你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
到上一讲为止，我们讲完了我们这门数学通识课的第二模块，这个模块可能是所有模块中最难的一个，如果你坚持听完了，恭喜你，微积分中最难理解的部分，你也就拿下了。
在模块的一开始，我并没有说我要讲微积分，就是因为怕一些人知难而退。但是从大家的留言可以看出，经过我们系统地学习，大家开始理解和慢慢掌握高等数学的本质了。
而对于那些过去学过微积分的人，可能会发现我的讲法和大学里完全不同，我并没有强调具体的知识点，而是在改变大家的一种思维方式，从孤立、静止地看待一个个数学定理，做一道道数学题，变成用动态发展的眼光，从趋势来理解世界。这个过程，就是人的认知从初等，到高等的过程。
我回顾自己学习高等数学的道路，发现大家走过的弯路我也都走过，做了很多没必要的数学题。当时苏联吉米多维奇的《数学分析习题集》我大约做了三分之一（这套书里面有4000多道题），******却不一定能考好。
突然有一天我决定不做了，数学分析考成什么样就是什么样了，这时觉得有一种解脱。腾出时间后，把基本的概念理解清楚，结果成绩也不差。
后来到了研究生时，学了数学系更底层的数学课，发现我过去完全学错了，不是老师内容讲得不对，而是没有学到该学的东西。那些题其实我根本不需要会做，如果将来遇到，要么查参考书，要么用计算机工具解决就可以了。
关键是我在20岁之前，不理解应该用什么样的眼光来认识数学，看待数学里的那些概念和方法。后来当我懂得了高等数学本质上是对趋势的动态描述，是对各种相关性抽象的表述后，再回头看微积分，就觉得容易得不得了了。非常遗憾我在刚上大学时，没有人这么引导我。
数学的世界，在很大程度上可以被看成是我们这个真实世界高度抽象的结果，它的概念是对我们生活中各种对象的浓缩，它的规律是我们生活中很多规律的抽象表述。因此在有了一些生活阅历后，再回过头来看看数学书，我有时会把一些零碎的想法和头绪理清楚。今天我和你分享我的9个体会：
1.有穷和无穷
我们花了不少篇幅在讲无穷大，特别强调在无穷大的世界里，有限生活的不适用。这种感觉有时让我觉得个人的渺小和见识短浅。很多时候，处于很底层的人，是无法理解高层人的想法的。
我们常说“贫穷限制了想象力”，其实贫穷不会限制想象力，贫穷的人可以胡思乱想，但是他们在某一些维度上的经验极少，以至于让人觉得是刘姥姥进大观园。
十年前中国有一本关于罗斯柴尔德家族和美联储的阴谋论的书，我的一些做投资的朋友看了后说，这个作者一定是个穷人，不曾拥有过大钱，不知道世界上的钱放在哪里。
这位作者缺的不是想象力，而是凭空想象的世界完全不靠谱。胡思乱想不会增加自己的智慧，倒是像苏格拉底那样，知道自己的知识有穷尽，而未知世界无穷尽，反而会更接近真理，更容易提高自己的认知。
2.静态和动态
我们的世界需要静态，没有静态的稳定，我们就无法立足。但是，很多时候，我们做事情需要以动态作前提假设，这就如同在足球赛中，除了罚定位球，没有人给你机会站着不动从容射门的。从初等数学到高等数学，就是要把看数学的眼光，从一个个静态的数字、孤立的公式，上升到动态变化的趋势。
比如我们在谈论无穷大这个概念时，我一再强调要把它看成是一个动态的趋势，而不是一个大数。我还特别讲了，x²这个函数，在无穷大的世界里，要比10000x大得多。中国有句话，叫做莫嫌少年贫，其实很有道理，我们看待一个年轻人，要看他成长的趋势，而不是现在有多少钱。
很多人在创业时，喜欢凑热闹，找风口，生怕错过了机会。我对他们讲，如果那个时间窗只有几个月、半年，那根本不是机会，只是一次投机而已。这就是静态地看待时机。真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。
