你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲讲到贝克莱对牛顿的挑战。看似不起眼的无穷小的概念，却引发了数学上第二次危机。 第二次数学危机，看似是围绕“无穷小”引发的争论，但从认识论上讲，是身处于渐变世界的人类，难以理解瞬间突变造成的。
要解决这个问题，单纯围绕“无穷小”争来争去是不行的，要在认识上有所提升，具体讲，就是要认识极限这个概念。
极限这个概念从字面上讲不难理解，因为我们会联想到生活中一个达不到的限度。但是这个理解是不精确的。比如我们知道，1/2+1/4+1/8+1/16…..是不断增加的，那么它能达到多少呢？事实上它的极限仅仅是1。
如果你拿尺子在纸上画一条1厘米的线段，在一半也就是0.5厘米的位置标一下，在后一个0.5厘米的一半，也就是0.75厘米的位置再标一下，重复这个取一半的动作，最后无论多么精细，这些刻度加起来，总不能达到1厘米，1厘米就是它的极限。
今天很多人想自学微积分，但是基本上看到极限那里就卡壳了，因为脑子没有换成“动态的数学脑子”，还是静态地看问题。
这也怪不得大家，因为伟大如牛顿、莱布尼茨，也不得不在极限这个概念上含糊其辞，由于他们给的概念都很绕口，你可能听起来觉得云山雾罩的，我就不读了，放进文稿里，供你查看。
牛顿认为极限是逐渐变小的量之间的最终比值。你如果回想一下我们上一讲所说的他对于速度的定义，其实就是时间和距离这两个逐渐变小的量之间的比值。牛顿认为，平均速度在时间间隔不断缩小后，极限就是瞬间速度。
莱布尼茨不是物理学家，他是数学家，更是哲学家和符号学家。因此他从纯逻辑的角度看待极限，他认为，如果任何一个连续变化都以一个极限为终结，那么在这个变化过程中的普遍规律，也适用于最终的极限。
那么我们到底应该怎么理解极限呢？我们回顾一个具体的例子，前面讲到的斐波那契数列前后两项之比，大家可以看到它趋近于黄金分割点，这个黄金分割点1.618……就是它的极限。
从这个图中大家可以看到两点：
首先，极限是客观存在，比如图中的点就是围绕着黄金分割点波动。这一点大家其实并不难理解。
其次，极限最大的特征是“无限逼近”，最后趋同。
上述这种对极限的认知，来自于柯西，最终被魏尔斯特拉斯用数学的语言描述清楚了。
柯西是19世纪法国数学界的集大成者，他在法国数学史上的地位，犹如牛顿在英国，高斯在德国，我们今天所学习的微积分，其实并不是牛顿和莱布尼茨所描述的微积分，而是经过柯西等人改造过的，严格得多的微积分。
相比牛顿，他放弃了微积分在物理学上直接的应用场景，完全是从数学本身出发来重新定义微积分中那些含混的概念，把微积分打造成像欧几里得几何那样公理化的系统。
这种更抽象的描述也意味着更准确、更普适。而且柯西和魏尔斯特拉斯比牛顿高明的地方在于，他们不是对概念进行静态的定义，而是进行了动态的描述。那么该如何去描述一个动态的概念呢？我们看看他们是怎么做到的。
极限是微积分里最重要的定义之一，对极限进行准确的定义要分两步。第一步是把概念搞清楚，没有二义性，这件事是柯西完成的。
第二步就是用数学的语言将它们表述出来，这就有点反人性了。因为虽然人类对自然语言有着天然的好感，而且我说什么你很容易直观地理解我的意思，但是在数学上这可能不够严密，以至于会导致很多悖论。
在微积分的定义上，将柯西那些直观的观念，变成严格符合逻辑的数学语言的人，是德国数学家魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯对微积分的贡献很大。我们这里只说说他是如何定义极限的。
我们先来看一个序列：
1，4/3，6/4，8/5，10/6……2N/（N+1）…….
