你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。从这一讲开始，我们进入第三模块几何学的学习。
虽然几何学被认为是中学最难学的数学分支，但是它却是继算术之后，最初发展起来的数学分支，比相对简单的代数学要早上千年。
那么人类为什么要先难后易发展几何学分支呢？简单地讲是实际需要。几何这个分支的发展过程，反映出人类认知的进步过程，因此我们有必要简明地回顾几何的发展史，看看人类是怎么样总结规律的。
我把几何学早期的发展分为三个阶段。
第一阶段是从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识的过程。
今天英语所说的“几何”一词geometry源于希腊语，它是由“土地”的词根（geo）和“丈量”（metry）一词合并而成。顾名思义，几何最初确实源于对土地的丈量。
当然，几何学传到古希腊已经是很晚的事情了，它源于更早的古埃及文明的初期。早在6000年前，埃及人为了农业生产，就发明了天文学和几何学。
我们知道文明的标志是城市、书写系统和冶金，在此之前，文明的标志则是农业。这部分内容，我在《科技史纲60讲》中介绍过，有兴趣的朋友可以回顾那门课的内容。
无论是农耕还是建筑，都离不开土地丈量、基本图形尺寸的测量和计算，这方面知识积累多了，就形成了几何学的常识，注意我这里用的是“常识”，而不是“理论”。
我们先来说说古埃及的农耕和几何学的关系。古埃及农业发达的基本条件有两个：
- 完全依靠尼罗河洪水每年泛滥后带来的肥沃土地。它的农业生产过程是这样的：每年尼罗河洪水退去后，他们就在洪水淹过的土地上耕种，但是耕种之处又不能离河床太近。因此他们要计算河水在一年不同时间的边界。
- 有明确的播种和收获时间。既不至于播种太早，洪水依然没有退却，又不至于播种太晚，以至于误了农时。
这些事在今天看来是再容易不过的了。比如我们可以到了春分节气左右播种，到了夏至左右收获就可以了。至于河水涨落的边界，我们记下12个月它涨落的边界变化即可。但是这两件事在古埃及并不容易，因为在没有准确的计时工具之前，我们人是无法通过身体感受来体会一年四季具体的时间的。
找到每一年开始的基准时间，对于古埃及人来讲就是一道几何学问题。当时没有钟，所以了解时间就要靠观测星象，看看新的一年是不是又开始了。古埃及人把太阳和天狼星同时升起的那个时间算成一个大年（天狼星年）的开始。
这个方法也是非常有道理的。由于地球围绕太阳转，每天同一时刻从地球上看天狼星的角度，会有不同。但是当地球转回到去年的位置，看天狼星的角度就相同了。
在图中，地球回到了能同时看到太阳和天狼星升起的公转位置时，就被确认为一年的开始。
之所以选天狼星，是因为它是天上除了太阳最亮的恒星，而且在天上的位置是固定不变的（其实也在非常缓慢地变化）。古埃及人就算出来这样一个周期是1461天，地球就又回到了原来的位置，也就是我们今天的四年时间。
由于古埃及没有闰年，它无法每四年校正一天，于是便采用了每1460个阳历年增加一年的方式来校正。也就是说古埃及的1461年，等于今天的1460年。古埃及人把这个1461年的大循环周期，叫做一个天狼星年。然后，古埃及人就按照这个周期，编制了一个八万多年的大历法，有了这个历法，什么时候播种，什么时候收获就清楚了。
从这个例子可以看出古埃及人对几何学的角度和圆有了感性的认识。
促使古埃及几何学发展的是大规模的城市建设，包括建造大金字塔。在修建胡夫金字塔的年代（距今大约 4600 年），他们就知道了勾股定理，对圆周率也有了初步的了解，他们估算出的圆周率为3.16，和真实的值相差不到千分之一。
