你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。这一讲我们学习解析几何，这是一种能解决几何难题的妙法。
我们前面说了几何是最早出现的数学分支之一，一般来讲，人类的知识体系是从易到难建立的，但是几何学似乎要比后来出现的代数学来得难，这可能是人类逻辑推理的能力反而不如套用公式的能力强的原因。
那么能否使用代数的方法解决几何学问题呢？也就是写出相应的直线或者曲线的方程，然后再解方程，因为解方程比作几何推论简单。
这是一个非常大胆、极具创造性的想法，可以用“伟大”来形容。我想，即便让我活十辈子，我也想不出这样好的想法。想到这种伟大想法的人，也是一位伟大的人，他是法国思想家和数学家笛卡尔。
解析几何因为要用到坐标，因此你也会偶尔看到坐标几何的说法，它和解析几何是一回事。在西方，很多时候它被称为笛卡尔几何，这是为了纪念笛卡尔，但是在国内我们可能是为了刻意抹去一些外国的人名，你很少看到这样的说法。
不过这样一来，学生们对解析几何的来龙去脉就缺乏了解了。特别是我们所谓的平面直角坐标在西方一律被称为笛卡尔坐标，没有“平面直角坐标”这个词。如果你将来去那里的大学读书，和人家说平面直角坐标，没有人懂。
因此，在这里我给家长一个建议，对于那些教科书中缺失了的数学名词里的外国人名，家长辛苦一点，到网上查一下，给孩子补上。
讲回到解析几何，为什么笛卡尔要设计一种平面坐标，然后将几何图形放到坐标中用代数的方法研究呢？他的目的当然是为了把几何问题变简单，尤其是那些曲线、圆相关的几何问题。
如果你还对初中的数学有印象，就会发现几何在引进圆之后，变得特别难，无论是证明还是计算都是如此，甚至那些内切、外切等概念都很容易混。如果你遇到的是椭圆怎么办？那你的头真的要大了。
其实在笛卡尔之前，已经有人开始研究代数和几何的关系了，但是那时人们除了研究圆的规律，没有太多的几何学问题非要使用坐标和代数不可，因此偶然出现一些零星的方法形成不了知识体系。
到了笛卡尔的时代，情况就变了。开普勒已经提出了行星运动的三定律，这三个定律都是基于椭圆轨道的，而不是当初哥白尼和伽利略基于圆形轨道的。更难的是，当时科学家和仪器商人们开始利用玻璃透镜制造望远镜，就需要研究光在曲面上的折射和反射问题。
这些问题使用传统的几何学工具都很难解决。笛卡尔就是在这个基础之上发明了笛卡尔坐标，以及解析几何的。
注：在笛卡尔之前，虽然有托勒密使用的球面坐标，也有了把平面按照水平和垂直线划分出区域的方法，但是没有人在平面上用两个彼此垂直的无限长的直线设定坐标的方法。因此后世就把这种坐标用他的名字命名了。
笛卡尔发明解析几何的过程很******，他身体一直不好，经常躺在病床上，据说他是看到房顶上绕着弧线飞来飞去的苍蝇，想到了把房顶画上格子，来追踪苍蝇的轨迹。
当然，笛卡尔并非是因为看到苍蝇飞就灵机一动地发明了解析几何，而是在脑子里先有构造了解析几何体系的完整想法，并且很清楚如何将平面几何中的图形用代数的公式来描绘。
我们先来看看直线和方程的关系。在代数中有二元一次方程，比如AX+BY+C=0。在平面坐标上，它代表一根直线，这样的一次方程也因此被统称为线性方程。在一些特殊的情况下，比如A=0，它就变成了水平线，反之，如果B=0，就变成了垂直线。如果A=B，直线就和水平、垂直方向都有45度的夹角。
图一代数和几何被统一起来之后带来了很多好处。
一方面，一些复杂的几何学问题可以变得很容易。比如在几何中有一个定理，三角形的三条中线交于一点，你要用单纯几何的办法证明它还得费点周章，但是用代数的方法在坐标系下证明它，就极为容易。这里限于篇幅的原因我就不给出推导的步骤了，大家记住这个结论就好。
另一方面，解析几何也可以让很多原本看似抽象的代数问题变得很直观。比如我们前面在介绍鸡兔同笼和方程组问题时介绍了二元一次方程组，即每一个方程有两个未知数，方程中的未知数都只能是一次方，这样两个方程一组。但是，当时我们并没有讲这样两个方程所构成的方程组是否有解，事实上一些二元一次方程组无解。
比如：
X-Y+3=0
2X-2Y=0
就无解。
另外，有一些方程组却有无数解。
比如：
X-Y+3=0
2X-2Y+6=0
