你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲讲到，整个几何学就是建立在五条一般性公理和五条几何学公理之上的，那些公理都是不证自明的，或者说无法证明的。
那么万一公理有错，会是什么情况呢？这时会得到两种情况，首先如果某一条自己设定的新公理和现有的公理相矛盾，那么相应的知识体系就建立不起来。
其次，如果那一条和现实世界并不相符的公理和其它的公理没有矛盾，那么就可以根据逻辑推出一个和之前不同的知识体系，这个体系也能自洽，但是可能和其它知识体系相矛盾。
讲回到几何的那几条公理，对于那五条一般性公理，大家都没有疑问，对于几何公理（公设）的前四条，大家也都没有疑问，但是对于第五条，也就是“过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。”这时就有人犯嘀咕了，会不会经过直线外的一点，能够做出很多条平行线，或者干脆一条也做不出来呢？
当然，我们根据直觉会觉得，欧几里得的想法是对的，因为在现实生活中，我们对任意直线和线外的一点，不可能做不出一条平行线，更不可能做出两条来。但是，由于这个公理本身是无法验证的，又不算很直观，因此对它作其它的假设或许也有道理。
在数学史上，有两个人就把几何学中的第五公理改了，然后依照逻辑，各自创立出一整套能够自洽的新的几何体系。
第一个人叫做罗巴切夫斯基，他假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。如果我们承认他所作出的这个假设，并且应用由此而来的全部结论，那么空间就由我们平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也称为双曲面。
在这样的空间里，三角形的三个角加起来就小于180度了。此外，很多欧几里得几何的结论在这个新的体系中都要修改，但需要指出的是，这个新的几何学体系本身是自洽的。今天它就以发明者罗巴切夫斯基的名字命名了，当然中国人为了简单起见，就称呼它为罗氏几何，类似的，欧几里得几何也被称为欧氏几何。
第二个改变第五公理的人是著名数学家黎曼，他假定经过直线外任意一个点，一条平行线也做不出来，这样构建的几何学被称为黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。这个空间每一个切面是椭圆，因此它也被称为椭球空间。如果你在上面画一个三角形，它的三个角加起来大于180度。
这个结论你其实在地球上很容易证实：你从北极出发往正南走100米，再往正西走100米，最后往正北走100米，你又回到了出发的原点，也就是北极点。你走过的这个三角形，三个角之和为270度。
此外，黎曼几何本身也是一个自洽的知识体系。黎曼几何和罗氏几何由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。
为什么数学家们要“吃饱了撑的”，把我们生活的三维扭曲成各种形状，这种虚构出来的几何学体系有用么？要知道，欧几里得所确定的公理已经经过了两千多年的实践检验。应该讲，罗巴切夫斯基和黎曼在构建各自的几何学体系时，也不知道它们有多少实际用途。
不过，黎曼作为数学家，他希望一些涉及到曲面的数学问题在解决的时候简单一些。比如在一个三维的欧几里得空间，一个球面的方程是x^2+y^2+z^2=25，而在黎曼空间中，它就是R=5这么简单。虽然它们在数学上是等价的，但是形式上差异很大。黎曼就希望在解决球面和其它曲面的问题时，最好有形式上比较简单一致的表述方式。
但是，在黎曼几何诞生之后的半个多世纪里，它也没有找到太多实际的用途，真正让它为世人知晓的并非其他数学家，而是著名的物理学家爱因斯坦。在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。
根据爱因斯坦的理论，一个质量大的物体（比如恒星），会使得周围的时空弯曲，牛顿所说的万有引力被描述为弯曲时空的一种几何属性，即它的曲率。爱因斯坦用一组方程，把时空的曲率，其中的物质，能量和动量联系在一起。
之所以采用黎曼几何这个工具，而不是欧氏几何来描述广义相对论，是因为时空和物质的分布是互相影响的，并不像牛顿力学里面所认为的时空是固定的。特别是在大质量星球的附近，空间被它的引力场弯曲了：
