你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。我们继续几何学的学习。
说到几何学，大家就会想到欧几里得几何，以及他那本影响至今的数学书《几何原本》。这本书的完整性和严密性令人叹为观止，2000多年后的今天依然有不少人将它作为数学教材使用。那么欧几里得把零散的几何学知识通过公理化系统统一起来有什么意义呢？我们不妨先看看这样一个实例。
在清朝末年，李善兰等人翻译了《几何原本》的全文之前，中国当时的数学家们估算圆周率还比不上1000多年前的祖冲之（祖冲之推算到小数点后7位）。类似的，同时期阿拉伯学者的水平，也未必能超过他们1000年前的祖先花拉子密。
当然，你可以说祖冲之的方法失传了，不过失传本身就投射出那些学问很难学。其实类似的情况举不胜举，古代东方文明经常是后人不如前人，很多研究都得一遍遍从头再来，这导致了科学研究在上千年的时间里原地踏步。
但是，《几何原本》传入中国之后，数学面貌就大为改观了。比如，曾纪鸿（曾国藩的小儿子）在李善兰的指导下，自己拿着这本书和入门的代数书学习之后，很快成为了数学大家，并一口气将圆周率推算出200位，这就是系统学习成体系的知识所带来的好处。同时也说明像《几何原本》这样的系统著作在传播知识上的便利性。
那么为什么公理体系的数学理论那么厉害呢？简单地讲，再难的数学题，都可以通过一个个定理，不断地被拆解成一些比较简单的问题，并最终被拆解为几个基本的公理，只要把那些小问题解决了，难题就解决了。
因此，掌握了这样一些基本方法，不仅各种应用难题都可以得到解决，而且还有可能推导出新的定理。具体到几何学，它就是建立在下面五条一般性的公理（也被称为一般性概念），和五条几何学公理（也被称为公设）之上的。其中五条一般性的公理分别是：
- 如果a=b, b=c, 那么a=c；
- 如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;
- 如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;
- 彼此能重合的物体（图形）是全等的;
- 整体大于部分。
看了这些公理，你可能会觉得它们都是大白话，但是在数学上，什么事情都不能想当然，都要有根据，如果一个结论实在找不到根据，它似乎又是符合事实的，只能称之为公理了。当然，如果是能够从其它公理推导出来的结论就不是公理，而是定理了。
对于几何学来讲，它还需要一些和几何有关的公理支持它（它们也被称为公设，我在课中称之为几何公理），欧几里得给出了这样五条：
- 由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；
- 一条有限直线可以继续延长；
- 以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；
- 凡直角都彼此相等（垂直公理）；
- 过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。
这五条公理读起来也是大白话，只有其中第五条是我根据它的含义用我的语言给你解释了一遍，原来的描述非常费解。对于前四条，数学家们都没有异议，对于第五条面对的挑战，我们后面讲。
有了五条基本公理和五条几何公理，欧几里得又定义了一些基本的几何学概念，比如点、线、夹角等等，在这些基础之上，他把当时所知的所有几何学知识都装进了一个极为严密的知识体系。欧几里得构建公理化的几何学的过程是这样的：
首先，遇到一个具体问题，要作相应的定义，比如什么是夹角；
其次，从定义和公理出发，得到相关的定理；
然后，再定义更多的概念，用公理和定理推导出更多的定理；
这样，不断循环，几何学大厦就构成了。在构建几何学的体系中，逻辑是从一个结论通向另一个结论唯一的通道。
接下来，我们用两个例子，来进一步说明上述思路。
首先我们证明一个简单的定理——“对顶角相等”。这一个定理是这样说的：
L1（即AB）和L2（即CD）是两条直线，它们相交于O点，∠1和∠2被称为对顶角（这句话其实是对顶角的定义）。结论：∠1等于∠2：