接下来问题来了。什么时候方程组有一个解，有无数解，或者根本无解呢？在初中，老师会教给你一些判断标准，这些标准能不能学会并且体会其中的道理，就看各个学生的悟性和理解力了。如果悟性和理解力不够，就看记忆力了。
但是，这些能力都很难复制，张三的悟性给不了李四，李四记住了一个数学知识点，未必能记住下一个。其实学好数学靠的是有一套系统性的方法，和能够帮助理解的工具。对于解方程来讲，解析几何就是理解它们含义的工具。
我们知道，任给一组X和Y，它们其实对应于平面坐标上的一个点。而一个二元一次方程则代表一根直线，方程组中的两个方程就对应于两根直线。
如果这两个方程所代表的直线相交，如下图2所示。那么就说明有一点既在直线1上，又在直线2上，这个交点所对应的X和Y，也就是方程组的解。
如果两条直线平行，就不可能有交点。这就说明不可能有一个点既在直线1上，也在直线2上，那么方程组就无解。
当然，如果两条直线完全重合，那么就有无数个点既在直线1上，也在直线2上，相应的方程就有无数解。
我们把上述三种直线之间的关系画在下面的坐标中。前后三张图中的情形，分别代表有一个解、无解和有很多解的情况。
图二：一个解
图三：无解
图四：很多解当然，我们讲了，数学不能靠测量，解方程不能靠在图上画线，但是利用解析几何这个工具，我们可以很好地理解方程的本质，更好地学会解方程。
接下来，我们就用解析几何这个工具，把之前讲到的一些知识点再串联起来。
首先还要再说一次毕达哥拉斯定理，在笛卡尔坐标中，计算任何两个点之间的距离，必须要用到毕达哥拉斯定理。
其次，我们把前面所说的一元二次方程和一元三次方程，同坐标系中的一些曲线对应起来。一元二次方程对应于抛物线，我在下图中画了三根抛物线。
第一根抛物线和x轴，也就是横轴有两个交点，也就是说，有两个可能的x值，让方程等于零，这两个值就是相应方程的两个解。第二个则只有一个交点，因此相应的方程只有一个解，第三个干脆没有交点，因此对应的方程无解。
图五：两个解的二次方程
图六：一个解的二次方程
图七：没有解的二次方程和二次方程不同的是，三次方程对应的曲线总是一头往负无穷大走，另一头趋向正无穷大，是下面这个图的形状。
图八：三次方程曲线的形状当曲线从负无穷往正无穷变化时，它一定要经过零这个点。我们前面在介绍三次方程解法时留了一个未回答的问题，就是三次方程一定有实数解。今天我们用解析几何这个工具将它解决了。
通过讲解解析几何发展的历史和它大致的内容，我们首先应该进一步深刻地理解为什么说数学是一种工具。解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。
但是它一旦出现，就能很方便地解决过去看似比较难的几何问题，也能解释为什么三次方程一定有实数解这样过去解释不了的问题。从这里，我希望大家能体会数学上的“虚”是可以为现实中的“实”服务这个普遍规律。
接下来，我不知道你是否体会了“融会贯通”这四个字在学习数学过程中的含义。我们通过解析几何把之前很多知识点又串联了起来。学好数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。
这样至少能保证数学考80分，而且以后想用的时候，还能把数学这个工具捡回来使用，否则刷再多的题，******时遇到两道不会做的题，照样考不到80分，更糟糕的是考完试之后，收获几乎是零。
当一个人40岁的时候，发现自己从6岁到大学毕业22岁这16年间，花了1/3的时间学的数学一点用没有，除了会算加减乘除全忘光了，岂不悲哀？早知是这样，何必要刷那些反正自己也理解不了的题呢？
最后，还要强调学会使用工具的重要性，要把学习数学当成学习使用各种工具的练习。解析几何不但承前，而且启后，在它的基础上出现了微积分，笛卡尔也因此成为了牛顿所说的前面的巨人。这些内容，我们到了微积分模块再讲。
下一讲，我们讨论一下几何学公理化体系的本质，以及如何使用构建公理化体系的思维方式。
