你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们讲无穷大是比任何数都大，那么世界上只有一个无穷大吗？如果有多个，能比较大小吗？类似的，无穷小就是无限接近于零，那么世界上会有不同的无穷小么？
如果我们用静态的眼光看待这两个概念，答案都是否定的：无穷大和无穷小都是独一无二的。比如，无穷大再加上1，或者再乘以2，都是无穷大。
但是，我们已经知道，它们其实不是具体的数字，而是数列或者函数变化的趋势，是动态的，因为必然有某些数列或者函数会比其他的增加更快，有些则相对慢一点的情况。
同样，往无穷小方向变化也是类似。因此，无穷大或者无穷小应该有很多，而且可以通过比较它们之间的变化速率，来比较大小。
我们先看两个无穷小的函数，来比比大小：f(x)=x和正弦函数g(x)=sin x。我们知道，当x趋近于零的时候，f（x）和g（x）都趋近于零，那么它们趋近于零的速率相同吗？我们看一眼下表。
我曾经试图用图来对比这两个函数变化的趋势，但是由于两条曲线很快合并到一处，看不清楚，因此只能用表来表示。
从表中可以看出，x本身和正弦函数趋近于零的速率是惊人地一致。于是，我们可以得到这样一个结论，上述两个函数它们趋近于零的速率是相同的。
接下来我们再看另一个趋近于零，速率不同的无穷小。我们对比一下上述的正弦函数g(x)=sin (x)和平方根函数h(x)=√x
我们还是用一张表把它们趋近于零的速率描绘一下：
你会发现平方根函数h(x)相比正弦函数g(x)趋近于零的速率慢得多。这时候我们其实就比较出两个无穷小谁“更小”了。
这里面我对“更小”两个字打了引号，因为我们这里说的比较大小其实不是具体数字大小的比较，而是趋势快慢的对比。当一个无穷小量比另一个以更快的速度趋近于零，我们就说第一个比第二个更小。
具体到上面的例子，正弦函数在零附近，相比平方根函数，是更小的无穷小。当然，更准确的说法是，“高阶无穷小”。
下面我给出了一些函数，它们在零附近都是无穷小，它们的阶数也越来越高：
平方根
x本身、正弦函数
平方函数 x^2
立方函数 x^3
指数函数的倒数
类似的，我们也可以对无穷大比较大小。你可能会问，无穷小是趋近于0，然后谁接近0的速率更快，谁就是更小。那么无穷大应该和谁去比较呢，它只能和另一个无穷大去比？其实如果两个无穷大，一个增加的速率比另一个更大，我们就说前面的相比后面的是高阶的。
比如我们看这样一个例子，有两个函数：f(x)=x和平方根函数h(x)=√x
当x趋近于无穷大时，它们都是无穷大，但是它们变化的速率不同，我也列举几个数字，放到下面这张表中，给大家一些直观的感受。
你会发现，第三行的平方根函数比上面的线性函数x增加的速率要慢很多，越到后来差距越大。当然还有比平方根函数增长更慢的函数，比如第四行的对数函数。至于增长更快的，也有很多，像平方函数就比线性函数更快，当然指数函数要快非常多。
我们按照各个函数往无穷大方向增长的速率，从快到慢给出了下面这样一些例子：
指数函数 10^x
幂函数 x^N，通常N=2，3，4……
自身 x
平方根 √x
立方根
对数函数lg（x）
特别需要指出的是，很多个低阶无穷大，加在一起增长的速率都比不上一个高阶的。比如说10000x和x的平方相比谁大，当x趋向于无穷大时，后者要大得多。当然，x的立方又要比任意有限个x的平方大。
当然，遇到一个较真的朋友会说，这些函数最后反正都趋近于无穷大，你比较它们有意义吗？答案是有的，因为无穷大本身的含义就是一种趋势，而不是一个数字。特别是在计算机科学出现之后，它的意义更明显。