他们在大金字塔上留下了很多几何关系，向我们表明他们的几何学成就。这可以认为是几何学发展的第一个阶段，从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识。
几何学发展的第二个阶段和第一个几乎是平行的，就是生活在今天伊拉克境内的美索不达米亚人发明了角度量化的度量。
我们知道平面几何所需要度量的最主要的对象，一个是长度，另一个就是角度，前者比较直观容易，后者比较难。美索不达米亚对几何学最大的贡献在于发明了量化度量角度的方法，就是我们今天360度的原则和角度上的60进位。
美索不达米亚人对几何学的研究，也源于占星或者天文学的目的。占星在早期可不是算个人的运势，而是和农业生产有关，星空不同位置和地球上一年某个特定时间有着一一对应的关系。而在地球上一年特定的时间，植物和动物都会处于类似的生长繁衍阶段，因此古代美索不达米亚人就把天上星星的位置和地上发生的事情联系起来了。
那么美索不达米亚人又是怎么标记星星的呢？早在苏美尔人统治那里的时期，他们就发现每个月看到的星空会有十二分之一的差异，于是他们就把天空分成了12份，每一份用一个有代表性的星座来代表，这就是今天12星座的由来。
由于一个月大约有30天，于是他们就把一年看到的天空，又分为了12x30=360份，每一份就是我们今天说的一度角。我们今天学习几何学时可能会有一个疑问，一个圆为什么有360度，而不简单定义为100度？原因就来源于美索不达米亚早期的几何学。
当然，以360度作为进位的基本单位太大、太复杂，他们选用了它的1/6，即60为进位单位。60这个数在数学上特别漂亮，因为它可以同时被1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30和60整除，因此使用很方便。60进制也就这样产生了。
几何学发展的第三个阶段就是用书记录他们所发现的规律。这样知识就便于传播。
今天存世最早的几何书是古埃及的《莱茵德纸草书》，它成书于公元前1650年前后。不过该书的作者声称，书中的内容是抄自古埃及另一本更早的书，那本书写于公元前1860—公元前1814年之间。这样算下来，世界上最早的几何学文献应该在3800年前，这比殷墟甲骨文的历史都长。
相比之下，代数的历史则短很多，到了古希腊时期才基本定型下来，相差了至少一千年。在人类的早期文明中，肯定有很多算术解决不了的问题，那么怎么办呢？说起来很有意思，古代文明的人会用几何学的方法来解决本该属于代数的问题。
在美索不达米亚出土的泥板上，也记录了当时人们总结了非常多的几何学知识。比如在古巴比伦王国（公元前1894—公元前 1595年）留下来的大约 300 块泥板上，记载着有关各种几何图形的计算方法。
比如在平面几何方面，他们掌握了各种正多边形边长与面积的关系。他们尤其对直角三角形和等腰三角形了解较多，并掌握了计算两者面积的方法，他们还知道相似直角三角形的对应边是成比例的，等腰三角形顶点垂线平分底边。
值得一提的是，他们也知道了勾股定理，给出了很多组的勾股数，其中一组最大的勾股数是（18541，12709，13500），发现这么大的一组勾股数非常不容易。当然知道了勾股定理就有可能利用它来计算一个数的根号，美索不达米亚人也这么做了，他们算出根号2大约是1.41。此外，古巴比伦人还给出了一些角度的三角函数值。
那么几何学又是怎么传到古希腊的呢？美索不达米亚有一个特别喜欢外出经商的民族——闪米特人，他们是今天犹太人和阿拉伯人的祖先。闪米特人的一支腓尼基人在地中海沿海和很多岛屿建立了殖民地，并且把美索不达米亚的科学传播到各地。