如果当N足够大时，它的值是多少？你可能会说是2；也可能说它趋近于2，但是比2小一点点，这两种说法都对。当然，更准确的说法是，它的极限是2，因为它无限逼近2。
这就是柯西对极限给出的直观的定义。需要指出的是，柯西对极限的定义已经有了动态的概念，和牛顿、莱布尼茨他们说的“到头”不一样。
但是，魏尔斯特拉斯却说，柯西，你的定义，还不够精确。
柯西就说，那你能你上。
于是魏尔斯特拉斯给出了他的定义法。
首先，他肯定了极限是关于一个无限逼近的趋势的观点。但是在描述无限逼近的方法上，他采用了逆向思维。
那魏尔斯特拉斯的逆向思维是什么意思呢？我们常人的想法，就是这个序列，当N越大时，它和2的差距越小，但是小到什么程度，就不容易量化说清楚。魏尔斯特拉斯的逆向思维是这样的，他先这么问大家：
你们觉得误差多么小算是趋近了？大家可能就说了，总得小于一亿分之一吧。
魏尔斯特拉斯就说，这容易做到，只要N大于一亿之后，这个序列和2的差距，就小于你说的一亿分之一了。
这时，你可能说，且慢，一亿分之一的误差还是误差啊，在数学上它还是不等于2。
魏尔斯特拉斯就说，没关系，你再说一个更小的数，我还能做到。于是你说10^-100。魏尔斯特拉斯说，N大于10^100就可以了。总之，不管你说的数多么接近，他都能做到。这就是无限逼近。
上面这一段对话当然是我虚构的。魏尔斯特拉斯对极限的描述是这样的：
任意给一个小的数字，如果总能找到一个数字M，当N比M大之后，上面那个序列和2的差距小于。于是，我们就说上面那个序列的极限的是2。
有了对于一个数列极限的定义，魏尔斯特拉斯对函数的极限也作了类似的定义。比如我们看这样一个函数sin(x)/x，它的分子是一个正弦函数，分母就是变量自己。
这个函数，当x趋近于0时，它等于多少呢？
我们列一个表：
从表中可以看出x趋近于零的时候，这个函数值就趋近于1。
我们知道x是分母，不能等于0，不过没关系，我们可以让它趋近于零。
对于该函数在零附近的极限，魏尔斯特拉斯是这样定义的：
你只要给定一个很小的数字，我总能在0附近，设法找到一个范围，只要x落在这个范围内，算出来的函数的值和1的误差就比你给的要小。
从这个定义中我们可以看出，极限也是一个动态的，对趋势的定义，而且使用了逆向思维。
有了极限严格的定义，我们可以看出无穷小其实是一种特殊的极限，它也可以准确定义，我们这里就不再把它用数学的语言描述了，大家记住这个结论就可以了。
有了对极限严格的定义，以及对于无穷小准确的定义，牛顿所说的速度问题，其实就是当时间在t0这个时刻间隔趋近于零的时候，距离和时间比值的极限，到此，贝克莱引出的无穷小悖论，以及之前所有的芝诺悖论才算彻底解决。
当然，本来用大白话说的道理，变成了严格的数学语言，就让数学显得高冷了，有些人读起数学的语言（大量的公式）就觉得费劲，而老师的作用，就是再用大白话，把数学语言所写的知识，翻译成大家容易明白的内容。做不到这一点，那还不如让学生自己看书自学了。
到此为止，我们关于极限的内容就讲完了。我们为什么要讲这件事？不是给大家一个比生活中所理解的极限更准确的定义，而是学会用动态的眼光，无限变化的眼光看待世界。
人类认识极限、无穷大和无穷小这些在有限世界里难以理解的概念时，一开始也是一头雾水。这是因为人类受限于自己生活的有限世界。
在有限的世界里，数字都是具体的，因此人们就会想当然地觉得无穷大就是非常大的数，无穷小就是反过来，但是这样以静止的眼光看待数，就会遇到一些数学悖论，这些悖论导致数学危机。
危机的根源是什么呢？就是我们人类直观的认识和数学内在的逻辑的矛盾。解决这些矛盾的方法是什么呢？不是像毕达哥拉斯那样视而不见，甚至否认，而是先存疑，后完善。