我们知道，计算机是一个计算速度极快的机器。对于小规模的问题，无论怎么算，也花不了多少时间。如果说它会遇到什么难题，那就是规模很大的问题。
因此，计算机算法所关心的事情，是当问题很大时，不同的算法的计算量以什么速度增长。比如，我们把问题的规模想成是N，当N向着无穷大的方向增长时，计算量是高阶的无穷大，还是低阶的。
假如算法A的计算量和N成正比，那么当N从10000增加到100万时，计算量也增加100倍；如果算法的计算量和N的平方成正比，事情就麻烦得多了，当N同样从10000增加100倍到100万时，计算量要增加10000倍。
类似的，如果算法C的计算量是N的立方，则要增加100万倍。当然遇到极端的情况，计算量是N的指数函数，问题就无法解决了。相反，如果算法D的计算量是N的对数函数，那么太好了，无论N怎么增加，计算量几乎不增加。
因此，计算机算法的精髓其实就是在各种无穷大中，找一个小一点的无穷大。一个好的计算机从业者，他在考虑算法时，是在无穷大这一端，考虑计算量增长的趋势，一个平庸的从业者，则是对一个具体的问题，一个固定的N，考虑计算量。
前者可以讲是用高等数学武装起头脑，后者对数学的理解还在小学水平。我们上大学的目的首先是通过学习课程换脑筋，然后才是掌握知识点。
那么对于无穷小，区别出高阶和低阶有意义吗？有意义，而且意义也很大。我们还是拿计算机算法举例子。很多时候我们要求计算的误差在经过一次次迭代后不断下降，往无穷小的方向走。
比如我们控制导弹和火箭飞行的精度，要在微调中向着目标方向靠近。那么通过几次的迭代就趋近于目标方向，还是要经过很多次迭代才达到，这个差异就很大了。
假如我们有一种控制的方法，它是按照下面一个序列将误差逐步消除：
1，1/2，1/3，1/4，……，1/1000……
这个序列最终发展下去是无穷小，但是如果我们想让误差小于1/1000，需要调整1000次。
假如我们有办法让误差按照下面的序列消除：
1，0.1，0.01，0.001，……
那么只需要四次调整，就能做到误差小于1/1000。
你可以想象，在高速飞行的火箭中，每一秒，火箭都能飞出去几公里到十几公里，如果需要调整一千次，在调整好之前，火箭早就偏出十万八千里了。因此，在很多计算机算法里，希望以高阶无穷小的速度接近零。
无穷大和无穷小不仅能比较，而且也能计算。有些计算结论是一目了然的，比如无穷大和无穷大相加相乘，结果都是无穷大，而无穷小之间做加减乘，结果都是无穷小。这比较好理解。
但是，无穷大除以无穷大，无穷小除以无穷小等于多少呢？那就要看分子和分母上的无穷大或者无穷小谁变化快了。比如说，当x趋近于零时，sin x是无穷小，根号 x 也是无穷小，那么sin x /√x等于几呢？
我们前面讲过，前者变化快，以更快的速度趋近于零，后者变化慢，因此相除的结果就是0。如果反过来，根号 x在分子的位置，sinx在分母的位置，这个比值就是无穷大。
对于无穷大的除法，情况也是类似。此外，如果一个无穷大乘以一个无穷小，结果可以是一个常数，也可以是零，或者无穷大，就看它们谁的阶数更高了。
我们在前面讲芝诺悖论时提到，在等比数列中，无穷多个无穷小相加，结果是有限的，就是这个道理，因为不断变小的等比数列，会形成一个高阶无穷小。
要点总结：
虽然无穷大和无穷小不是具体的数，但它们也能比较大小，比的不是具体的数值，而是变化的趋势。变化趋势快的，叫做高阶，变化趋势慢的，叫做低阶。通过它们的比较，我们把“比大小”这个概念的认知拓展了。
这有什么意义呢？我给你打个比方，假如房价每年的增长是以几何级数上升的，当然你的收入增长也是如此，如果时间足够长，它们都往无穷大的方向发展。但是，如果房价每年涨3%，你的收入涨10%，只要你的生命足够长，你早晚买得起房子。