3.精明与聪明
从静态和动态的关系，让我想到这个话题。
有人觉得数学好的会算账，遇事可以精明不吃亏。但是过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到长期的利益，这样反而不聪明了。
比如在投资方面，很多人喜欢寻找低买高卖的机会赚差价，他们有时会得手，但是失手的时候一般比得手更多，更糟糕的是，这些人永远无法把握长期增长的机会。事实上，任何一个向上持续增长的趋势，假以时日，都能涨得很多很快。
4.现实与虚构
数学中很多工具都是建立在世界并不存在的虚构概念之上的，但是，将它们用于现实的社会非常有用，比如说无理数便是如此。人不仅要有形象思维，更要有抽象思维，能够通过抽象思维理解无理数，那么学习物理，做信号处理的工作，搞控制系统，都会很顺手。
人是特别善于创造虚拟概念的物种，我们今天的生活其实离不开各种虚拟物作为实体的媒介。比如说，世界上的财富是真实的，但是度量它们的货币其实是人虚拟出来的。你不可能在买东西时把真实的财富带在身上，大家只把自己在银行账上的钱从一个虚拟的空间搬到另一个去而已。
不仅钱是虚的，很多实实在在的商品虚拟意义也大于实际意义。据估计，个人手里的茅台酒在被喝掉之前，会被当作礼品转手不下十次，它就像数学中那些虚构的概念一样，而不是简单的酒精饮料，没有它们，真实世界的问题就不好解决。
5.攒钱和赚钱
我在《硅谷来信》有一次谈到钱，讲到没有人靠攒钱发财的，发财要靠赚钱。今天攒钱，钱实际上在不断贬值，虽然各国公布的CPI看似并不高，但是CPI并不包括房价的上涨。我们在前面介绍指数函数时讲过，如果每年购买力萎缩10%，用不了几年购买力就少掉一半。
但是，年轻人只要努力，一年收入增长20%，还是能做到的。事实上，在过去的30年里，北京计算机专业毕业生的入职年薪平均每年上涨17%，有经验的优秀从业者后来的增长速度更快。
我们在前面的课程中讲了，往无穷小变化的趋势和往无穷大变化的趋势如果相乘，最后是清零，是常数，还是不断放大，就看谁的阶高了。
通胀、房价上涨等因素都是将财富贬值到无穷小的力量，而且不是人为可控的因素；但是另一方面，收入的增长则是让财富往无穷大增长的力量，对每个人来讲最终就看哪个力量大了。因此，财富靠赚，而不靠攒。
6.直觉和逻辑
我们的直觉常常是对的，但是这只是在我们熟悉或者能够感知到的世界里。世界的很多规律和我们的直觉不一致，比如我们说的芝诺悖论和贝克莱的无穷小悖论，就是因为我们的直觉和无穷小世界里的规律不一致所造成的。
逻辑可以帮助我们分析清楚我们看不到的事情，甚至不存在的事情。在课程中，我们举了伽利略的例子，他之所以认定亚里士多德关于质量重的球先落地是错误的结论，是因为找到了这种说法的逻辑错误。这一类例子，在生活中不胜枚举。
7.概念和表述
今天，交流在我们的生活中占据重要的位置。将一件事情表述清楚非常重要，很多时候，我们需要通过彼此能够理解的形象的比喻来说明，这就如同我们在讲述极限这个概念时用“越来越接近”描述。
但是，在很多场合，这样形象的描述还不够，还需要用极为严格的语言表述，数学的语言是一种，法律的语言也是一种，更普遍地讲，任何专业的术语都是为了这个目的而出现的。做事专业，就需要掌握专业的术语。
8.朋友和理性的对手
很多时候，取得小成就要靠朋友帮忙，但是要取得惊人的成就，就需要一个理性的对手。在数学的发展史上，芝诺、贝克莱，以及后面我们要讲到的罗素，都起到了反角的作用。正是他们给尚未完善的数学体系挑毛病，才让数学体系变得完美。