要完善数学上的那些“漏洞”，就要引入新的概念，把原来数学的体系扩大为新的体系。这里我对“漏洞”一词打了引号，因为它不是数学本身的漏洞，其实是我们人认识上的漏洞。
为什么需要把数学体系扩大呢？因为任何封闭体系内所遇到的漏洞，在这个体系内是无法弥补的。用中国话讲，叫做“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，这是我们人类发展到今天应有的智慧。而在扩大体系的过程中，最重要的是把问题的定义搞清楚。我们今天人和人之间在沟通中最重要的基础，就是对定义有共同认知。
具体到对无穷世界的认识，以及对极限的认识，最初发现漏洞的人居然是芝诺这样胡搅蛮缠的大反角，牛顿和莱布尼茨为了弥补芝诺发现的漏洞，发明了无穷小的概念，但是他们的发明也有漏洞，被贝克莱抓住了。于是才有了后来柯西和魏尔斯特拉斯等人的贡献。
魏尔斯特拉斯超出前人和常人的地方有两个，一个是他定量地描述出无限的趋势，另一个是他用逆向思维让大家理解了这种趋势的含义。定量和逆向思维，是我们今天应用的思维方式。
人认识世界的过程，其实是人类认识世界的缩小版，前人摸索几百年的认知进步，我们可能通过学习和做事情，几年就体会出来了。结合这几天的内容，我把一个便捷的认知升级的过程总结如此：
- 不要怕提出傻问题，符合逻辑的傻问题常常是认知升级的开始。
- 如果之前的知识解决不了那些看似傻问题的悖论，我们可能要跳出圈子了，因为在圈子里转永远解决不了问题。
- 当我们扩大我们的知识体系的时候，之前的傻问题可能有了答案。
- 但是不要指望一次就能完美地解决所有问题。我们的解决方案可能有漏洞，不要怕被别人指出来。当我们进一步弥补漏洞后，我们的认知就再次升级。
下一讲，我们再来讨论一个进一步扩张我们思维认知的数学问题，就是看看无穷大、无穷小还能不能再比比大小。我们下一讲再见。
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7 赞“柯西就说，那你能你上。”感觉吴军老师皮了一下 记得吴军老师在《硅谷来信》中，给大学生的建议中提到：微积分是建立在无穷小、连续性、极限等概念的基础之上，所以要学会微积分，就要先理解这些基础概念。 柯西、魏尔斯特拉斯等人做的工作，实际上是在维护由牛顿等人建立的数学、科学和理性大厦的基座。55分钟前作者回复大家已经不知不觉地度过了微积分最难的部分。53分钟前
68 赞#数学助教# - “定义”的边界 【明确定义才能避免分歧】 很多经济和社会话题，常常会使得两个人争得面红耳赤，谁也说服不了谁。 然而很少会有人因为数学问题吵起来。 这是因为，数学体系的基础是大家都认同的“公理”，以及对每个事物的明确“定义”。 如果两个人在数学问题上出现分歧，大多数情况下，只要静下心来对照定义和定理仔细推导一遍，最后都能达成共识。 只有极少数情况下，分歧的根本原因，是定义不明，就像“无穷小量”的例子，将引发人们去进一步完善认知上的漏洞。 而在日常生活中，每个人都有自成一套的基本判断准则（公理，或前提假设），对不同的事物都有各自的理解（定义），这些“公理”和“定义”构成了一个人的“三观”。 两人产生观点分歧，要么是由于“定义”不同，要么是前提假设不同；只有发现这些不同的定义和前提假设，才可能从根本上解决分歧。 这就是为什么，三观不合的人，可能说话都不在一个频道上。 -“工作都996了，你生活的意义呢？” -“整天吃喝玩乐，你生活的意义呢？” 他们只是对“生活的意义”有不同的定义罢了。 另一方面，正是因为日常生活中的“模糊定义”，才会有百花齐放的文学作品，和每个读者眼中不同的“哈姆雷特”。 “定义不明”，辩论才有了意义——它提供了多元的视角，打破我们固有的认知，去包容更多的“与我不同”。 ---------- 想要避免观点的分歧，那就划清定义的边界； 想要碰撞思维的火花，那就模糊定义的棱角。15小时前