为了证明这个定理，我们先要证明一个引理：所有直线对应的角都相等，也就是我们所说的180度。大家看到这个引理可能会说，这不是显而易见的吗？在几何学中，除了公理之外，没有什么是显而易见的规律，所有的表述（statements）都需要证明。
怎么证明这个引理呢？我们只能从定义和公理出发。我们要用到两个定义，即垂直的定义，以及直角的定义。垂直的定义是怎么说的？当一条直线L和另一条直线M相交后，左右两边的夹角相等，则称M和L垂直：
在图中，L和M相交后，左右两个角都相等，于是M和L垂直。
那么直角是怎么定义的呢？如果直线L和M垂直，那么夹角就是直角。从这两个定义我们可以得到什么结论呢：就是一条直线自身的角度，等于左右两个直角相加，这是显而易见的。
接下来我们就可以利用垂直公理了。因为任何直角都相等（都是90度），而任何一条线对应的角是两个直角相加，于是，所有直线对应的角都相等（当然，严格地讲，得到这个结论还需要用一次一般性公理2）。
有了这个引理，我们再回去证明对顶角相等。
我们先看图中直线L1，这条直线对应的角是∠1和∠3两个角相加，至于直线L2，它也是两个角相加，即∠2+∠3。
这时我们就可以利用前面证明的引理了，由于任何直线对应的角都相等，因此，∠1+∠3=∠2+∠3。
再接下来，我们利用一般性公理的第3条，等式的两边都减去一个相等的量，它们依然相等。于是，我们将上面的式子两边减去∠3，就得出∠1和∠2相等的结论。
到此，对顶角相等这件事才算证明完，就成为一条定理了。为了方便你理解这个证明过程的逻辑性，我把这个过程中用到的定义和公理，以及它们的前后依赖性，总结成一张流程图：
看到我这个证明，你可能会说，真啰嗦，为什么不直接用量角器量一量∠1和∠2是否相等呢？正如我们在前面介绍毕达哥拉斯定理中所讲的，这样得到的结论不是数学的结论，最多算是实验科学的结论。
在前面我们证明对顶角相等时，我们只用到了定义和几个基本的公理，没有加入任何主观的假设，也没有用到任何公理之外，看似是正确的客观假设。即使对于“凡直线对应的角都相等”这样直观的结论，我们也经过了严格的证明，这样我们得到的定理才坚实。
对于上述定理的证明，我还要多说一句，无论在证明引理时，还是在证明后来的定理时，我都借助了和问题并不直接相关的媒介。在证明引理时，我采用了一条垂线，它在几何学上被称为辅助线；在证明定理时，我采用了一个辅助角（∠3）。
它们都是我为了证明而虚构出来的东西，但是这些虚构的东西对证明实在的事情有帮助。大家如果回想一下我们之前讲到的虚数这个工具，结合今天使用的辅助线和辅助角，可能就更进一步理解数学中虚与实的关系了。
接下来，我们再看看假如有了“对顶角相等”这个定理，还能得到什么其他的结论。我们用它来证明一个新的定理：内错角相等。
当然，在证明这个定理之前，需要先证明另一个定理，被称为“同位角相等”。这个证明我就省略了。同位角和内错角是怎么回事，大家看图，很容易理解。
在图中，L1和L2是两条平行线，L3和它们相交，∠1和∠2是同位角。而∠2和∠3则被称为是内错角。我们要证明的定理说的是这两个角相等。
现在我们有了“对顶角相等”，以及“同位角相等”这两个定理。从第一个定理出发，我们得知，∠1=∠3，从第二个定理出发，我们得知∠1=∠2。于是，我们应用一般性的公理中的第一条，得到∠2=∠3这个结论。这样我们就又证明了一个定理。
通过上面这两个例子，我们可以看出那么复杂的几何学是如何一步步搭建起来的。这样构建一个知识体系有什么好处？对于很多具体的问题，古代东方文明直接解决具体问题的做法或许也行得通，但是问题和问题因为之间没有太强的逻辑关联，那些数学成就就无法形成体系，而且难以举一反三。
古希腊人这种建立在公理和逻辑基础之上的学科体系，能够逐步通过定理建立起完整的理论大厦，后人可以不断在前人基础上进步，并且能够解决越来越多的具体问题，这就是为什么我们要学习几何的原因。
在学习它的过程中，我们能体会一个公理系统的结构和构建过程，以便以后做事能事半功倍。事实上，现代的很多学科，包括人文学科，都受益于这种公理化体系的特点。
要点总结：
整个几何学的基础是十条非常简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。这种严格缜密的思维方式，在古代是古希腊文明所独有的。