在这样扭曲的空间里，光线走的其实是曲线，而不是直线。1918年，爱丁顿爵士利用日食观察星光曲线的轨迹，证实了爱因斯坦的理论。这件事也让黎曼几何成为了理论物理学家们很常用的工具。
比如，在过去30年中，物理学家对超弦的理论极度着迷，而黎曼几何（以及由它派生出的共形几何），则是这些理论的数学基础。此外黎曼几何在计算机图形学和三维地图绘制等领域有广泛的应用。特别是在计算机图形学中，今天计算机动画的生成离不开它。
既然黎曼几何在很多应用中证实了它的“正确性”，而它的很多结论和欧几里得几何又不相同（比如三角形三个角之和大于180度），是否说明欧几里得几何是错的呢？如果不是，又该怎样理解这样两个不同的几何体系的共存呢？这个问题到了19世纪末已经被数学家们想清楚了。
如果你重新看一遍欧几里得提出的那些公理，就会发现一个问题，他其实根本没有定义什么叫做平面。虽然我们在中学时把所学的欧几里得几何称为了平面几何，但是我们脑子里所想的平面其实是没有定义的，我不知道老师是出于什么原因，把这个问题一带而过了，可能是觉得十几岁的孩子不容易接受比较抽象的概念吧，干脆省略了。
因此，学习了今天的内容后，我觉得大家应该有这样一种理性眼光，就是我们习以为常的事情，在没有明确说明之前，大家的认同其实会有误解。比如我们常常说深颜色，并不觉得这个概念不清晰，但是不同人理解的深颜色可能不同。
事实上，对平面的认识也是如此。到了19世纪后，数学家们发现，如果对平面作如下明确的定义：满足平行公理的面被称为平面，那么欧氏几何的基础就更扎实了。
罗巴切夫斯基等人一开始的工作，并不是想推翻平行公理，而是想看看它能否从其它四条几何公理中推导出来，结果这件事没做成，他们反而创造出了在双曲面上的几何，而黎曼则相反，创造出了椭球上的几何。
需要指出的是，虽然非欧几何和欧氏几何在形式上很不相同，但却是殊途同归。同一个命题，可以在这三种系统的框架内相互转换，因此如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
好了，现在有了三个等价的几何学“工具”，在解决具体问题时选用一个方便的工具，就成为了活学活用数学的技巧了。对于工具的差异，我们可以把它们理解成是一字改锥和十字改锥就可以了。并不是说使用十字改锥的工作一字改锥做不了，而是非常麻烦，而且做起来要非常精细，搞不好就会出错。
当然，如果必须用一字改锥的地方，你用十字改锥，确实多有不便，不过你依然可以拿刀子把一字螺丝修成十字的，然后让十字改锥发挥作用，当然这种做法是多此一举。而爱因斯坦的过人之处在于他善于找到最方便的数学工具。
数学的美妙之处在于它的逻辑自洽性和系统之间的和谐性。黎曼等人修改了一条平行公理，并没有破坏几何学大厦，而只是演绎出一个新的工具。不过，如果你胡乱修改其它的一条公理，比如你把垂直公理给改了，几何学大厦就崩塌了。
事实上，罗巴切夫斯基和黎曼等人在考虑替换几何学公理时，不是随机乱找的，而是发现平行公理的描述比其他的都长很多，非常不直观，而且在整个几何学的公理和定理体系中，它很晚才被用到，也就是说，很多结论的获得并不需要这条公理，使用前面九条就够了。
数学家们曾经怀疑它是否真的是一条独立的公理，或许它只是其它公理的推论而已呢？直到后来意大利数学家贝尔特拉米证明了平行公理和前四条几何公理一样是独立的。
最后，和你分享一下这段历史对我在认知上的两点启发。
首先，今天我们介绍的三种几何系统，其实它们90%的公理都是相同的，最后差出了一条看似最无关紧要的公理，但是，由此之后，发展出来的知识体系就完全不同了。
我们时常在学习别人的经验时，觉得似乎自己学到了，但是做出来的东西就是不一样。大部分时候，这种差异来自于细节，可能就是10%。但是，我们常常会满足于90%的一致性，忽略了那一点差异，这就导致了结果完全不同。
不过，话又说回来，当我们基于新的假设，创造出一个和别人不同的东西时，除非我们的假设很荒唐，否则那些与众不同的东西或许在特定场合有用。我非常喜欢李白的一句话，“天生我材必有用”，不必刻意强求和别人的一致性。作为人，基本的设定没问题，活出自己的精彩是对社会的贡献。