直到毕达哥拉斯的时代，美索不达米亚人和腓尼基人建立的殖民城市，科学和艺术水平远高于希腊诸岛和本土。各地的人们都到那里学习数学、天文、科学和艺术，毕达哥拉斯也是留学生中的一员。受益于腓尼基人对知识的传播，数学，特别是几何学传到了希腊文明圈，并且在那里形成体系。
在毕达哥拉斯学派的手中，几何学逐渐成为单纯基于逻辑推理的数学工具。到了公元前4世纪—公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得等人完成了对几何学公理化体系的构建，并且写成了《几何原本》一书，关于这个公理化体系，我们明天再讲。
通过早期几何学3000年的发展，我们可以看到它经历了三个阶段：首先，从懵懂的感性认识到量化的感性认识，其标志就是通过几何学确立了一年的长度。接下来，确立角度的单位。这两步都和天文学有关。
最后，把知识总结记载下来。这个过程也是我们应该学会的认知过程。我们人通常缺的是第二步，对新的事物不知道如何定义度量单位，而没有这一步，总结出来的知识就难以准确描述，只能大概定量描述。
当然，最后几何学变成一个公理化的知识体系，人类发现各种引理、定理和推论，主要是希腊人的功劳。这个过程反映出人类认识从具体到抽象，从简单事实，到完整理论的过程。
那么为什么是古希腊人，而不是更早的古巴比伦人完成了几何学理论的构建呢？一般认为，希腊人对物质生活要求很低，把大部分时间用于了理性的思考和辩论，这让他们能够从知识点中抽象出概念，然后形成体系。
另外，古希腊没有强权的政治，这让学者可以仁者见仁，智者见智，这才有利于科学的发展。这两点也给了我们一些启发。
至于几何学公理化体系是如何建立的，有什么特点，它为什么特别重要，我们下一讲再讲。我们下一讲再见。
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100 赞#数学助教# - 几何学起源的启示 【量化与记录】 定性感知，相当于一种“误差”极大的“测量”，虽然节省了认知成本，但却难以进行深入的推演。 因为层层的推演会使得误差累积，最终的结果将与实际天差地别。 记录“经验”，相当于在你探索知识的道路上插上“路标”。 正是因为古往今来的求知者记录下了自己的“发现”和“经验”，在探索科学技术的道路上插上一个个“路标”，后来的我们才能在它们的引导下少走弯路。 记录，包含的不仅仅是“到此一游”，还有“小心有坑”。 量化与记录，科学才有可叠加式的进步。 【自由与创造力】 为什么是古希腊人，而不是更早的古巴比伦人完成了几何学理论的构建呢？ 因为古希腊没有强权的政治，学者们更加自由。 自由是创造力的前提，越是复杂的事情，就越是需要有尊严有自由的人。 这就是为什么没有自由的奴隶，建造不出复杂宏大的金字塔，因为金字塔的建立，是一个复杂而庞大的系统工程。 # 同样，这也是为什么中科院的老师们都不用定点上班打卡……11月21日作者回复你最后一句话亮了。11月21日
16 赞这节课的内容让我对进制产生了兴趣，上网学习了一下。 1、十进制。很显然，不同的文明都各自演化出了十进制，因为人有十个手指。这样的好处是计数方便。 2、十二进制。这个进制的来源可以有两个。一个是人的手指有十二节(除大姆指)，这个好处是比十个手指数得多。另一个是天文观测，最自然的就是一年可以看到十二个满月，这个好处是便于历法计时，指导农业耕种。 3、二进制。这个大家都知道，主要是用在计算机上，原因是电子开关实现二进制最为方便，而且也有成熟的理论与之配合，如信息论、布尔代数。 4、十六进制。