50 赞#数学助教# #说说学到这里的感想# 经过这么多节课的铺垫，循序渐进，我相信大家都有了一种渐入佳境的感觉，终于知道了每个数学知识之间的串联逻辑与彼此之间的层层递进。我自己听完这几节课程中讲的无穷大、无穷小再过渡到极限，慢慢从离散的世界观逐渐过渡到连续的世界观，从静止的世界观逐渐过渡到动态变化的世界观，就这样不知不觉地完成了从中学数学到高等数学（微积分）的平滑过渡，完成了一次认知升级，很有成就感。 之前有一次，与一位数学系的教授聊天，我问他：“数学到底是一个怎样的学科？要怎样才能学得好呢？”他说：“学数学其实和学语文一样，就是提炼和把握中心思想。”我当时对这个回答，是有些不理解的，因为毕竟中心思想的提炼是一个主观，没有标准答案的过程，而数学明显需要的是准确甚至精确无误。后来，经过一段时间的学习和思考，我大概理解了一点这位教授所说话的含义：“数学的中心思想，就是数学的概念，数学的思维以及对数学概念的理解方式。”就像这几讲中的「无穷小」，当我们把它理解成0就错了，理解成非常非常小的量也不准确，理解成可以无限小，要多小有多小的变化趋势，才算理解了无穷小的概念，把握到了无穷小的中心思想。 你get到了吗？15小时
19 赞这节课让我想到夜郎自大（熊逸老师的加餐课程也讲到这一点），夜郎国的人其实是不知道自己自大的，因为他们看不到外面的世界，或者说也不愿意看到外面的世界 所以勇敢和伟大的人是敢于质疑和挑战身边人的普世认知的，按照这个标准来衡量的话，有可能我们很多人都是“夜郎自大”，因为我们很容易对已有的知识体系产生相信，坚信，甚至迷信。不加怀疑和思索就无理由信任的方式其实就是夜郎人 当然，勇于质疑和挑战的这种精神和杠精与无理取闹还是有区别的，区别的方式之一就是有没有严格的数学逻辑。还有一条，就是我们要挑战已有的认知，必须建立在我们拥有或者清楚明白已有的认知基础之上。换句话说，要说数学不美不好，必须要自己学过数学，懂数学才有效，才具有说服力，要不然那就是瞎掰扯15小时前
19 赞#数学助教# 今天课主要就讲了一件事——无穷大和无穷小是怎么被魏尔斯特拉斯定义成一个动态过程的。 魏尔斯特拉斯的定义，事实上是把一个无限趋近 永远不能达到的趋势，变成了见招拆招的过程。无穷小就是 让别人任意给你一个很小的数，我说我和0的距离都可以比你给的数更小。这就好像是你描述一个姑娘的美，却不直接写这位姑娘，而是描述别人见到她后的反应。 刚好最近听到了吴军老师在谷歌方法论里讲莎士比亚。我把里面莎翁描写鲍西亚美貌的一段摘抄下来： 他（指画师）怎么可以睁着眼睛把它们（指鲍西娅美丽的双眼）画出来呢？他在画了一只眼睛以后，我想它的逼人的光芒一定会使他自己目眩神夺，再也描画不成其余的一只。15小时前
14 赞勇于提问、提升量级，摸着石头渡河。 认知升级、范式革命，都是在从或大或小的问题发展而来，因此基于逻辑来提问非常重要。而问题的解决方法有很多，条条大路通罗马，如果现有知识无法解决，那可能要从其他领域借力使力，跳脱框架就是方法之一。在吴军老师的信息论也谈过，学习就是引入负熵，观点标新立异才有可能提供信息增量，将无穷小视作动态的观点，是思想的飞跃，也是重要的信息。 老师总结认知进展的过程，最后提到了“知识的保守主义”，不要指望一步到位的解决方案，即便首先提出的规划不完美，也不要怕丢脸而不说出来，互相讨论、完善的成果，最终能使大家都受益，尤其在当今资讯交流之频繁，想守着什么知识而得利，既不符合学术圈的默契，也会在不断更迭的知识中成为历史的灰烬。提问、解决、分享，一步一步慢慢来。 我们能因论点而争执，但能宣布胜利的只有知识和理性本身。14小时前