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51 赞学懂数学、融会贯通，学习娴熟使用各种工具。 在大学时家教的经验，让我有自信，未来我的孩子在大学前的数学，我都有能力应付（当然奥数的题目另当别论）。我的数学能力并不是靠刷题而来，而是能理解各章重点，做到横向比较，因此即使毕业多年，做高中数学题仍能列出多种解法、言之成理，我非常庆幸当时学习方向正确。 代数和几何的相互印证，正如老师所说，是『学习使用各种工具的练习』，一通才能百通，从数学学习的经验，我也学会在不同系统中切换同一问题的能力。比如在临床医疗上，常需要针对一个病征 signs and symptoms 做出鉴别诊断 differential diagnosis ，要从不同系统去排除问题，光是常见的头晕就能展开非常多种类与可能。虽然医学的经验论证，和数学的严谨逻辑有段差距，但运用多个工具的能力，确实也在工作上帮助我思考。 换个工具，结论就变得直观简单；转换思维，******也可以豁然开朗。17小时前
50 赞#数学助教# - 几何与代数 【几何视角看待虚数问题】 在第13讲的时候，老师引入了“虚数”的概念，你是否也有这样的疑惑： 对一个复数 a+b*i ，如何求它的“n 次方根”呢？ 单单从代数的角度，你可能会一头雾水，也包括我。 但是，一旦有了“复平面”和“极坐标系”这两个几何工具，问题就迎刃而解了。 ——原来，一个复数 a+b*i 的“n 次方（根）”，本质就是一条从原点 (0, 0) 到点 (a, b) 的线段，在坐标系上的“伸缩”与“旋转”。 （具体方法可以参考“robovoid”助教在那一讲的笔记） 几何的视角生动了代数的概念； 代数的方法解决了几何的问题。 # 工具就在那里，等你发现它。 【知识不应该是“点”】 零散的知识，像是无序的积木。 积木块的累积固然是基础，但是只有将积木组织搭建起来，才能实现它们真正的价值。 “集邮式”地收藏知识，这是搜索引擎和硬盘该干的事。 而人脑要做的，是把知识织成一张网——提炼知识的重点和关键词，在大脑中建立对应的“索引”，并和已有的“索引”建立联系，融会贯通。 （虽然人工智能也可以搭建自己的知识图谱，但是目前的灵活性和适应性远不如人脑） 每个知识，都不该成为孤立的碎片。可以碎片化地学习，但需要系统化地整合。18小时前
35 赞＃数学助教＃ 解析几何 & 笛卡尔几何 平面直角坐标 & 笛卡尔坐标 左侧是中国教材中的惯用翻译，右侧是国外通用的称呼。 它们各有各的优势和特点，国外以人名作为名称能够引导学生追根溯源，知道这个坐标和几何的来源于哪里，如何发展到今天，对于理解知识体系的来龙去脉很有帮助！ 但是中国教材中的翻译方法也不是没有好处的：① 一是外国人的名字对中国人来说确实不好记忆，容易混淆；② 二是用外国人名字命名，对对象本身的描述并不直观，光听笛卡尔坐标，笛卡尔几何，我们无法感知它们是什么，但是「平面直角坐标」就会立刻在脑中产生画面感；「解析几何」也是一样，听名字就知道它和基于图形的几何不同，而是基于数字和公式的。 「解析」说白了就是用坐标代替点，用表达式代替不同的线和图形，将以前通过几何关系获得的结论，通过数字和坐标的加减乘除，乘方开方，实现对几何体系的描述和求解。它能够脱离画图的局限，不通过图像，研究几何问题。 解析几何一个最大的好处就是：空间想象力不好的人很难学好立体几何，但是有了解析几何，这些人便得救了，比如我。17小时前
26 赞把圆形和椭圆等图形转换成代数方程体现出来，无疑是一个壮举，它将具象进一步抽象，把问题拉到对人脑更友好的条件下。 我记得我在大一大二做数学证明题的时候，如果要引用一个人的定理，一定要写清楚定理的名称，对于外籍学生如果把数学家人名写错，我们班的数学老师是不给分的，当然我不知道是否其他老师也是如此，但可以看出整个法国对数学家是十分尊敬的。 上一门课前，一般在讲义的前几页几乎全是对数学家的介绍，曾经我不理解，今天豁然明朗。一个社会要给智力贡献者以全部的尊重，形成这种风气后，能促进学者研究理论知识。 在法国，数学上有笛卡尔等人，信号处理中有傅里叶，相信EE专业的学生会认同这一点。15小时前