如果你的收入增长是每年20%，这就是一个相对高阶的无穷大，你会很快买得起房子。相反，如果你的收入增长不到3%，相比房价的增长，它就是低阶无穷大，你永远买不起房子。
无穷大和无穷小不仅可以比较，还可以做加减乘除运算。当然，这种运算和3+5=8这样确定性的运算不同，特别是在做乘除法时。我通常喜欢用“博弈”这个词形容一个无穷大和一个无穷小相乘的情况，因为结果是什么，就看谁的阶高了。
这就好比你和你的女朋友，彼此的******随着苯基乙***浓度降低在不断减退，另一方面，亲情的却随着内啡肽的浓度上升会逐渐稳定，最后是成功，还是分手，就是无穷大和无穷小趋势的博弈。
讲到这里，你可能会想，我为什么发此感慨，其实通过数学的逻辑，理解人生的一些道理，是把数学作为通识课讲的原因。下一讲我们就系统回顾一下这个模块的内容，我也和你分享一下数学对我的影响。我们下一讲再见。
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116 赞#数学助教# - 趋势的博弈 【无穷怎么比】 数学上比较两个“无穷大”或者“无穷小”，通常将一个作为分子，另一个作为分母，比较两者之间的比值，看看最后是哪种情况（有的结果显而易见，有的则需要复杂的数学推导）。 事实上，“1/无穷大”就是一个“无穷小量”，同样“1/无穷小”就是“无穷大”。 因此 “无穷大 / 无穷大”=“无穷大 * 无穷小”，本质上就是两种 *相反的趋势* 之间的博弈。 文中已经提到，“无穷大 / 无穷大”或“无穷小 / 无穷小”只有三种结果——无穷大，常数，无穷小。 如果结果是大于 0 的“常数”，那么这两个趋势不分胜负，称为“同阶”。 【趋势不关心常数】 无穷大或者无穷小根本不 care 你给它加上或乘上 10 或 10000，因为阶数不会改变。 获得了一项资源，别高兴的太早，如果它带来的只是（乘以或者加上）一个“常数”，那不过是在当前的“阶数”上自我麻痹。 它是否帮你提高“阶数”才是关键。（当然有时候乘以一个常数也是有帮助的） 中了百万彩票的人，生活质量在短时内会有明显的提升，但是多年以后，他们的生活与中奖之前差不多——彩票中奖不会改变一个人成长的“阶数”。 【趋势的博弈】 事物的演化，总会受到两种“趋势”的牵引；最后结果如何，在于二者“阶数”的高低。例如，身体抵抗外来病菌的过程，就是“免疫系统消灭病菌的趋势”与“病菌在体内增殖的趋势”之间的博弈，只有前者的“阶数”不低于后者，才会康复。 如果个人财富的累积速度赶不上经济增长的速度，那么“活得足够长，早晚能买房”不过是一剂毒药。同样，企业的增长也是这个道理。 # “降维打击”用烂了，可以试试“高阶碾压”17小时前
43 赞以互相博弈的增长与衰退趋势，提供新的视角看待人事物。 文末提到的例子，在我这个年龄阶段的人或多或少都曾烦恼。前几天朋友寻求我的建议，在考虑要不要与当前的对象进入婚姻关系，我和他聊了很多，也分享老师硅谷来信的几篇文章《为何情人锁锁不住情人？》、《人生最重要的投资》等系列，明白为何走到一起，才有不放手的坚持。两人相处时间一长，******如无穷小、亲情、友情如无穷大，看何者奔得快，两者博弈的结果正是关系的发展趋势。 其实不仅是情人，家人、朋友、同事、商业伙伴皆是如此。比如，许多孩子在经济独立后，父母必须“重新”发展关系，引入一个高阶的无穷大函数，否则养育的关系衰退得太快，朋友的关系还接不上，那么就容易有空巢期的失落。网上有类似的短语：『喜欢一人，始于颜值，敬于才华，合于性格，久于善良。』发展关系，需要靠一个个无穷大的趋势，去抵抗那日益平淡的各种******。必须拚命奔跑，才能留在原地；时刻微加幸福，才能常保温度。17小时前