12 赞#一起学数学 DAY17# 数学发展如此严谨，令人佩服。其实在这做大厦里，还有很多未解之谜，举例一个，请大家品品。 1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了一个猜想：任何一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；又如461可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。” 1742年6月30日欧拉先生给哥德巴赫回信了：这个命题看来是正确的，但是暂给不出严格的证明。同时欧拉对上述命题做了修改：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。这个欧拉版本是现在常见的猜想陈述，当然，他到死也没能给予证明。 研究偶数的哥德巴赫猜想常见有四个途径，其中殆素数（素因子个数不多的正整数）是个重要途径。即常用“a+b”这样的形式表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b，即N=A+B。易知，哥德巴赫猜想就是证明N可以写成"1+1"。 200多年过去了，至今没有完全解决。不过由此猜想带来的数学新方法则层出不穷，从另一方面促进数学自身的发展。 我国最早研究哥德巴赫猜想的数学家是华罗庚先生。后，王元、潘承洞和陈景润等在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。目前最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得，即所谓的 “1 + 2 ”。 或许，最后要摘下这颗数学上的明珠，还在等待新的数学新方法吧!14小时前
11 赞#数学助教# 极限的严格定义原来可以用逆向思维进行理解！ 极限是说一个序列不断延伸会“无限逼近”某个数，但是“无限逼近”到底是多近，能否明确说明什么时候我们就能称之为“无限逼近”了，好像没有明确的标准，永远有更近的时候。 但是利用逆向思维便可以给出一个答案，你任给一个误差精度，我都可以找到一个数，使得序列对应的值和想要的极限之间的差距要小于给定的误差精度，这样就明确给出了极限的定义。 其次，无穷大无穷小的学习给我们提供了一个解决问题的新视角： 首先提出问题，然后利用已有的知识尝试解决问题，如果解决不了或者发现了矛盾，可能是因为现有的知识不够，或者知识本身存在某些问题，那么不妨尝试跳出已有的知识体系，换个思维方式，创造新的工具，逐步解决问题。14小时前
7 赞用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。 极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。15小时前
4赞所谓无穷，无法用绝对的框架来定义，也就无法用正向思维来理解，即无论如何定义都有特例； 高手就反其道而行之，采用相对的框架来定义，无穷小就是比任何给定的小的值总能确定地找到比其还小的值，“无穷小就是没有最小，只有更小”。这种定义是一种逆向思维，也是一种工程化思维。不求误差最小，只求满足设计要求。 数学的无穷小在物理世界就遇到了极限，即存在不可再分的粒子，数学的无穷小在量子的世界还有物理意义吗? 那么连续又如何定义，其物理意义是什么?6小时前