我们在前面讲到金融危机时，似乎经济学家们没有预警，实际上当所有的人都在赞同同一个想法时，根本无法发现系统中的漏洞。因此，我们在工作中，对于那些理性的对手，即使不喜欢，我们也应该尊重他们的意见，因为那些看似不同的意见，恰恰是我们进步所需要的。
9.荣誉和财富
科学是没有专利可言的，因为科学家们所发现的规律是客观存在的，只是他们发现了而已，因此科学很难直接带来财富。而技术是有专利可言的，因为他们是使用科学改变世界的方法。它们不能混为一谈。
对科学家最大的褒赏是荣誉，因此今天科学家们争的是谁第一个发现某个规律，而不是保守秘密。
我们在前面讲了三次方程解法被发现的故事。其中的费罗和塔尔塔利亚，他们试图把科学变成独占的成果，这是行不通的。今天绝大部分数学家，会知道卡尔达诺和费拉里对解方程的贡献，对费罗所知甚少。原因就是前者将这些方法告诉了世人。
对于搞技术的人来讲，将科学变成改变世界的产品是他们所追求的，有可能带来财富。因此，技术是要独占的。虽然我们说科学无国界，但是技术从来就是有国界，不仅有国界，甚至有公司的边界。
对于一个人来讲，他需要搞清楚的，就是自己想要什么。
我学习微积分是三十多年前的事情了，很多具体的内容已经想不起来了，但是学习了之后，人的思维方式改变了。因此，从通识教育的目的来看，我应该算是达到了。今天借着复盘的机会，和你分享一下我从数学中得到的启发，希望能供你参考。
也欢迎大家在留言区向我提问，我会在下一模块统一回答。下一模块我们会学习几何，看看一个公理体系是怎么建立起来的。我们下一讲再见。
用户留言
110 赞＃数学助教＃ ＃学数学的第一要务就是克服恐惧＃ 课程进行到现在，不知道大家的学习状态如何？是小有成就，斗志满满，还是又被数学打击了一次，放弃了治疗。不管你是前者还是后者，我相信当初你在决定进来学这门数学通识课的时候，还是想提升自己的数学知识水平的，习大大说了：“勿忘初心，方得始终。” 上周末，我做了一个小小的统计，粗略地统计了一下每节课的完成度，看到一部分同学可能是时间原因，可能是其他什么原因，中途放弃了学习，我知道这是很正常的现象，就像我们记单词一直停留在abandon一样。但是，但是，但是，作为一名助教，我还是很希望我们课程中的同学都能够学有所得，而有所收获的前提就是「先把它学完」。 以下的话很重要…… 请注意：我们现在学数学和以前上学时候学数学不一样了，我们没有「非要作对数学题」的压力，我们也没有什么「必须背下什么公式」的负担，我们要做的就是知道在什么时间，什么情况下，我们能用到什么样的数学思维和模型去分析去预测就足够了，具体怎样计算，用什么公式，我们可以现场上网去搜索。而且做错了，可以纠正，纠错的过程又是对问题重新认识的过程。所以，我真心希望大家都能克服对数学的恐惧，继续加油！不懂就问，下一模块，我们一起再接再励！11月20日
87 赞#数学助教# - 复盘感想 前两天听了一本书《美丽心灵》，看过同名电影的人应该能猜到，这是数学天才约翰纳什的传记。 大家知道约翰纳什，大概是由于两件事。他是1994年的诺贝尔经济学得主；同时，也曾经患上了精神分裂症，最后还在他的妻子的帮助下奇迹般地康复了。 作为一个数学家，却拿了一个经济学奖。 可以说，包括他自己在内，谁也没想到，这点“微不足道的小成就”会在经济学领域产生如此深远的影响。 纳什其实对经济学不是很感兴趣，他一直认为自己是一个纯数学家，也非常希望自己能在纯数学的领域获得显著的成就。 为此，他也做了很大的努力，但是，大概是出于“数学家最后的倔强”，为了所谓的原创性，他做研究之前也没有调查前人已有的工作，费力做完才发现已经有人提出了与他相同的理论。 