37 赞#数学助教# 吴军老师从计算机科学的角度讲了无穷大的阶数的应用，让我看到了一点《数学之美》的影子。 从我的角度讲讲无穷小的阶数吧。很多人都知道牛顿定律，这个定律描述了地球上物体运动的规律，也解释了天体运动的规律。牛顿在17世纪末提出牛顿定律，后来的数学家、工程师们在此体系上建立起了宏伟的大厦。 然后20世纪初，爱因斯坦提出了相对论。爱因斯坦说，牛顿定律是不准确的，在速度接近光速的时候，要这么这么修正。 那 牛顿定律“错了”，工程师建好的大厦要就此坍塌了吗？并没有。 数学的大厦必须完全遵守逻辑，必须严丝合缝不能有逻辑漏洞。但物理学 尤其是工程学的大厦，可以允许误差存在。只要这个误差是*高阶无穷小*。 相对论是对的，但是在宏观、低速情况下，相对论的结果和牛顿定律相差非常小，所以可以继续用牛顿定律。 在研究结构的变形时，如果变形比结构本身的尺寸小大约一百倍，我们就可以认为这个变形是“高阶无穷小”，在计算的时候就可以忽略它。这样的假定，在工程计算中帮我们省了很多计算量，省了很多脑细胞。 之前有人问过年利率6%，月利率为什么是0.486%。因为1.06开12次根号确实等于1.00486。但是大家都用年利率除以12来计算月利率，因为这样计算的误差相对来说很小，我们就忽略它。17小时前
28 赞#数学助教# #辩一辩“维”和“阶”# Cynthia助教在今天的留言中提到“降维打击”和“高阶碾压”，为什么她能够联想到这两个词语呢？我们从数学角度来看看它们之间的联系。 直线是一维的，如同一条坐标x轴，上面有N个点； 平面是二维的，就要在x轴上，再加一维y轴，构成xy平面，上面可以画出N*N个网格点；空间是三维的，继续在xy平面基础上，再加一维z轴，构成三维空间，它可以被分成N*N*N个小立方体。 到这里，我们建立了“维”和“N”的联系， 一维：N 二维：N^2 三维：N^3 经过这节课的学习，我们知道N^3是比N^2高阶的无穷大，N^2又是比N高阶的无穷大，所以“增大维度”和“提高阶数”在无穷大方向上是等同的。10000*N并不是比N^2更高阶的无穷大，因为它的“维度”没有变，而N^2升维了。 相反地，对于无穷小，它其实是和无穷大“互为倒数”的关系，无穷大的倒数就是无穷小，越高阶的无穷大，它的倒数也会是越高阶的无穷小，“增大维度”与“提高阶数”在无穷小方向上也是同等的。 所以，从数学层面，“维”与“阶”是可以等同理解的。当你对“阶”不好理解，那就从更熟悉的“维度”角度思考，可能会更加清晰。8小时前
23 赞对于我们普通人来说，多少钱算多，多少钱算少呢，无穷大和无穷小给了我启发 家庭收入超过1000万RMB/年，我觉得就是我目前认为的无穷大∞，因为超过这个数字之后，1000万+1000万，1000万+1000+1000万……感觉上对我的意义就都是一样的了，概括成两个字：有钱。对于我来说，这就是比无穷大更大的无穷大结果 对于王健林（代指财富榜成员）来说，1亿RMB/年是小目标，假设100亿RMB/年是他的无穷大，这就是说超过这个数字以后，200亿，300亿对他来说，意义也是一样的，概括成两个字：有钱，这也是比无穷大更大的无穷大结果 所以，100亿对于我们普通人来说，是比无穷大（1000万）更大的无穷大，也就是高阶无穷大，计算公式是这样的 1000万+1000万+……=无穷大=很有钱 100亿+100亿+……=无穷大=很有钱,比无穷大更大的是增长速度更快的无穷大，即高阶无穷大 生活里这样的例子很多 1. 小孩子的玩具，超过50个，在这之后的第51个，52个，59个……99个，感觉上应该就是一样的了，等于无穷大 2. 