4 赞对于人类认知升级的规律的延伸思考。 1. 技术的演化，行业的发展，同样也是按照这个认知扩展的规律，比如无法用管理，再进一步提高生产效率的时候，要进步就必须要引入新的技术。 而新的技术在刚出现的时候，往往存在各种各样的缺陷，要逐步完善，并组织出相应的生产关系，与之配合才能够发挥最大的效用。 2. 对于计算机语言为什么会用0和1，反应世界的可计算问题?而非我们日常看到的渐进积累的变化，可能是因为事物变化，必须要超越一定的阀值，比如水要烧到100度，挖井要见到水，才能够在效果上显现出质的变化。 这就好像演化思维，只有从反光镜中，在结果上显现的变化，才能算数。 所谓轻预测，重反应的道理可能也就在于此。11小时前
3 赞感动的要哭了！极限的概念我来来回回不知道看了多少遍，我还是无法理解，我就只是知道有那么回事儿，知道用洛必达法则 等价无穷小 夹挤法则 换元法等等求极限。对极限的概念的理解还是很模糊，今天终于有了深刻理解，大爱吴军老师8小时前
3 赞从无穷小的定义里面就能体会出怎么样动态的定义一个概念，顺着那定义里面所说的意思，就是一个不停反复循环的过程，而你又永远在这个定义范围内找不出我所给的边界的突破口。 这里采用逆向思维来定义，我理解是既然我找不到证明我正确的直接路径，我就索性做一个你永远都胜不了我的游戏，只要你胜不了，我就是对的。而这种反复游戏比拼的过程，就是动态理解的过程。14小时前
2 赞听完这一讲以后的几点收获、感想： 1. 用大白话表述一个现象，和用数学语言描述其中的规律，有着非常大的差别。这种差别，一方面体现在定性表述和严谨的定量描述之间；另一方面，在有些概念上（比如今天所讲的极限），还体现在为了达到严谨，而采用了不同的思维角度。 2. 极限是“无限趋近”，不是“到达”。我记得自己读书的时候，第一个接触到的“趋近”的例子，就是函数y=1/x的曲线，这条线无限趋近与x轴和y轴（双曲线的两条渐近线），总有“更近”，但就是没有“接触”。这与之前老师讲过的无穷小，同时满足不等于零和“总有更小”一致（给定任何一个很小的数字，都必然能找到一个比它更接近于0，但不等于0的数），所以我们也说，无穷小是极限中的一个特例。 3. 得益于以前教过我的老师们，我第一次接触数学上严格的极限定义，就是在高中的时候，老师带着我解读的。后来接触各种概念的数学定义时，只要能看懂符号，就都不会觉得有多么难以理解。我的一个感受就是，语言和理解是高度相关的，如果能看懂一个概念的数学表述，哪怕是把符号转化成文字，借助数学严谨的表述，都能帮助我们培养起一种截然不同的思考习惯。 4. 爱因斯坦说过，问题，不可能由导致这种问题的思维方式来解决。毕达哥拉斯坚信只有整数和分数，那么遇到了2的平方根这种问题，他就解决不了；类似的没有数学上严格的无穷小和极限定义，芝诺也能杠得学者们没脾气。跳出自己的专业、学科，换一个角度思考问题，经常能给我们带来解决难题的新契机。 5. 科学发展中，需要有芝诺、贝克莱这样的“杠精”。这就类似于开发软件（比如做游戏）那样，质量部门找bug，一种方式就是用各种刁钻的方法，去试软件的极限，找到任何一个可能藏在犄角旮旯里的错误。芝诺和贝克莱，虽然不太可能讨人喜欢，但他们挖掘到了认知系统中的漏洞，启发我们去完善这个系统。1小时前
2 赞前两讲关于无穷小的课都没有写作业，因为感觉自己对这个概念并没有真正理解。周末花了一点时间，搜集相关资料认真思考之后，对动态和无限♾算是找到了一点感觉，再来温习这三讲的内容，自然有了新的收获。 学习过程中的一点重要体会是要突破认知的边界，从不断向自己发问开始。从貌似显而易见或者低水平的基础问题也是有所收获的开始，逐步深入和体会，一点点拓展认知的边界，提高问题的水平的同时，也是自我提升的过程。正如胡适先生所说，怕什么真理无穷，进一寸有一寸的欢喜。我很享受看着自己折腾的过程。6小时前