总之，在纯数学领域，他对“名誉”的追求屡屡受阻。 然而最后却是因为自己对“博弈论”的一个推广——是的，只是推广而非原创——拿到了诺奖。而且这个工作里面的数学知识其实并不高深，用冯诺依曼的话说：“这不就是一个‘不动点定理’吗？” ----------- 数学界似乎天然存在这样的鄙视链：只有纯数学才有资格站在金字塔顶端。 作为一个从“纯数学”走到“应用数学”的人，时常也会自嘲几句：“我现在干的就是数学系最低级的东西”。但是内心并不这么认为。 如何定义“高级”和“低级”，每个人都不一样。论智商和耐心，也许不如纯数学；但是论对社会产生的影响，我认为不输。 另一方面，如今的科学知识大厦早已复杂到：没有任何一个人，可以单靠自身的力量，从零开始另起高楼；要往上添砖加瓦，必须站在巨人的肩膀上。 没有受过专业训练的民间“科学家”一鸣惊人？不存在的。 一个天才，仅仅靠自己的智商，可以走多远？ 一个智力平平的人，善用工具，与人合作，可以走多远？11月20日
63 赞我也是很多年以后回过头看以前学过的语文，历史，才发现完全都学错了。方法不对，一头雾水，做了很多无用的事情，花费了很多不必要的时间。要是现在的我穿越回去指点一下当时的我，肯定效果和结果大不相同 比如，语文课本里面要求总结段落大意，当时就是生搬硬套从段落第一句找，找不到找最后一句，实在不行，从中间抄写两句。现在想想，为什么必须要用那样的机械的方式找段落大意呢，整段读懂了以后，自己总结不就很好吗，拿自己总结的和开头结尾的语句做比较，很容易就找出来了。得到的课程现在都是自己总结了，可能是怕我们的基本功不好吧 再比如读历史，历史课本里太多的年份和人名，历史事件所代表的重要历史意义，各种条约和产生的影响，逐字逐句的必须要一字不落的写下来，才能******拿高分。现在想想，记住那些年份干嘛，重要的是故事情节，故事情节所带来的时代影响，和意义。尤其是听了施展老师的中国史纲，还有吴军老师的科技史纲，用一条或几条线索串起来以后，历史就是一门非常有趣的故事书，连环画，这和那些枯燥的历史年代和人名压根没有关系 有了深刻的高阶体验，才能发现低阶的无知无趣。所以，无论是数学，还是语文，历史，打开的方式对了，姿势正确了，就会发现它们的美。打开的方式不对，可能就面目全非 所以，老师和导师很重要，数学通识课学习到此，感触良多，将来我的孩子再学习的时候，希望我能带给他们不一样的打开方式和学习的姿势11月20日
57 赞#数学助教# 我们的数学课程已经进行超过两周了，我看到有超过一万人一直在跟着吴军老师每天学习数学通识课。你们真棒，加油！ 这门课进行到现在，完成了前两个模块：数学的逻辑和概念的深化。可以很明显的看出课程布局的知识体系是环环相扣的。 从最初开篇 通过毕达哥拉斯定理，讲了数学定理来自逻辑推理，具有绝对正确性；用无理数和金融危机的例子讲了数学逻辑的运用；举例费马大定理和希尔伯特第十问题讲了数学的边界。至此定下了数学学科的研究方法。 接下来，先讲黄金分割，然后讲优选法。黄金分割是初等数学里非常重要的概念；接下来讲数列和级数，用斐波那契数列把前面的知识点串起来，引导你关注趋势；通过不同级数的例子，自然引出了无穷级数，同时不忘讲解级数在生活中的应用——等额本息偿还银行贷款。到这里，通过黄金分割和级数两个知识点，把我们对数学的认识一点点从小学提到了高中。并且每个知识点后面都紧跟着应用，避免枯燥。 第二模块开篇，用方程和虚数的例子，把我们对数学世界的认识从具体的鸡兔，变得越来越抽象，直到触及实数轴上不存在的东西。有了前面级数的基础和这里对抽象概念的理解，吴军老师接下来带着我们进入了一个令人激动的领域——无穷。 