该进制目前也主要用在计算机上，由数字0～9加上字母A-F组成，目的是解决二进制读取、记忆的不便问题。 5、六十进制。该进制源于两河流域人们的天文观测结果。在美索不达米亚时期，人们真的使用了59个不同的符号来表达六十进制。使用六十进制同样是为了历法和耕种。 除了以上这些，还有圆周角360度，时间24小时，这些都源于生活观测，目的都是方便使用。但中国有一个进制就比较奇葩了。 我们有个成语叫半斤八两，意思就是两者相等，换算一下就是十六两等于一斤，中国古代对重量使用的居然是十六进制！但它的来源却不是生活观测，不是为了方便。 来源一：秦始皇统一中国后，李斯统一度量衡，借用“天下公平”四个字的笔划，确定称的进制为十六。 来源二：古人将杆称上每一两的刻度对应了一颗星名，从称头至称尾分别是北斗七星、南斗六星、寿星、禄星、福。喻意是，少一两无福，短二两无禄，缺三两折寿。 无论哪种来源，都是为了表达人们追求诚信的人文精神。但实际使用很不方便，为了使用算盘进行计算，古人还发明了各种口决。 十六两制在中国使用了两千多年，我的老父亲都还学过、使用过十六两制。1959年，我国终于废止了十六两制。11月21日作者回复十六进制世界各国都有，来自天平11月21日
24 赞数学的进步依靠的是人类解决现实生活中的问题，推广到任何知识都是如此。 我们首先有了感性的认识，然后为了精准描述问题，甚至解决问题就需要对问题有量化的认识，这是知识发展的必要过程。 如果把认知分为三段历程， 1，是什么 2，为什么 3，怎么做 感性认识属于认知阶段，而量化属于怎么做阶段。虽然几何学是抽象的，但它仍旧是现实的产物。比如基本的几何图形金字塔形，正方形都是如此。人类有想象的能力，也有从现实世界总结规律的能力。11月21日
23 赞前段时间陪我女儿上一年级学而思的数学培训班，练习数三角形的个数，其实就是大部分三角形与其它三角形会共用几条边，这是在训练观察能力和空间想象能力 有趣的是里面有一道探索扩展题，让观察并找出生活里的三角形和正方形，我指着书房的门说找一找这里有多少个正方形（门上面有正方形的几何凹凸图案），女儿观察了半天，疑惑的摇摇头，说找不到。我按压住内心的失落，指着正方形的图案，说：“看看这里”，有没有，女儿仍然茫然的摇摇头，说没看到 我只好用手比划着，隔空描画出正方形的轮廓给她看，谁知她淡淡的说：“那不是正方形，正方形的角是直的，这个角是弯（有弧度）的”，我突然意识到，我已经把四个角有弧度的正方形抽象成标准的四个直角正方形了，她的抽象思维能力还没有发育那么快 所以，她是对的 ，那不是一个标准的正方形。我也是对的，我在用几何学的抽象思维视角在观察正方形 几何是高度抽象的学科，高高度抽象的思维方式，因为高度抽象，所以在生活里的应用范围很广，产生的实际指导作用很大11月21日
16 赞#数学助教# #模型简化和误差累计# 古埃及人很厉害，通过太阳和天狼星的位置关系，测算出地球的公转周期大致是365.25天，和实际的365.24误差1e-6数量级。古埃及历法是每年12个月，每月30天。多出来的5天放在年末作为“节假日”，依次对应冥神 太阳神 黑暗之神 生育女神 死亡女神的生辰(这5个也挺有意思，现实世界-冥界 光明-黑暗 生-死)。对于历法的每年和实际公转周期的误差，是每1460年（365*4)，多1年。从简单性的角度来说，古埃及人还不错，每月天数固定，多出来的5天有文化因素。但是在误差累计和消除方面，天狼星历明显不足。天狼星历累计的误差要每1460现在的年（1461古埃及年）才能消除一次。虽然说，短期内积累的误差可能对农业无所谓，但是时间长了应该还是会有比较大的影响。