17 赞十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但它实际上是代数问题，探讨代数方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用解析的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过解析式来得解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。 笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。16小时前
11 赞坦白讲，学完今天的课，因为惭愧而脸红。刷了那么多题，不仅没有在脑子里留下多少，基本的数学思维也完全没有掌握，何谈应用呢？本节课的内容是对“融会贯通”这个词最好的注解，不仅通过解析几何将几何与代数进行了很好的统一，而且将之前所学的知识点进行了有机串联，“温故知新”的显著效果莫过于此。 笛卡尔的成就足以让他在数学和哲学两个领域青史留名，唯一令人惋惜的就是英年早逝，而且还生前死后的很长一段时间遭人非议。老师说要给孩子补上那些缺失的数学名词，这对我们来说同样重要，不仅是记住这样一些伟大的人和他们伟大的成就，也是今后在国际交流中需要掌握的通用语言。10小时前
10 赞解析几何把抽象的问题变得直观，让很多困难的问题变得很容易得到解决，真是伟大的创造。 吴军老师的建议我记住了，等到孩子学习数学时，毕达哥拉斯、笛卡尔等人的故事，我一定亲口讲给她听。学习知识，要心怀对于创造这些知识的伟人的尊重，才是正确的态度。12小时前
7 赞#数学助教# 解析几何 解析几何是借助笛卡尔坐标系，利用解析式来研究几何对象之间的关系和性质，中学阶段凡是可以建立直角坐标系解决的几何问题都是比较容易的，因为它可以利用代数的方法表示点与点、点与线、线与线之间的关系，大大降低了几何抽象能力的门槛。 解析几何主要运用坐标法，可以解决两类基本问题：一类是利用方法描述点的轨迹；另一类是通过研究方程的性质分析方程表示曲线的性质。 <解析几何与数学机械化> 数学机械化是指在运算或者证明过程中，每前进一步，都有章可循地确定下一步该做什么和如何做，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。 借助解析几何的方法， 公理化体系的几何定理可以实现机械化证明，从公理系统出发，设置坐标系，并建立相应的解析结合，将几何定理的证明转为为一个代数问题，使得初等几何方法从四则运算的水平提高到了求解代数方程水平，几何问题由“一理一证”到“万理一证”，便于利用计算机进行快速处理。6小时前
7 赞百度百科时间到，介绍一下******的笛卡尔 勒内·笛卡尔（又称勒内·笛卡儿，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。 笛卡尔是法国著名的哲学家、物理学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他与英国哲学家弗兰西斯·培根一同开启了近代西方哲学的“认识论”转向。 笛卡尔是二元论的代表，留下名言“我思故我在”（或译为“思考是唯一确定的存在”），提出了“普遍怀疑”的主张，是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“近代哲学之父”。 他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。笛卡尔自成体系，融唯物主义与唯心主义于一体，在哲学史上产生了深远的影响，同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。 笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。他创立了著名的平面直角坐标系。 笛卡尔在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主。但笛卡尔在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意义的。 笛卡尔是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“近代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。 