2 赞非常喜欢吴军老师，佩服到不行，所以中学数学只考16分的我（并且后面也没有再接触过数学），也敢进来付费学这门课。当然，这只可能发生在我不知天高地厚三年前找了一个信任我的投资人创业开了一个平行进口汽车销售展厅之后。失败的压力下迫使我开始了新的求知之路。 既然是卖车的，自己也喜欢驾驶我就说说我学习后的感想吧。马上又要过年了，高速堵车大家都头痛。那么高速为什么堵呢？其实不一定是交通意外事故。当然事故会影响一到两根车道减缓车流通过。但其实比事故对交通影响更大的是一些“逛马路”的司机，更有胜者还贴着“你快你飞过去”这样的字帖在车尾。这些晃晃悠悠在快速车道上开慢车的司机是对车流影响极大的，无时无刻不影响着这条车道的通行效率。很多次生灾害事故也是由他们引起的，只是非常间接不被大家了解而已。 假设我们的内环高架限速80，而80的时速是我们交管部门科学制定出来有很高安全保险系数的速度值。那么我们无限接近80这个速度的时候我们始终合法并且安全。反之，我们无限接近这条高架最低速度也就是趋于静止，那么这时我们的百度地图上这条路已经是红色的了。这种趋于静止无限接近0速的趋势才是我们节假日堵车的原因。 一台“逛街”车后面的几公里处受到这种无限接近0的减速趋势的影响很可能就真的“静止”了。另外，前面的“慢”，变相剥夺了想要“快”权利这本身也很自私。如果快车再变道进而影响其他车道的次生负面效应那就“冤冤相报”造成付能量的蔓延趋势在这条高速上了，最终大家的速度都“无穷小”了。 因此，交通管理者应该更注重最低限速的监管，会更有意义。我们目前却只重视超速的处罚。“规定“跟上前车”和前车保持适当的距离，相对匀速的车流状态最可贵。 表达的不好，希望大家多多指教。6小时前
2 赞学习了今天的课程，再次重温极限的概念，我个人有三点体会：第一，能够提出一个好问题，相比直接给出答案，意义要大得多。很多看上去很傻的问题，实际上正是恰好戳中了现有知识和理论的痛点，进而能够引发更深层次的思考；把这些傻问题搞清楚之后，通常都会获得很大的收获，从而引发对现有的认知体系的一次升级。所以，在如今的信息时代，能够提出一个好问题，也是一个人能力的体现，也是见识的提升。第二，人类的知识体系是一个开放的体系，始终处于动态的演化和发展。我们都知道，在一个封闭的体系内，永远是朝着熵增的方向变化的，最终只能走向混乱和无序。这个时候，只有从外部引入负熵，让现有体系通过与外界的交换重新变得有序。同样，每当人类现有的知识体系面临挑战和危机的时候，也是通过引入全新的概念、而不是在现有的认知圈子内原地打转，对现有的难题做出解答；也正是由于这样的开放性和包容性，使得人类的知识体系能够不断扩大、丰富，进而朝着越来越好的方向发展。第三，世界上的一切事物都有其自身的极限，理解了极限的意义，也就为我们指明了未来发展的方向。每个行业都有自身的极限，技术可以改进、提高，但理论的极限却是无法突破。理解了极限的意义，就知道了做事的边界，我们就能够在边界内发挥自身所长，活出人生的精彩。7小时前
2 赞极限是无限接近于某一趋势的值，极限是动态的，无穷小是一种特殊的极限。极限思维就是要求我们要用动态的、变化的思维看问题；扩大、完善我们的知识体系。<br />在《终身成长》一书中，“成长思维”就是一种用变化的、动态的思维方式看待自己、看待周围的世界，相信自我是可以不断成长的，想方设法提升自己。这种思维方式可以用无穷大的概念描述：只要我们不断地付诸正确的行动，能力会一直增长下去，人的潜力是无限的。8小时前