关于无穷的概念，花了很多篇幅。先讲芝诺悖论，再讲导数的定义和危机，结合数学发展的历史 缓缓引出无穷大和无穷小的现代定义。到这里回头看，其实从数列和级数那里开始，吴军老师就在有意引导你关注变化的趋势了。知识潜移默化的被你吸收，从初等数学的基础垒起沙丘，一直垒到了高等数学的核心概念上。 前面看似零散的知识点，却在用不同的角度帮你完善一个高等的世界观。那是逻辑的美妙、是概念的抽象化、是变化的趋势，是这门课的标题——数学思维。 也许，前面和后文讲过的这些知识点你也终将忘记。但具体内容忘记以后，这些思想将会留下 改变你的思维方式。11月20日
33 赞工作中，我所接触的大领导都很好相处，除去品格修养、领导职级等个性因素，我想曾经广阔而深厚的见识，才是根本原因。相反，小鬼难缠是不知道“天有多高，地有多厚，人能吃几碗干饭”，对自己手中的权力缺乏敬畏。 见识是无穷，人的认知是有穷，意识到这一点我们就会谦虚，反而更容易接近真理，更容易更好一些。11月20日
21 赞大学的时候，我也是带着比我年纪还大的、亲爹的二手几米多维奇试图敲开数学的大门。结果大概就像背英文单词一样，熟啃也只认识了前几页，在学渣的道路上一去不复返…… 茅塞顿开的瞬间，也是在研二，《信息与控制》段广仁老师用东北筛玉米碴子的工艺说明白了滤波的原理和数学公式的意义，段老师现在已是院士了。 此后，才回到当时的课题和项目里，在更多的具体问题中理解抽象公式中的物理意义，也才明白为啥那么多数学系转控制的同学都是开挂的存在。 在数学上，学渣到底了…在数学思维上，还是有希望的…11月20日
17 赞文章开头提到的经历让我想起了自己高中学习的经历，高一的时候数学不及格是常态，高三的时候突然就稳定保持在及格线上，甚至还经常有意外惊喜。仔细复盘后，最大的改变在于自己的心态，不再完美主义，妄想自己可以如何厉害，接受自己水平差的客观事实。认知再评估起到的作用至今常提醒着我。 我们同时活在虚拟世界和现实世界，想要在现实世界行事，就必须要清楚真实世界运行的规律，而底层规律都是数学的杰作。清除了超级英雄的妄念，接受普通人的现实。我们可以清楚复利的力量，但是也知道现实世界中真实的情况是大多数超越曲棍球杆的策略都只是说说而已，并不会真的实现。11月20日
赞#一起学数学 DAY19# 这一讲颇有老师来信的意味，句句真情实感。 这10组关键词，是理解数学的，又何尝不是理解世界的呢。 有穷与无穷， 静态与动态，精明与聪明，现实和虚构，攒钱与赚钱，直觉和逻辑，概念与表述，朋友和理性的对手，荣誉和财富。 这几天学习，得到的启发是：数学作为人类知识的大厦根基，走得是一条确定的，一环套一环，有标准******的路。基于数学发展的金融，计算机，都是这种，掌握规律，就有机会发现"******"。 如果未来有语文通识，我想语文就是那另一条没有标准******，在大家纷乱的感情，文化，习俗中演化的另一种规律。11月20日
11 赞今天的这一课真是高度浓缩的精华！在跟着吴军老师学习的过程中，我的体会是感到恐惧，若不是在这里遇见吴军老师，也许我就会一直待在原先对数学一知半解的理解里，对世界有限甚至错误的认知上，但也同时我感到欣慰，因为有机会跟着吴军老师重塑对数学的认知，数学是透过现象看本质的能力，是大智慧。相信经过五十讲的通识教育，我会逐渐改变并提升自己认识世界，认识自己与周围人，事，物的方法与思维。由此更坚定了要在得到平台跟随老师们补充自己各专业通识教育。感谢吴军老师！11月20日