360年会积累90天（大约一季度）的误差，这个误差应该会对农业造成不小的危害。不知道古埃及王朝普遍都是几百年的寿命，是否和误差积累导致的农业相关问题有关 古希腊的历法，根据地月周期计算月。每月29或30天。常年354+-1天，闰年384+-1天（多一个月）。光看这么混乱的规则就知道古希腊的不如古埃及的。但是在累计误差的消除上却好一些，因为每隔几年就要消除1次。虽然精度不行，使用麻烦（经常要调整）但是累计的最大误差相对来说比古埃及历小一些（古埃及最终要累计到1年的误差） 古罗马最初的历法是根据古希腊的来的，后来凯撒根据埃及天文学家索西琴尼的建议，设立儒略历。儒略历也是按照365.25天，每年12个月，单月大，双月小，平年2月29天，闰年2月30天。凯撒的继任者奥古斯都，又把2月减少一天，多加一个大月（7月July 8月August分别对应Julius Augustus）。儒略历虽然精确度上比古埃及历更好，但是自身没有设置清楚误差的机制。导致到1582年，误差累计到了10天，已经对农业生产造成影响。教皇教皇格里高利十三世再儒略历基础上进一步修改，先消除10天误差，然后对于百年的，整除400的才闰，也就是现在的历法。目前的公历误差是多少？每年大概26秒，大越3000年误差1天。至于这个误差什么时候消除，今天的人可能不需要为此烦恼，毕竟生命有限11月21日
13 赞从小，我们的课程安排就被分类了理科和文科，好像就得隔绝一样，不可相见。再加上一门心思得遨游在各种题库、逻辑推演和抽象概念里，更没时间去了解历史，这里面就包括数学本身的历史。所以，今天的课程真是耳目一新。原来数学的发展是需要“千年”的尺度来衡量，这过程里面所面临的各种现实问题和困难，驱动着人类不断去探索数学，然后数学反过来支持着人类文明的发展。今天伤感的是，之前学数学，除了数学本身，为什么就不把它的历史、发展和对文明的贡献一起学习了，就只剩下干瘪的骨骼（精华），缺少血肉（历史）的丰润。 略感欣慰的是，终于可以补上这缺失的一课。 期待“最喜欢的几何”开始。11月21日
12 赞#一起学数学 DAY20# 终于讲到古希腊了。在古希腊人的眼中，几何学几乎是他们的世界观。认为万事万物都应该是美的，有逻辑的。 古希腊人不用宗教而是用规律和法则来理解世界，那对人来说世界是什么呢？ 是要素之间的相互性、对称性、可逆性，把万事万物理解成符合某种比例的状态，所以理性这个词又叫做ration，它和ratio，比例这个词非常接近。 古希腊人把这种几何特性，拓展到了社会生活的方方面面，比如亚里士多德讲政治上的平等，就分成了数量的平等和比值的平等。 万事万物都直接蕴含着相互关联、比例、对称的几何学性质，只有这样，规律和法则才不会是神秘的，才不会被神的意志支配。 这样的世界当然就是合理的、有美感的、整体上的结果是和谐的，而不是混乱的、丑陋的、相互打架的。11月21日
11 赞古罗马人用天空丈量土地 昨天刚刚学习了每天听本书的《达芬奇的幽灵》，里面介绍了奥古斯都时期维特鲁威们是如何开展古罗马的重建工作。 那是一个还没有尺子和度量衡的年代，古罗马人用天空测量土地。听上去很神奇是吗？测量过程更神奇：建筑师在深夜站在山顶之上，遥望着弧形的地平线，从弧形的顶点处垂直往上，在夜空中寻找所谓的“宇宙支点”。古罗马人相信，天空是靠着四个宇宙支点支撑的，正是因为这四个支点的存在，天空才不致分崩离析。古罗马人靠着他们独特的方法寻找到这四个支点，然后依据天空的划分测量土地，设计城市。两幅图非常相似。就这样，一座起源于天空的城市诞生了。古罗马的人民相信，这样一来，他们的生命便和宇宙的神圣秩序相符合。他们的南北大道，是天体的旋转轴，他们的东西大道，跟随太阳的运行轨迹。罗马城将坚不可摧。11月21日
