吴军
这一讲我来回答大家的几个典型问题，一起巩固学过的知识，加深对它们的理解。
长梦之河
老师好，既然工具很重要，那么为什么在小学不教授像二元一次方程[]这样的先进工具来解决鸡兔同笼的问题，还偏偏要用老工具呢？
吴军
这个问题其实在课程里说了。
除了个别天才，小学生的接受能力其实非常有限。好的教学是根据学生们的接受能力讲授内容，如果明明知道很多学生的接受能力没有达到理解二元一次方程的水平，还硬要往多了教，往深了讲，学生们最好的情况是在不理解的情况下背下来一些方法，差一点的情况是完全蒙了。
从我们很多读者在这门课的留言中可以看出，很多人都有这样痛苦而失败的经历。就算很多人背下来了，当时能做几道题，以后也都忘了，而且由于把数学学成了一门需要死记硬背和刷题的课程，会一辈子烦这门课。因此，不看对象过分拔高，害处远远大于好处。
杨进
微积分中的极限与我们日常生活中说的极限有什么区别？用动态和极限的眼光看世界是怎样的一种视角？它们具体在生活中的表现方式又是怎样的？谢谢老师。
吴军
微积分中所说的极限和生活中所说的极限有两点是相同的，即：
1.都有不断逼近，或者趋近的含义。
比如说你健身时负重深蹲的极限是80公斤，不是说你一上来就能负重这么多，而是说你从50公斤开始练习，可能三个月后能够接近这个范围。因此，从动态看问题这方面讲，两者有相通的地方。
2.它们都有一定的预见性，比如知道事情发展下去，一定是某个结果。
但是它们又有这样两个不同之处。
1.在生活中我们有时说的“某某极限”其实并非数学上极限的概念，它们更像是数学中所说的上界，或者下界，那才是无法突破的意思。比如我们刚才说的深蹲的极限是80公斤，但是如果你想越过它，可能腿或者腰就要受伤了，这其实是数学里上界的意思，也就是说，一个无法超越的边界。
数学上的极限强调的是，在很长的时间，或者很远处，它最终的趋势并非不能突破，比如我们说斐波那契数列后面和前面两项的比值R，它在黄金分割1.618……附近浮动，有时会大于黄金分割值，有时又小于这个值，并没有无法突破的意思。
在数学上，那些无法突破的边界被称为上界。有些时候，极限是一种上界，比如1/2+1/4+1/8+……= 1，1既是极限，也是上界。但是更多的时候，它们是两回事。
2.数学上的极限是绝对的、明确的，生活中却未必。比如你以为你跑百米的极限是13秒，但是你可能后来发现其实是12.5秒。随着能力和见识的提高，原本的天花板可能就被突破了。在数学上可没有这么一说。关于这一点，你可以点击文稿里的超链接，回顾我的《谷歌方法论》第8封信，关于做事情的三条边。
数学上的很多概念和方法，可以帮助我们理解现实生活中的事情，但是它们并不一定能和现实问题划等号。毕竟，世界上有很多问题并非数学问题，这一点我们在课程中也强调过了。
春子
说到无穷大，最近刚看到大栗博司在他的书《超弦理论》中提及欧拉的一个公式，1+2+3+4+……+∞=-1/12 ，并在书末附带了初等数学证明和高等数学证明，仍觉得难以认同。不知道吴老师是否有点开迷雾的理解方法？
吴军
这看似荒唐的结论，道出了数学和实验科学的区别。
这个问题在2018年黎曼猜想乌龙事件时，我在《谷歌方法论》专栏里大致介绍了一下。（第196封信 | 黎曼猜想和认识的延展）
当时大家缺乏对数学一些背景知识的了解，因此无法讲得很透。这回我们学了很多数学的道理，能够讲得比较清楚了。
在上面的问题中，首先涉及到数学上一个被称为“延拓”的概念。什么是延拓呢？比如我们过去做减法，2-3的结果就不是自然数了，因此最早人们只能规定，减法必须是大数减去小数，不能反过来。
但是，后来人们就在想，如果我维持减法的逻辑，能否扩展一下数的范围，看看在这样的逻辑下，得到什么结果呢？于是人们就拓展出负数，而且根据和大数减小数完全一样的逻辑，得到了-1这个结果。这就是将减法这种运算延拓到更大的定义空间。
类似的，我们前面讲了，将-1的平方根定义为虚数i，也是对开方运算的“延拓”。注意，延拓的要求是计算的逻辑和原来完全相同。你可以简单地把延拓理解为在想象的世界里，一次合乎逻辑的认知升级。
上面那个问题，其实也涉及到级数（也就是数列相加）这个运算的延拓。我们在前面讲过，一个等比级数，如果比值小于1，它最终的和就是一个有限的数。但是对于下面这个级数，即调和级数：
Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……
无限地加下去，结果等于多少呢？看似它后面的各项越来越小，但是总和并不会收敛到一个有限的数，而是无穷大。以后，人们发现，各种计算级数的方法，能够使用的前提就是，最终加起来需要是一个有限的数。如果是无穷大，那些方法算出来的结果没有意义，这就如同要规定被减数必须大于减数一样。
对于上面这一类调和级数，欧拉发现稍微作一点调整，它就会收敛，比如我们计算：
欧拉发现，它是一个有限的数，恰巧等于圆周率π^2/6。
再接下来，欧拉把这一类的级数再次推广，让级数中的每一项可以是任意的s次方。