其次，数学是工具，而这种工具可能有很多种，它们彼此甚至是等价的。在不同的应用场景中，有的工具好用，有的费劲，学数学关键是要学会在什么情况下，知道使用什么工具。
下一讲，我们讲讲几何学在另一个维度的发展。我们下一讲再见。
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10 赞＃数学助教＃ ● 关于扭曲的空间 空间的扭曲，听起来就很难想象，我之前听过一个解释空间扭曲的比喻，非常形象，保证大家都能看得明白。这个比喻是这样说的： 我们将空间想象成一个平整的「床单」，俩个人双手拉住床单的四角使床单悬空保持平整。当床单上什么东西都没有的时候，床单是维持平整的；当给床单上放一个小圆球时，床单就会被小圆球压下去一小块，发生弯曲，这就可以看做是小圆球引起的空间弯曲，而且可以想象，这个空间弯曲的程度会随着小圆球质量的增大而逐渐增大；进一步想，如果在床单的另一处，距离小圆球一段距离的位置再放一个质量更大的大圆球，大圆球会引起床单更大的弯曲，也就是时空更剧烈的弯曲，并且这个弯曲会诱导小圆球向大圆球的附近区域滚动，就好像小圆球被大圆球「吸引」过去了一样，这就是「万有引力」产生的几何原理。 太阳相对于地球具有更大的质量，因此太阳引起的空间弯曲更加剧烈，从而吸引地球绕其周围转动；类似地，月球会绕着质量比它大的地球转动。至于「黑洞」，可以看做是质量无比大的天体，它能将附近一切天体和物质都吸引过去，就连「光线」也不例外，光无法绕过黑洞，它就像一个黑乎乎的无底洞，所以它叫黑洞。 这个比喻，你懂了吗？欢迎你与我和其他助教在留言区讨论。5小时前
2 赞除了老师说的几点 非欧几何学还使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。18世纪和19世纪前半期最具影响的康德哲学，它的自然科学基础支柱之一是欧几里得空间。康德曾经说过：“欧几里得几何是人类心灵内在固有的，因而对于‘现实’空间客观上是合理的。”非欧几何的创立，冲破了传统观念并破除了千百年来的思想习惯，给康德的唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。 非欧几何的创立验证了以下结论：“重大问题的多重的独立的发现或解决是一条规律，而不是例外”；一个侧面证明了这样一点：“一个新的数学概念的创造者的名望和地位在该概念的可接受性方面起着强制的作用，尤其是在新概念突破了传统时是这样。”；一个重大问题的解决，往往需要许多代人的共同努力，才能取得成功，而后人总是“站在前人的肩膀上”的。 数学大厦还在，10%的差异是，几何房间的一扇落地窗，一扇天窗，一扇飘窗，这也是数学之美。也正是大部分相同的我们，有这些许的差异，再配上比较优势原理，才让世界如此精彩！4小时前
1 赞从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理，但是结果都归于失败。19世纪，随着罗巴切夫斯基和黎曼分别提出罗氏几何、椭圆几何，数学家们终于意识到平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”来替代它。而随着非欧几何的产生，再次引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何学的研究对象由平面进入了立体空间，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的新阶段。可以说，非欧几何的诞生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志。此外，非欧几何的创立更是为爱因斯坦发展广义相对论提供了坚实的理论基础，而相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，从而使人们对客观世界的认识发生了一次质的飞跃。非欧几何的创立，再次证明了我们可以从很多重大问题总结出一条规律，但是这条规律却可以有好几种独立的表现形式；这也意味着，即使面对同一类问题，我们也可以多种解决问题的工具，至于该如何应用，还要视具体的应用场景。同时，一个重大问题的解决，往往需要好几代代人的共努力，才能取得成功，而后人总是“站在前人的肩膀上”。4小时前