笛卡尔的方法论对于后来物理学的发展有重要的影响。他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法：以唯理论为根据，从自明的直观公理出发，运用数学的逻辑演绎，推出结论。这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来,经过惠更斯和牛顿等人的综合运用，成为物理学特别是理论物理学的重要方法。作为他的普遍方法的一个最成功的例子，是笛卡尔运用代数的方法的来解决几何问题，确立了坐标几何学即解析几何学的基础。 笛卡尔的方法论中还有两点值得注意。 第一，他善于运用直观“模型”来说明物理现象。例如利用“网球”模型说明光的折射；用“盲人的手杖”来形象地比喻光信息沿物质作瞬时传输；用盛水的玻璃球来模拟并成功地解释了虹霓现象等。 第二，他提倡运用假设和假说的方法，如宇宙结构论中的旋涡说。此外他还提出“普遍怀疑”原则。这一原则在当时的历史条件下对于反对教会统治、反对崇尚权威、提倡理性、提倡科学起过很大作用 。 笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。17小时前
5 赞吴老师在年初讲《科技史纲》的时候，就曾经多次讲到过“量化”的重要性。我认为解析几何，就是数学史上一次非常重要的“量化革命”。 想象一下，我们用砖盖一座房子，而且恰好在某一块砖上做了个机关，里面藏着这栋房子最重要的秘密。那么我们该怎样确认这块砖的位置呢？ * 一种方法是直接做记号，但这样就不能保守秘密了；或者在一堆做了记号的砖里藏一个略微有点不同的记号，但这样不仅要记住记号的特殊差异，找起来还很麻烦；坏人同样可能看出来记号的差异，然后破解秘密。 * 另一种方法，就是将每一块砖编号，这样只要记住砖的号码就可以了；但是想要再找到那块砖，要么大海捞针挨个查，要么用一串很长的数列，标明从墙角砌到这块砖，都经历了那些编号；但无论怎样都很复杂。 * 最好的办法，就是为房子本身建立三维直角坐标系，或者只为目标的那面墙建立一个二维坐标系，这样我们只需要记住这块砖的坐标就行了。 这里能看到，运用一个直角坐标系，我们就能够对空间本身进行量化。而在被量化的空间里，不仅位置本身是确定、易得的，连曲线和曲面，都可以视作连续变化的坐标，被某种关系（方程）约束起来，只能按照固定的规律来变化，这样一系列位置的集合。进一步地，在非欧几何中，甚至连空间本身收到的扭曲，我们同样能够仅凭“调整参数”就描述出来，这也为后来一系列的伟大研究打下了基础。7小时前
5 赞还在上学的时候接触到解析几何就觉得特别的厉害，居然能够把方程和几何结合起来。解析几何里能用在线段上表示确定的值，用几个线段围成的区域当做不等式方程的取值，就感觉特别神奇。 我们要做的是把能理解的东西连成一片，而不是不求甚解的了解更多的不懂。15小时前
5 赞解析几何感觉在初高中救了自己的命，正如老师所言，我的逻辑推理能力不如套公式能力强，学了坐标系后，加上代数能力，几何题变得好做了很多。这其实是一种信息等价（吴军老师信息论，推荐一波）。把几何图形放入坐标系，图形变成了方程，代数式，具体的变成高度抽象又相对容易理解的公式。 融会贯通加上认识边界才是提升自己的方式～17小时前
5 赞解析几何的诞生，也是和时代发展的需要密切关联的。进入十六世纪以后，由于科学技术的快速发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的，等等。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就带来了解析几何的出现和发展。而对于解析几何做出最大贡献的人无疑就是笛卡尔，他通过构想并建立笛卡尔坐标系（也就是平面直角坐标系），不仅把几何问题通过解析方程式式来得解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来。解析几何的创立，正是通过引入一系列新的数学概念，解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。我们可以说，解析几何的创立，是人类对于数学理论的一次突破，我们再次通过创造出虚拟的数学工具，为数学这座大厦又增添了一块重要的基石；同时也大大促进了数学理论在科学实践中的应用。可以说，这是全人类的又一次认知升级。17小时前