朋友圈的好朋友，超过150个，在这以后的151个，152个，159个……5000个（罗胖在奇葩说自己的好友数）……就都是一样的了，等于无穷大 3. 普通人如果有10套房子，够住了，超过这个数字20套，30套，99套……也就是都一样的了，等于无穷大 4. 古代皇帝的后宫佳丽三千人，其实可能超过150个，后面的佳丽人数这就等同于是无穷大而已 突然发现，我们的生活里有很多很多的“无穷大”…… 物质带来的愉悦幸福感，不是随着数量的增加而同比例增加的，在超过一定的数量以后所带来的收益是递减的 无穷大是一个趋势，比无穷大更大的是高阶无穷大，它增长的速度更快7小时前
15 赞相对于数学这一广阔的学科而言，计算机科学要更偏向于应用与工程——数学可以向「无限」这样的宏伟概念不断延伸，而计算机要处理的，是在 特定领域内 通过有限的资源 解决 被定义了边界的具体问题。 正因为这些限制条件的存在，所以去考虑计算量增长的趋势、去通过算法优化时间复杂度与空间复杂度才显出了意义与价值。17小时前
14 赞海森堡测不准原理说明了粒子的位置与动量不可能同时被确定，这说明世界从研究静态到了研究动态。 我们处理的问题也不再是静态的了，如果说静态的思维是加减乘除，那么动态的思维就是比较快慢。应对不确定的时候，哪种行事方法能帮助我们更先到达终点。我们工程师喜欢研究收敛，有全局收敛和局部收敛，它的意义在于在特定定义域内找出最合适的解。15小时前
14 赞通过这这讲我更加知道了生命的质量和意义，所有的生命都会凋零，但凋零的快慢是不一样的，意义是人为加上去的，只有自己和周围生边的人或者和自己活在同一个维度世界里才能比较，或许也不能。我们锻炼身体并不是让自己不生病和不死，只是为了让生命更有动力和尽量持久，学习，运动，工作，生活，这一切的一切都是为了这辈子的美好和幸福！我要选择幸福的生活状态，自己可以决定一切！17小时前
9 赞想到吴军老师在《谷歌方法论》中就有提到：从“小数量”总结出来的方法，无法应用到更高量级的问题之上。 我想这就是我们学习数学的意义。 只有拥有了对大小敏感、对变化敏感的数学思维， 才能迎接更多信息时代的挑战。6小时前
8 赞在“无穷大和无穷小”的世界里，比较的是变化的速率，这是一种动态变化的趋势。在日常生活里，这违背直觉，而且也没法应用。 但是在信息世界和计算机引领的时代，它们的互相比较和呈现的差异就非常有意义。因为目前人类的资源还是有限的，要处理无限的计算，就得数学上的帮忙，特别是出发时的数学思维。 记得自己学习数学有三个阶段的提升： 1.小学时，发现数字很有趣，有着内在变化的逻辑。所以导致自己特别喜欢逻辑，对逻辑推演很喜欢。 2.中学时，学习了方程，发现数字背后有隐秘的基本公式可以解开通用的事情，举一反三都不够形容，应该是举一反万。而几何的学习，更是打开了用线条、平面和立体，加上数字来解析世界，原来万事万物可以被还原，有种俯视世界的视角。 3.大学时，从数列、归纳、统计、微积分、无穷大和无穷小等方面，掌握了从具体到抽象的可能，感觉数学无比强大（却也导致现实世界的无比“没用”）。当然还是为物理、化学和生物打下了良好基础。 之后，因为后续工作原因用不了这么复杂的数学，所以很少再琢磨和使用这些美丽而简洁的数学工具。 不过，今天很庆幸看到吴军老师用数学来形容爱情和亲情得指数，真是好想法。应该能感觉到，这次的课程后，数学思维会很大程度改变自己看待世界的方式。 最后，请问吴军老师一路走来，经历了几次数学思维的升级，每次升级都有什么改变？谢谢。16小时前
7 赞听完这一模块，让我既是高兴又是长叹，高兴的是终于明白了，长叹的是为啥当时学数学的时候没人给我这么讲15小时前
