，它是动能的导数，那描述就是动能的变化率。既然能量是守恒的，能量不增不减，那么所谓变化就是转化。因此，动量就是动能转化为其他能量的速率。以前做物理题总遇到两物体相撞的问题，动量就能衡量这个撞击的猛烈程度。所谓“撞飞了”，就是瞬间有大量动能从一方到另一方的转化。11小时前