10 赞推动几何学在中国发展的第一人，应该归功于明朝科学家徐光启。他也可以说是中国开眼看世界的第一人。他在考进士落榜后，拜访老师的过程中，认识了来中国传教的利玛窦，自此两人成为了好朋友，徐光启也顺便找到了自己的信仰——天主教。在与利玛窦交往的过程中，徐光启阅读了欧几里得的著作《几何原本》，这本堪称现代数学基础的书给他带来了不小的震动，遂与利玛窦建议两人合伙翻译这本著作，让人知晓数学有多重要。他们只翻译了六章，中文本是在1607年出版的。外文本中的很多数学专有名词全靠徐光启体悟，中文本中的很多数学专有名词如点、线、直线、曲线、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……，都是被徐光启与利玛窦定下来的。 所以推动中国几何学第一个重要的、历史性发展的人是徐光启。11月21日
9 赞吴军老师曾经对于数学的比喻，令人印象深刻。吴军老师曾说，“数学是所有人的最大公约数”。“最大公约数”这个比喻实太贴切了，即使人与人的道德不同、文化不同、语言不同、相貌不同，但对于“数学”的原理，都是认同的。比如吴军老师举例的，“欧式几何的五条公理”。11月21日
9 赞几何学的诞生，可以说正是人类社会生产和生活的需要所致。随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识。之所以是古希腊人对几何学知识加以系统性的总结、归纳，逐步充实提高为一门完整的学科，是于古希腊人独特的生活方式有关的。希腊人自古以来，对于物质的欲望就不是很强；古希腊人的饮食就非常简单，每餐就是一点面包、一点橄榄油以及一些很淡的葡萄酒。同时，古希腊的自由民或多或少都会有些奴隶替自己工作，这些自由民有大量可支配的自由时间。虽然用如今的眼光来看，希腊人的这种低欲望和较为随意的生活态度，并不利于经济的增长；但是，在古代，这样的生活方式却让他们有更多的时间去对很多哲学和科学的命题，进行深入的思辩，进而创造出人类历史上极少有的科学和艺术成就。可以说，几何学理论的构建，正是古希腊辉煌灿烂的文明的体现，也是古希腊对于人类科学的重要贡献之一。11月21日
6 赞就喜欢吴军老师讲故事一般讲出的人生道理，很受用。11月21日
6 赞#一起学数学 DAY20-2# 为什么是古希腊人？强烈推荐搭配李筠老师讲希腊一起食用。 理性是人有意识地认识事物、查明事实、展开推理的能力。 这句话你需要把握三个要点：首先是你得“有意识”，就是积极主动地去认识和理解世界。哲学在希腊文里不是智慧，而是爱智慧，所以，亚里士多德特别看重人的好奇心。 再来是“认识事物、查明事实”，就是去发现表象背后的真实，透过表面看实质。 最后你要“展开推理”，就是要抽象地建立事物之间的联系，不是等着事物变化或者别人告诉，你才知道。而是在事情还没有出现、还没有发生、还没有别人告诉你，就可以知道。当然，这不是巫师卜卦、也不是胡乱瞎猜，而是借助思维规律去证明，这就是逻辑。 古希腊思想的三大特点 如果理性成为一个文明的普遍特征，这种文明一定会产生你意料不到的特色。法国历史学家韦尔南，就总结出了古希腊的思想的三个特点： 第一，古希腊形成了一个外在于宗教、与宗教无关的思想领域； 第二，宇宙的秩序不是建立在神的难以捉摸的意志之上，而是建立在规律和法则之上； 第三，这种思想具有明显的几何学性质。11月21日