11 赞听完复盘，酣畅淋漓。从未这样学过数学，当宝木老师说到“这就是微积分最难的部分”的时候，瞬间明白过来这些年学的高等数学本质就是教大家用变化的思维和眼光去看待世界。从小磕磕绊绊的学数学，总以为自己反应比别人慢，是不是不如别人。 现在作为一名计算机从业者，能听到吴军博士这样优质且毫无保留的分享，很庆幸很感动。 感谢吴军博士和宝木老师！11月20日
10 赞从见识到格局 吴军老师好： 今天是数学通识课的第一次复盘，本来还以为老师会把两个模块的知识再穿一下，做一个升华。没想到老师却语重心长的讲起了自己学习高等数学的心路历程。仔细品味，原来是自己的格局小了，将思维局限在器的层面，而没有拓展到用数理见识去指导人生，惭愧…… 其实从学习吴军老师的《谷歌方法论》开始一路走来，老师强调最多的用什么样的眼光看待世界，用什么样的占位面对未来的问题。借老师的两本书名讲，就是如何用方法逻辑提高见识，如何用人生阅历撑大格局的问题。两年多点时间，老师一直在做的事情，开的课程无一不是围绕着这一主题。 老师的用心良苦我体会得到，同时我也为得到的同学们庆幸，良师益友好找，人生导师难寻。 回到这节课的内容，老师用过来人的九个体会升华了我们对数学思维本质的认识，目的是使我们跳出计算学习数学，抛开公式和定理运用数学。让我们能够从现实到抽象，在用抽象去指导现实，手中无剑，心中有剑，形成至远，言出法随。用有穷与无穷、动态与静态、聪明与精明、现实与虚幻、存量和增量、直觉和逻辑、概念和表述、朋友与对手，以及得到与失去九个方面的框架，为我们勾画出了人生的智识边界和清晰的发展路线图。 过来的人都知道，大学学习的课程带到工作中，能够用到百分之五十的就算很多了，过了十几年可能百分之八、九十都会忘记。但我们的大学学习真的是没用的吗？不然，不仅十分有用，而且无可替代。通过吴军老师的课程我们就可以看到，大学交给我们的绝不是知识上的堆砌，而是思维上的升华。是见识，是格局，是面对未知问题时的思维方法，是应对不确定问题时的本能。我们从大学的教育中得到的不是静态的财富，而是动态的不断进阶和升华的学习本能。而这才是我们更具竞争力的内核。 得到是一个终身学习者的乐园，昨天我们欣喜的看到了得到与清华五道口的联合，今天吴军又推心置腹的为我们设计人生，还有宁向东老师等等一系列出自清华的老师，让我们看到了清华对民族发展的责任。 宁向东老师过，清华的校训是“自强不息，厚德载物；独立精神，自由思想”，但他更认可的是位于清华园内一块石碑上刻着的四个字“行胜于言”！ 通过上面的一幕幕让我们真正的感受到，清华人，他们真的是把中国扛在肩上，负重前行。 感谢老师，感谢清华！ 启航 2019年11月19日晨11月20日
7 赞有穷与无穷，未知与已知 静态和动态，发展的眼光看问题 精明与聪明，小聪明与大智慧 现实与虚构，虚实结合，解决问题 攒钱和赚钱，提升成长率 直觉与逻辑，直觉可能对，逻辑不会错 概念与表述，掌握更多清晰准确正确的概念 理性的对手会成就我们 科学与技术，荣誉与财富，科学无国界，技术有边界。11月20日
6 赞真惊讶自己跟到了现在，学习了数学的概念，理解了无穷和趋势，高阶与低阶，都听懂了，算是知道了“微积分”的概念了吗？11月20日
5 赞我们常说“贫穷限制了想象力”，其实贫穷不会限制想象力，贫穷的人可以胡思乱想，但是他们在某一些维度上的经验极少，以至于让人觉得是刘姥姥进大观园。 而是凭空想象的世界完全不靠谱，胡思乱想不会增加自己的智慧。 老师这段话真是一语点醒梦中人，我时常就胡乱想像，认为人都有无穷潜力，只是还没有触发。回想一下自己的过往经历，和看周围人在一些事上的表现，完全是做了很多无用功，通俗一点说就是力气没有花在点子上。 做销售的要有狼性，只有狼性就可以成就大单子，不顾及客观事实和行业平均水平。 朋友做微商发展了几十个人，就很难在增加了。于是就加大力度发朋友圈，发优惠券。这个对应数列关于增长的问题。 同事喜欢用无添加的洗漱物品，说纯天然，不刺激皮肤，却忽略了产品质量和产品功效问题。科技史纲60讲里面含有一种物质，和这种物质可以实际应用，还有很多路要走的。11月20日