在几何学的发展过程中，除了欧几里得，他之前的数学家恩诺皮德斯起了很大的作用，后者明确指出了一般性问题和定理的区别，一般性问题解决得再多，对体系建立的帮助也不大，定理则不同，它们是搭建体系的基石。此后，几何学走向了正轨。
最后，我来分享两点我的体会。首先是如何学习几何，它不在于多做多少题，做练习的目的是理解这个体系中每一个定理的来龙去脉，这样脑子里就有了几何学的导图，遇到新的问题就可以用类似的方法解决。
其次，在任何时候，除了那些客观的、被验证了的，或者不证自明的道理，我们作决定时，不要加上过多的主观假设。我们常说，未经审视的人生没有价值，其实未经逻辑检验的结论，价值也不大。
当然，讲到公理的作用，大家可能会想，如果一开始使用了一个错误的前提作为了公理，会是什么结果呢？这个我们下一讲再讲。下一讲见。
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100 赞#数学助教# - 来自几何的抽象思维 学过素描的人，大概都有这样的学习经历： 一来没完没了的练习画直线，然后没完没了的练习画矩形，然后没完没了的练习画圆…… 好不容易可以开始画一个“现实”一点的物品，还是要你在定位之后“强行”把被画的物品表示成“线”、“矩形”和“圆”的组合体……而且到最后还要擦去这些“没用”的线条…… （只记得小学初学绘画的自己，内心无数次吐槽：这不是有病？） 现在，我们再回来看看这个“闲着没事”的过程： 线条的组合构成了矩形，对矩形“切角”形成“多边形”，继续不断的“切角”会逐渐形成一个圆或椭圆。 （事实上，阿基米德在公元前250年发明的圆周率估算方法，就是不断地对一个正多边形“切角”） 而一个实际事物，不管它的结构再复杂，细节再精巧，当我们调用抽象思维时，它们无非就是一个个“直线、矩形、圆”的排列组合罢了。 因此，在我们具备了画出这些“基本图形”的能力之后，再辅以抽象思维，将不再害怕那些看似复杂且难以描绘的事物了——只要一步一步照着流程，由粗略到精细，最后的结果总不会差太多。 这个绘画的流程，其实就是“生成”一幅画的“算法”。 你学的，不是单独画出某一个物体的技术，而是看见任何一类物体，都能将它描绘出来的“算法”。 如果没有“抽象化”和“算法化”，会是什么结果？ 你学会画一本书，却不会画一幢高楼…… 而在一个具有“抽象思维”的人眼里，二者是等价的啊！昨天
44 赞#数学助教# 学完这节课，想起一个流传很广的段子：数学系同学在见到******中证明题的时候，心里只有两种想法：“这还用证？”以及“这也能证？” 数学的证明有时候就是反常识、反直觉的。但是正是这样只基于逻辑的推导，建构起了最坚实、最宏伟的数学大厦。 在生活中，我们的大部分行为和决策其实都是基于直觉做出的。掌握公理化的数学思维在我们生活中的一个应用，就是对直觉做出的决策用逻辑加以审视。吾日三省吾身，对自己的行为和周遭的世界多一分思考，行动时就多一分确定性。 其实这节课让我感触很深，联想起之前在得到学过的课程，知识相互打通连成了一张网络。关于直觉与理性、逻辑与实证，还有几何原本带来的可叠加式的进步，有好多想说。但我们的评论写太长刷屏了不好，会影响其他评论的展示。所以我发到了我的知识城邦里，欢迎点击我的头像进入知识城邦 和我讨论~昨天
33 赞可复制的成功才是成功。 东方文明没有发展出现代科学，在于缺少纪录，秘方遗失、手艺失传，多少年的研究又得重头来过。《几何原本》是系统地学习数学，有了一个学科的框架，才能事半功倍，即便是利用碎片化的时间，依然能有全局观，不致于瞎子摸象。我在教学生数学时，几何和代数的题目也有很大的不同，前者往往听懂观念后，再棘手的题目也有脉络可做；后者则因为练习不足，一旦遇到刁钻的题目就无从下手、举手投降。 我想到谷歌方法论谈莱特兄弟的那一讲，虽然严格的数学公理与迭代改良的工程思维不同，但都提醒一个概念：做事要依靠成体系的知识，民间科学家的土法炼钢根基不稳、无以成大厦。莱特兄弟与那时代的其他人相比，跳脱出“模仿”的惯性思维，解决升力、动力和平衡控制的三大问题，才得以实现飞航时代。而李林塔尔仿鸟挥动翅膀，最终以生命来告知这条路行不通，能够依靠理论、做可复制的成功经验，才是真正的成功。 总结成功经验、避免归因谬误，未经检验的成功法，都是不靠谱的。昨天