3 赞第一点感触，在听完这节课之后是彻彻底底地体会到了认识量级上的差距，但是幸好数学好也是一种趋势并不是说我在高中阶段失去了一辈子就完了，但是自己挖的坑自己终究要填上。想起了之前高中的时候学习时有一种说法叫做将知识体系化，要有一份知识网络，当时仅仅是将一些基础知识点和公式总结起来。实际上知识形成体系是将知识从二维的方面变成三维的空间，就像人的大脑一样，脑回路之间有很多电传导就想这样数学的学习才到达了一定境界。 再回到今天所讲的解析几何，我之前从来没想过解析几何是几何与代数的结合，以代数作为解决几何的一种工具充分发挥了它作为代数的优点，利用计算去代替复杂的逻辑推理，利用简明的公式去解决不易被定量分析的几何。同时几何的存在也在帮助代数的发展，用更加直观的图形来表现代数，用图形来理解代数，用代数来解决几何问题，人们就以这样的方式一点一点将数学大厦建构完成。8小时前
3 赞其实我们读书的时候，就像是涨潮时。 这一时期里，每个人或多或少都能记住些东西。退朝后（毕业后），还能记住的，那些印在脑子里的，才是真正发挥作用的东西。这些才能影响我们的行为习惯和思维方式。 所以，我的观点是读书要理解，比如理清笛卡尔几何，而不是平面几何。 目的是打通系统的思维方法。从平面几何理解，就是单点的了。从笛卡尔几何，就会不断地探寻笛卡尔这人的思维方式，接连把它的整个思维体系都拿出来看。这样就算是通了。 因为当你拿出来他的整个思维体系时，就会进行系统思考。8小时前
3 赞油藏的的含油率（1-fw）和含水率(fw)存在一个神秘的关系：对应时间点的fw*(1-fw)是一个开口向下，最大值为0.25的抛物线。 无论我国的陆相（湖泊、河流等）砂岩油藏，还是国外的海相碳酸盐、硅酸盐油藏，都符合那个物理现象。感兴趣的同行可以试试，单井或区块数据都行。 上面的现象或方程是我国外那位导师对油藏中巴克利-列维尔特求3维半解析解得到的。我用国内从南到北的油藏都试过，无一例外。8小时前
2 赞解析几何将原本纯粹的代数问题转换为直观的几何问题，这一点在过去我并没有意识到它的重要性，只觉得多了一种数学工具而已，至于它的关键性与突破性我并没有概念，但是从今天的讲解，我能够抛去过去只顾记公式刷题的刻板印象，对解析几何有一个更新的认识。9小时前
2 赞这节课的收获： 1.解析几何的意义，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过坐标把数与形结合起来，有了坐标，运动和变化进入了数学，进而发展微分与积分。 2.对于数学作为工具的理解，重要的是学会使用工具的方法和技巧，并不断的学习使用新工具，做到融会贯通，而不是机械重复的用工具，忽略了方法，这和我们上学的时候花大量时间去做题没什么分别！ 3.老师最后的总结扎心了！好像说的就是自己，进入不惑之年，回想上学学了那么多年数学，除了应付考试，真的忘的差不多了，所以要以新的方法和态度重新学习数学思维，重新和知识做朋友！9小时前
2 赞二十来年过去了听到这才恍然大悟，原来这才是解析几何，以前真的只会死记硬背，刷题刷题再刷题，老师讲的以前都知道，但真是不理解里面的原理，以后给孩子讲数学的时候，一定要用老师的思路去让孩子学习、理解的更透彻，让孩子学好数学，更要运用到数学，还可以从小培养深入研究、探寻本质的习惯； 再而对几何的深刻理解研究出新的工具-解析几何来进一步的理解、剖析几何，进行降维打击，这是高手；在日常的工作、生活当中，碰到难题时，有时候就需要这么一个从另外视角来看待问题，找出新的方法，对现有难题进行突破。10小时前
1 赞听完今天的课程，想起了高中时候做过的立体几何，立体几何有些难题证明真是很难看出来，看出来就只能干着急，后来老师给我们讲了在立体几何中建立三维坐标的方法，把几何证明转化为代数问题，瞬间就轻松了很多。这对于那些立体空间感不强的人真是福音，感觉就像是黑进了系统的后台，随便操作。7小时前