4 赞#数学助教# 复盘 刚结束上一个工作，开始看文章，确定下一个要做的问题，读博这一年多来好像都是在“找问题—做问题”中不断循环，不幸地是，我好像都没有真的遇到一个感兴趣的课题，没有持续将一个问题做深做全，遇到困难时缺少动力去支撑自己克服。可能是理论研究中繁琐的推导证明，让我慢慢看不到了其中的乐趣，有的时候会想，数学真的那么有用吗，数学研究会给我们带来什么， 数学中得到的理想结论能用于现实生活吗？ 可能从事理论研究的人会不时地思考这些问题，反正我是这样的，希望自己做的东西能有价值，这样才更有动力做下去。在吴军老师的课程中，我找到了一些******，看到了不一样的数学，很多原本很抽象的数学概念和我们的生活竟然有很密切的关系，学东西不能只看表面，清楚其来源，知道其优缺点，遇到问题的时候才会想到合理使用。 （1）数学确实很有用 数学是知识，是工具，也是一种思维方式。数学对我最大的影响是解决问题的思维方式——先归类，再解决。面对一个问题时，首先看Input（已知什么信息、有什么前提假设）和 Output（有什么要求，想要达到什么目的）分别是什么，然后判断这个问题属于什么问题，有没有类似的问题，接下来再找方法去解决它。 （2）数学理论会用于现实生活中 <有穷与无穷> 之前只知道无穷的出现是为了扩充数域，很多有限的结论可以对应的推广到无穷情形，但是实际上，有穷和无穷有本质区别，有限世界中的方法在无穷大的世界里可能并不适用。在现实生活中考虑问题也是，不能因为个人见识短浅就以为自己看到的便是整个世界，知道自己的知识有穷尽，不断学习，对未知充满敬畏。 <静态与动态> 动态更接近真实的世界，但动态意味着变化和不确定性，这对数学的研究提出了新的挑战，也是当前研究的热点，利用随机性和重复性，考虑在一个周期内，期望意义下的结果。 <现实与虚拟> 很多数学工具是建立在虚拟概念上的，如虚数的定义；很多数学结论是基于理想性的假设条件才成立的，但这并不代表这些结论没有意义，研究都是从简到难，有简单的结论出发，不断增加各种约束条件，寻找工具解决，让这个结论逐步接近现实情况。11月21日
4 赞这门课学到现在，再结合我以前学数学的经历，我有这样一些体会： 1. 工具与思维 数学本身是个很好用的工具，小道平常买菜算个价格，大到航天器在空间里的运行，都需要数学在背后做支撑。 但数学的工具性绝不仅限于此。万维钢老师之前解读过《模型思考者》，里面就有基于数学模型的思维方式；对数学表述与理论证明的理解，也会塑造我们的逻辑能力，为我们提供更多的思维角度。 2. 认知与思想 除了为我们提供思维的角度、思考的工具，数学在更高的层面上，启迪着我们的认知，这一点在学习微积分的这一模块尤为突出。理解无穷大的趋势与比较，无穷小的始终接近、从未到达，不仅是思维与工具层次的事情，更是让我们加入“变化”的视角来看问题。 之前听傅佩荣先生讲过，学习哲学就是学习哲学史，这句话放到整个人类的思想与上，道理也是一样的。我们在学习无穷小概念的时候，了解到了对这一概念认知的演变与扩展，这是人类认知的进步；而我们个人的认知进步，某种意义上就是这种“全人类进步”的浓缩。今天我们对无穷小的认识，要超过牛顿和莱布尼兹，更远超之诺那个时代的人，为什么？