31 赞#数学助教# #几何学的框架# 从上次课，我们进入了几何学的学习，我们一直强调「知识体系和框架」的重要性，我先在这里跟大家简单理一理几何学的发展和框架，帮助你更清晰地理解吴军老师的课程。 英文Geometry一词，是从希腊语演变而来的，其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光启翻译成"几何学"。几何的发展首先是欧几里得的「欧氏几何」，其次是19世纪上半叶，「非欧几何」的诞生，再次是「射影几何」的繁荣，最后是几何学的统一。 ● 欧式几何 欧式几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧式几何有时单指平面上的几何，即「平面几何」；三维空间的欧几里得几何通常叫做「立体几何」；高维的情形叫做欧几里得空间，或「欧式空间」。 ● 非欧几何 19世纪上半叶，本节课中讲到的第五条关于“平行”的几何公理受到质疑，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼的椭圆几何（黎曼几何）。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。在非欧集合中，「平行公理」被描述为“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”。这一点，在后面的课程中也会具体展开。 ● 影射几何 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，基于“绘图学”和“建筑学”的需要，古希腊几何学家就开始研究「******法」，也就是投影和截影，直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。 简要的介绍，帮助大家了解几何的体系，欢迎你与我和其他助教交流讨论~昨天
30 赞在法国的数学课上，做数学证明题的时候，对于一些显而易见的结论要严格证明，不能省略过程。 比如在求极限的时候，我们不能用洛毕达法则，得用一些笨方法。记得数学老师说过，我知道这个法则很好用，但在我的课上不能用，否则是零分。我当时觉得有点多此一举，学了今天的课才觉得原来老师是希望我们摆脱思维的定势，用严格的逻辑求极限。昨天
23 赞几何确实很美，两点感受： 1. 五条基本公理和五条几何公理都好“简单”，很容易记住，而且读起来觉得都是“废话”（这还需要说明嘛，所有人都会觉得它是对的吧），就跟说地球上的动物和植物需要空气，温度，和水。不过转念一细想，对啊，之所以我们认为这五条基本公理和五条几何公理全部都对，就是因为我们从来没有怀疑过它们 恍然大悟→这正是《几何原本》的厉害之处，大道无形，看不见但是却一直在影响我们的才是最厉害的（听起来像在说宗教或传销的洗脑） 2. 遇到具体的问题，收集与问题相关的信息，把问题了解全面，这是解决问题的方法，但这其实是将问题变得庞大而复杂。而真正要解决问题，是在前面这些步骤之上再将问题抽象出来，抽丝剥茧找到问题与最基本的解决方法之间的联系，用严格的逻辑和缜密的思维推导证明出来的结论，就是解决问题的****** 而把问题弄的很复杂，很高级，很看不懂其实不难，但把问题弄的很简单，很平易近人，很容易懂才是真的难，真的伟大，大道至简，而《几何原本》就做到了 想明白这一点，回过头看吴军老师在《硅谷来信》和《谷歌方法论》里面多次讲出金典的人生道理和生活逻辑，正是基于数学里面的几个基本逻辑，此处也再次体验到，为什么吴军老师要讲数学通识课和多次强调数学之美，数学就是吴军老师的“几何原本”。不得不说，因为感受到了，就会发现它真的本来就很美 拓展感受：复杂的人生需要面对很多的不确定性，复杂的生活环境，庞杂的人际关系，未来的飞速发展变化，我们处在这纷繁绕绕的世界里，有些茫然。但是只需要几个重要的品质，就可以过的很好（至少不会太差）：认真，耐心，规则，真诚，持续学习……这是我们人生的“几何原本”昨天