5 赞几何学发源于古埃及和美索不达米亚两地，是在对天文的观测中逐渐起步的；之后经验化的知识被提取并传播，到了古希腊人的手上再进行抽象化的整理，成为了一套完整而普适的几何学理论。 这其中包含着的，是一个知识传承、发展的“社会分工”过程。古埃及和美索不达米亚从事农业生产和天文观测的人，用今天的话讲就是“生产第一线”，他们了解真正的需求，也掌握这实际的操作能力，擅长收集经验、实操反馈。但是将零散的知识进一步抽象，却并非他们所擅长，而是需要古希腊人这样，有钱有闲、不贪恋物质、又有精神追求的群体来完成，同时也需要一个，像雅典城邦这样包容多元思想的社会，来接纳这些知识的产物。 这里获得的启示，我认为主要有两点： 1. 多元开放，始终是利于全社会精神世界发展的，这既需要政府的努力，也需要民众更加理性地看待各种观念。 2. 知识的发现、发展和运用，应当是一个高度分工的“产业链条”。现如今美国的大学、风投、企业体系，就是一种高效的分工协作。我觉得对于我们个人来讲，能做到的就是从不同的人身上，发掘不同的知识，关键要看各自擅长的领域，而不是不加筛选的接受。11月21日
5 赞吴军老师，其实回到数学本质：数学是为了解决问题而出现的。因此几何学其实是另一种最简单的工具，帮助人类解决很难的问题。 我发现每一个有关数学的故事都会有这样一个规律： 发现问题——观察问题——思考如何解决问题——新数学工具诞生——被后人记录下来继续探索优化。 因此，学习数学不是只要会计算就行，学会把它用于生活中解决问题，才会对数学有更深入的认识。比如前面提到用数学知识算买房贷款时，那种方式更划算。还有投资的时候，也可以用到数学知识。学以致用，才能提升认知。11月21日
5 赞学完今天的课，沿着老师讲述几何学发展历史的线索，开了一个小小的脑洞。 第一、真实需求对科学发展至关重要。因为生存和寻求更有确定性收获的需要，人们积极去探索规律，希望找到神给这个世界制定的运行规则，然后通过观察、尝试、反馈和调整，不断完善对规律的认知。 第二、“有闲”对经验上升到理论的重要作用。忙于生存的人们只能靠经验口传心授，没有空闲的时间和资源去把经验进行总结凝练，从而形成较为完整的理论体系，使其具备更强的可迁移性。 由此得到，我们既要积极实践，又要在把握节奏的同时，停下来深入总结反思，不断提升认知水平。11月21日
3 赞数学历史，听起来就是舒服11月21日
3 赞其实，十二星座的具体起止时间，和中国的二十四节气是对应的。比如说，白羊座一般是从3月21日开始的，而2019年的春分刚好就是3月21日，这不是巧合，2020年的春分是3月20日，那么2020年的白羊座就应该从3月20日开始。 一开始我还不太清楚这是为什么，现在明白了，因为毫无疑问二十四节气是用来指导农业生产的，而十二星座最初也是用来指导农业生产的，所以二者才不谋而合。至于再关联到人的性格、运势什么的，那就可以断定是迷信了。11月21日
3 赞一般认为，希腊人对物质生活要求很低，把大部分时间用于了理性的思考和辩论，这让他们能够从知识点中抽象出概念，然后形成体系。 另外，古希腊没有强权的政治，这让学者可以仁者见仁，智者见智，这才有利于科学的发展。这是最后的总结，很深刻，很现实，很11月21日
2 赞吴军老师在《科技史纲60讲》中讲：历史总在重演，科技永远向前。科技有可叠加式的进步。 科技起源于文明。科技的发展依赖于文明的进步，反过来也会推动文明进步。很多技术或者理论，最早都是从农业文明中，在解决问题的过程中产生的。几何学最初是为了丈量土地，现在已经发展出了多种分支，在科技领域有了更广泛、更深入的用途。占星术和星座最早也不是用于“八卦”，而是用于农业生产。后来逐渐形成了天文学。 后人永远在前人的肩膀上不断向前探索，推动历史不断向前。11月21日