就是因为我们站在前人的肩膀上，将千百年来人类思想与认知进步中的精华，浓缩到了我们自己的身上——我认为这也是老师之前讲过的，科技“叠加式进步”的基础动力。 学习今天的数学，掌握其中的认知，就是带我们走上进步的“快车道”。 3. 意义 老师在这次复盘中，谈到了人们依靠虚构之物作为实体媒介，来解决各种问题。在这里我们实际上是赋予某种想象以“存在的意义”，并将这种意义分享给其他人。但虚构之物与意义都是抽象的，不抽象就无法深入思考，而学数学，就是帮助我们深入到抽象世界中的最好工具。不仅数学本身就是理解虚构的帮手，学习数学获得的抽象思考能力，一样能帮我们去理解，这个由想象、观念与意义构成的世界。 而就我个人学习的体会来讲，一门学科的“意义”也很重要。我记得自己在大学学习线性代数的时候，就遇到过与老师学习微积分时类似的困惑。面对这门课，虽然知道它（可能）对我以后的学习、工作很重要，但就是不知道该如何理解它。如果能在一开始就知道，是什么场景下，为什么要用到线性代数，这个学科作为工具、作为思考的方式，又能为我们带来什么，也许学起来会更有方向性。了解这门课的意义，不仅在于理解“为什么”学它，也在于这些意义，能为我们搭建学科认知，提供一个“抓手”。11月20日
4 赞回忆求学生涯，从小学到初中期间，我的数学成绩也是名列前茅，那时我对数学很有兴趣。不过到了高中阶段，数学成绩就如自由落体运动一般，很长时间不见起色。自此我备受打击，对数学就不感冒了。 现在回忆往昔，小学至初中期间，那时的数学内容与现实紧密相连，凭借直觉与简单的逻辑，再加上题海战术，就能取得不错的成绩。而到了高中阶段，这时的数学内容就渐渐脱实就虚，需要较强的逻辑思维与理解能力，再加上查缺补漏与针对性的练习，才能取得不错的成绩。总之小学至初中期间，孤立、静止的思维方式可以适应那时的数学学习。那时的学习进度为高阶无穷大，教学进度为低价无穷小，两者相乘，学习效果还是低阶无穷大。到了高中阶段，只有动态、发展的思维方式可以适应这时的数学学习。由于思维方式的不匹配，这时的学习进度为低阶无穷大，教学进度为高阶无穷小，两者相乘，学习效果为0。 以上分析是我跟随老师学习课程的重要收获之一，明白了问题的原因，我就可以据此改进方法，不断迭代自己。11月20日
4 赞上大学的时候，我的数学老师没有像吴军老师这样讲解极限、无穷小和无穷大的概念。我现在还记得，我们班数学老师在讲解极限这个概念的时候着急的神态，她就是照着课本读，将极限的概念读了三四遍。也因为那节课，我们没有再去上这个数学老师的课，我选择了自学或者跑到其他数学老师那里听课。 我们年轻的时候无法获得对数学高屋建瓴的感悟，都采用的是学完概念和公式就直接做题，这种方式学数学会感到很枯燥无味。 但问题来了，我们如何才能将这些数学概念与生活工作联系起来，并将数学工具和思维方式用到生活和工作中去。11月20日
4 赞吴军老师的课程几乎都是在不同的角度，讲述我们所处世界的骨架，清晰简洁，听起来很舒适，能够轻松解除我多年的疑惑，所以我建议吴军老师的每个音频大家都听一遍，再看看每课的留言区，就会发现世界多美好，也许还能解决抑郁的心理问题11月20
4 赞之前数学学得不好有两个原因。 一、误区不能被纠正导致不能正确理解概念。当初学习时也不太重视概念，而只是解题的奇技***巧。 二、无法想象真实的应用场景。在学校里基础学科的应用，多数时候真是要靠想象。不是现实的问题，就激发不了学习的动力和兴趣。 曾以为数学成绩好的人是资质禀赋高，实际上不绝对。所谓“君子性非异也，善假于物也”，如果能借助外界隐喻理解数学概念，借助实际应用强化实用性，相信大家都能找到数学正确的打开方式。11月20日