20 赞#数学助教# 几何学的发展来自于公理体系的建立，所谓公理化，便是从尽量少的基本概念和结论出发，规定它们是正确的，然后从这些基础出发，推演证明新的定理和结论。 因此，几何上的结论可以通过不断拆解，最终利用五条一般性的公理和五条几何学公理进行证明，看似简单，只需要不断拆解，便可以得到解决，实则不然，这个猜解过程可能具有很强的技巧性和未知性，需要你对几何公理体系的各个公理及其关系足够熟悉，有的时候还需要添加辅助线等虚拟工具来辅助证明，所以说几何学一直是最难的数学分支。 几何中的公理化研究为其他数学分支发现新的定理并且证明提供了一套解决方案，其中一个例子是集合论的公理化。 一些元素或者物体构成的整体称之为集合，集合论是研究集合的数学理论，研究了集合与集合、集合与元素、元素与元素之间关系。与几何学不同的是，集合论的公理化体系中预设成立的概念和结论更多了，比如： 空集存在公理（存在一个集合里面没有元素，称之为空集） 无穷公理（存在一个集合里面有无穷多个元素） 集合相等公理（如果两个集合里的元素完全一样，我们说这两个集合相等） 基于这些基本的概念和命题，进行了集合论的公理化。昨天
17 赞古代东方文明于西方文明的分野，在对待几何学的态度上展现得淋漓尽致： 由于东方文明更注重实际应用，在面对问题时固然可以更高效地得出解决方案，但当遇到新的问题时，原有的方案就必须重新设计。 而西方文明更注重逻辑体系，在面对具体问题时固然需要从不同定理中抽象出解法，但定理与定理之间具有完备的逻辑自洽，也因此能够获得“可叠加的进步”，得到的成果可以不断积累。
12 赞学习老师的几何学课程，不仅没有枯燥之感，反而感受到了几何学原理的简洁之美。 第一、不证自明。公理的不证自明这一属性，貌似“废话”，其实是整个数学乃至科学大厦最坚实的基础，如果没有掌握和充分运用它们，人类的科学体系似乎无从谈起。 第二、演绎之美。人们更习惯基于经验进行归纳，所以休谟等哲学家才会对很多结论产生诸多质疑。基于公理和演绎法进行严格演算和证明的定理才更加显示出无可置疑性，我们在学习过程中，按照这样的思维方式去学习和实践也能感受到其中的数学之美。昨天
10 赞1、公理有一个重要的作用就是给大家建立了一个共识，所有理论的发展都必需建立在这些公理之上，同时也让所有人有了同一个出发点，这样经过合理的逻辑推导便会建立新的共识，这种共识被称为定理。所以公理很重要，如果公理都不统一，这样推导出来的结论必定大不相同，这就阻碍了新的定理的产生。 2、"公说公有理，婆说婆有理。"这句话本质上反应的是双方的逻辑推理没有问题，但是出发点是不统一的，双方在"公理"上就没有达成共识，所以后来的逻辑结论即使是正确的，双方也互不承认。 3、同样的，我们找对象说三观很重要，其实本质上也是一种共识，也是对他们二人所认为的"公理"，只有这种"公理"统一了，他们之后所有的建立在这种"公理"上的思考、交流才会产生化学反应，达成一致。就像一个地心说支持者和日心说支持者在一起只有辩论。唯心主义者和唯物主义者在一起，肯定说不到一块。 4、不管是学习一门学科，还是一项技能，都需要系统学习，这样才能把分散的点用体系框架网起来。一个好处是，框架清晰更容易形成新的理论，也能为新理论的发现提供方向。其次，系统的理论容易延续，后人不用走老路。昨天
8 赞公理是砖，逻辑是水泥，二者互相合作，构建起宏伟的数学大厦。昨天
8 赞数学通识50讲(21)几何公理 几何公理如何化学中的元素，元素性质确定，但是不同的元素按照不同的组合方式，却会产生新的结论。几何大厦在发展，但是构建大厦的“元素”却不会改变。 几何公理的出现让数学得以从具体问题中抽象出来，发展出特有的数学语言，这些数学语言获得极大的共识和认同，数学也得以发展 以数学观人生，人生境遇会不同变化，但是不要忘记自己的“初心”，守好自己的那几条“公理”。昨天
7 赞李善友在一次混沌线下大课里谈到对欧氏几何的理解让我印象深刻，从欧氏几何的几个公理出发，推导出了逻辑严密并且坚实的几何学大厦。善友教授从中受到启发，认为我们的商业世界也应该如此。<br />每一个创业者都应该找到类似于公理一样的基石，也就是找到自己商业模式的第一性原理，然后从这个基石出发，上层建筑才会稳固，更重要的是遇到决策的时候，遇到变革的时候，再回到这个基石上来，找到自己的战略指北针。<br />这一点上亚马逊就做的很好，他的第一性原理就是客户为先，从始至终站在用户这一方来打造他的增长飞轮，以至于不断的跨越非连续性的趋势，打造出了如今的亚马逊帝国。昨天