6 赞刚看这节课的标题，我立刻反应了一个结果，比无穷小还小的就是0呗？ 突然我意识到自己愚蠢了，无穷大和无穷小表示的都是动态的趋势，0就是一个静止的存在，显然并不是最符合逻辑的答案。 然后，学完课程，我才发现高阶和低阶的无穷居然是这样作比较的，尤其是买房那个例子，让我豁然开朗，原来无穷的运用居然还可以这样！16小时前
5 赞学习今天的课感觉“过瘾”，一团浆糊的概念在脑子里逐一清晰起来，并由此迁移到其他方面来打通很多思想节点，还有比这更令人感到愉悦的通识学习吗？ 博弈的此消彼长，直到分出“胜负”，各自的“段位”起到了关键作用，起点固然重要，但发展的速率更重要，尽可能延长发展的时间，提升发展的加速度，就是在这个时代应该有的增长思维。
3 赞原来，有些人买不起房子，以及生活中面临的种种困难，是因为没有明白无穷大和无穷小的真正意义。8小时前
3 赞通过数学的逻辑，理解人生的一些道理。人们常说要着眼未来，要以长远的目光看事，实质说的就是变化的趋势，眼前能看到的容易做比较，就像n确定为一个准确数字时对应的数值，但更重要的是随时间的变化快慢。生活中工作中我们很容易浮躁、被诱惑、急于求成，从而忽略了脚踏实地、稳步前行的力量。吴军老师多次分享[做减法、上帝喜欢笨人]，隔壁宁向东老师也说[不走捷径，就是捷径]。在困难的时候要扭转困局，就要找到更高阶的无穷大进行突破。17小时前
2 赞“高阶”的数学，其实和生活更贴近。 生活中，单纯需要计算数字的部分，比如计算增长率、利息率等等，其实都可以看作是“低阶”的。因为数字都是确定的。 而做选择时，要看长期的变化、趋势，需要用到“高阶”思维。这才是跟生活最贴近的部分。跟具体数字反倒没什么关系。但如果没有学好数学，做到这一点，并不容易。这也是为什么很多人会感觉，“学了那么多年数学，除了算算账，根本用不上”。6小时前
2 赞吴军老师在今天的课程中，对于无穷大和无穷小的概念，做了更深入的解读。对此，我个人有两点体会：第一，人生最重要的投资，就是对个人能力增长的投资。从长期来看，人类社会的经济是在不断增长的，我们可以认为财富总量是趋向于无穷大的；当然，这种趋势是连续的、渐变的。因比，无论从事任何行业，我们每个人要做的，就是让个人能力的增长速度，超过经济的增长速度；这样，我们的财富增长就是正向的，我们的生活也会更加美好。比如，对于IT行业的从业者，就要求你的进步速度比摩尔定律更快。这也是如今的信息时代，我们提倡终身学习的重要原因。第二，掌握科学的做事方法，可以让我们以更快的速度接近目标。当我们从事一项全新的工作，如果只是单纯的、重复的试错，那么距离达成目标，一定会经历漫长的周期。但是，当我们运用科学的做事方法，通过试验-反馈-持续改进的方式，就能让误差的变化以更快的速率趋向于无穷小，大大缩短取得成功的周期，最终实现自己的目标。8小时前
2 赞掌握知识点的核心是转变思维和更换脑筋，这句话是我今天最大的收获。从小到大，我们小学升初中，初中升高中，高中到大学，大学读硕士，硕士进博士，看似是一个学习知识积累的过程，其实也是一个不断提升思维能力，更换学习模式的过程，但是对于我们多数中国的学生而言，死记硬背成了一条不归路，从小到大的题海战术，读书百遍其义自见的准则让我们把更多时间用在背诵上，当然这确实是一个办法，可是这未必是解决所有问题的最好办法，当我们离开校园，加入社会这个群体里，大多数人就难以解决自己面临的问题了，因为这里没有让你刷几十遍的练习题，也没有让你完全守着规矩的准则，往往这个时候不仅打击了自信，也让我们迟滞不前。 不断转换我们的思维方式，锻炼用逻辑思维去思考的能力，把握那些前人和学者们留下的对待问题和解决问题的有效方法才是打开通往成功的钥匙。8小时前