5 赞现在看到基本公理几何公理，会赞叹它的简洁之美，几句话就把一些我们现在理所当然，但在当时被证明起来非常困难的几何学知识讲清楚了。 “对顶角相等”在我看来，甚至在很多年纪很小的学生看来真的是理所当然且不会有任何怀疑的这样一件事，想要证明它的正确性，背后就会涉及到一系列的运算。 再引申到“同位角相等”和“内错角相等”，背后同样涉及到大量运算，并且还会以“对顶角相等”作为依据，说明几何学的理论其实是环环相扣，互为依托的。昨天
5 赞今天的学习，让我理解了上学时为什么要做数学证明题。当年我是那么的讨厌这种题目，今天我理解了这是建立数学思维必不可少的训练。 人类的大脑不是天生就能够遵从理性的，我们需要不断的刻意练习，才能让大脑长成理性的样子。昨天
4 赞#数学助教# 几何的公理系统，通过几条简单的公理，通过逻辑推理，可以证明一切定理。其中的逻辑推理包含什么，换句话说，使用什么样的规则可以算是“正确”的逻辑。逻辑到底是什么，可能几句话也讲不清楚。试试通过逻辑的公理系统来理解。类似几何的公理系统，逻辑的公理系统也有公理和推理规则，需要满足一致性（公理之间没有矛盾），独立性（所有公理都不能由其它公理推导出来，换句话说，尽可能少），完备性（所有定理都能通过公理和规则推导出来，也就是足够多）。从简单的入手，比如“动物会呼吸，猫是动物，猫会呼吸”，类似这样被称为命题逻辑。逻辑是个描述推导的东西，命题逻辑里的主要形式是 A->B(A蕴含B)。简单点理解，A包含的“范围”比B大，当A成立时，B也就成立了。也类似自然语言里的如果 则，如果A成立，则B成立。但是和自然语言里不同的是，如果A为假，在数理逻辑里，认为 A->B 为真 命题逻辑可以用3条公理+1条规则的系统表示， 公理1 A->(B->A) （条件改变不改变真） 公理2 (A->(B->C)) -> ((A->B)->(A->C)) （分配性） 公理3 (not A -> not B)->(B->A) （逆反命题） 推理规则（分离规则） A和A->B推出B （A和A->B为前提，B为结论） 举个例子， A->A，这个和"废话"一样的逻辑， 把公理2里的C，也写成A，会得到 (A->(B->A)) -> ((A->B)->(A->A)) 由于 A->(B->A)是公理1，也就是上式左半边为真，根据蕴含的定义，右半边也为真，得到 (A->B) -> (A->A) 再把B替换成(A->A),变成 （A->(A->A)) -> (A->A), 左半边又是公理1，根据蕴含的定义，就得到 A->A 由于命题逻辑不能反映整体和局部的关系，再引入 任意 存在 两个能表示这样关系的量词，形成谓词逻辑昨天
4 赞在数学上，一个复杂问题能被拆解成多个子问题，如果子问题仍然复杂则继续拆解，到最后可能就变成直接根据定理甚至公理就能解决的问题。 在编程里也有这种不断拆解问题的算法，叫分治算法，通过不断递归，到最后可能变成简单地判断两个数字大小就解决问题。 成体系的知识遇到问题可以举一反三，步步拆解，零散的知识每次遇到问题只会独立看待，重复做了很多无用功，无法实现可叠加式的进步。昨天
4 赞通过体系来学习知识才可以实现叠加式的发展，让现在所走的每一步都成为下一步的放大器。这不仅是学习的最佳途径，更是人类社会发展的底层逻辑。昨天
4 赞欧几里得构建公理化几何学的过程，就如同我们建立思维模型的过程。 它们都是由具体的问题出发。解决了基本问题后，就要总结出解决问题的一般性思路。并通过这个一般性思路来拓展延伸，看看能延伸出遇到类似问题的解决套路吗？ 可以的话，几何学就是定理，思维方式就是思维模型。昨天
3 赞古希腊文明的公理系统和东方文明的一般性问题方案记录，是抽象思维和具象思维的区别。公理系统是一套思考的规则，任何人对规则的掌握都可以在他人的基础上做进一步的探索，这是西方科学得以流传和发扬的根本。所以科技是叠加式的进步，也就是指数级的增长？ 联想到工作中，做事要规范，这样工作可以脱离于具体的人，形成前赴后继的合作，得以不断发展，类似得到的品控手册就是例子。 人的一生是复杂的，可不可以拆解呢？昨天