即整数倒数的s次方之和，这里面s可以是任何数。这个函数后来被称为了黎曼Zeta函数（并没有用欧拉的名字命名），但是它通常的解法却被称为了欧拉乘积公式。
欧拉发现只要s大于1，上面这个级数就是收敛的，存在有限的答案。如果s等于1，即前面的调和级数，级数和就是发散的，结果是无穷大。当然，如果s小于1，肯定更是发散的了，因为这时的数值比调和级数要大。于是，按照我们一般的做法，就是为这种Zeta函数画一个有意义的定义域，即s必须大于1。
但是欧拉作为历史上有名的大数学家是很有想象力的。欧拉就想了，如果让s变成了负数，然后还是用s>1的逻辑来计算相应的级数，会是什么样的结果呢？
这种想法在我们的现实世界里是很荒唐的。这就如同大家在小时候如果问老师2-3等于几，大部分老师都会说，别管它，只能是大数减小数，不能倒过来。
但是，欧拉没有去管这件事有没有现实的意义，他只是按照过去的逻辑算了算，就得到一些有趣的结论，比如s＝-1，这个级数其实就是：
Z（-1）= 1+2+3+4+……，即正整数之和，算出来的结果居然是-1/12。
至于这个结论是如何产生的，你不用太关心，当我们把级数的定义范围从必须收敛，延拓到可以不收敛时，就能够得到上述这个符合逻辑，却不符合常识的结论。欧拉其实还得到很多荒唐的结论，我列出了几个：
从这件事我要强调两点：
- 欧拉的这种做法符合逻辑。在数学上，一旦设定好了前提，不论通过什么逻辑得到什么结果，都是合理的，这是数学和自然科学本质的差别。
- 但是，在我们通常讨论级数的定义域中，那些结论并不成立。因此大家使用那些结论要特别小心，要注意条件。
在欧拉之后，对黎曼Zeta函数的定义又作了延拓，把定义域从实数的范围扩展到复数，并且提出了著名的黎曼猜想，也就是在复数的范围内，讨论Zeta函数在什么时候等于零。
我们前面讲了，Z（-2）=0，其实Z（-4），Z（-6）都等于零。除此之外，还有什么情况可以让Zeta（s）=0呢？黎曼给出了他的想法，说这些让Zeta函数等于零的复数解，都在复数平面的一条直线上，这就是黎曼猜想。
这个问题的细节大家不必关心，只要记住一个事实就可以了，即黎曼猜想和我们今天寻找大素数，改进加密有关。当然，人们认识到这一点，是在黎曼提出那个看似没有太多实际意义的猜想近一百年之后的事情。
从这个例子可以看出数学和自然科学的差别。很多看似荒唐的，却完全符合逻辑的数学结论，并非一点用途没有，很多时候几十、几百年后，我们会发现它们的实际用途。从欧拉看似荒唐地将Zeta函数作延拓，到后来的黎曼猜想，一开始都是单纯的数学加逻辑的游戏，可是我们今天发现它们其实也有用。
吴军
以上问答就是今天的全部内容，主要回答了最后一个问题，如果你之前听过我的《谷歌方法论》，是否对黎曼猜想的相关内容有新的认识呢？欢迎你继续提问和思考，坚持学习与留言。我们下一模块见！
用户留言
28 赞#数学助教# - “延拓”思维 什么是“延拓”？ 一些原本为事物 A 订做的“衣服”，经过一些“裁剪”，穿在了事物 B 身上。 于是，这些“衣服”的“受众范围”被拓宽了。 【数学中的延拓】 数学中的各种“操作符”，就相当于上面说的“衣服”。 *“自然数”的加减将其延拓到“整数”，“整数”的乘除将其延拓到“有理数”；“正有理数”的n次根式将其延拓到“实数”，而“负数”的n次根式将“实数”延拓到“复数”。 *“级数求和”从自然数 n 延拓到实数集合，就变成了“微积分”。 *“数”的加减乘除，还可以应用在“矩阵”上的计算；而矩阵再进一步，就是“张量”计算。 # 每一次延拓，都好像一次“认知升级”。 【语言中的“延拓”】 原本形容“刀具”的“尖锐”，被延拓到“眼神”或“话语”； 原本形容“味觉”感受的“甜蜜”和“苦涩”，被延拓到“生活”； 原本形容“方位”的“高”和“低”，被延拓到“能力”和“阶级”； …… 【生活中的“延拓”】 从事产品设计的人，可谓是“延拓”的高手了。 食品工业，将食材和做法的排列组合做到了极致，只要能吃；例如“油炸冰激凌”…… 护肤美妆领域，很多本质一样的东西，换了个使用场景，起了个新的名字，就是一款“新品”了…… （例如两支笔，成分差不多，用在眉毛上就是眉笔，用在眼睛周围就叫眼线笔） # 平板电脑的功能还可以延拓到“盖泡面”呢…… ---------- # 延拓，就是用类比思维，在定义的边界外，探索新的可能性。7小时前
14 赞#数学助教# 1. 最喜欢线上课程的提问与回答环节，感觉自己与老师能够零距离对话，能够极大地调动思考和学习积极性； 2. 宝木老师每次回答问题前的“嗯”，也太可爱了吧！ 3. 希望吴军老师多一些问答和加餐，这样的问答课程太过瘾啦！ 借此机会，我也回答最近在留言区被问很多次的一个问题： #请问助教，证明/知道/会算了这个有什么用？ 每每看到这样的问题，我也是一脸懵逼的，不知道怎样回答。以下是我对这个问题的一些思考。 知识从一般意义上的「有用性」，大概可以分为以下三类：① 有些知识，短期内瞬间可以转化为技术，创造价值；② 有些知识目前看起来确实没用，但可以预见它以后可能产生的巨大价值；③ 有些知识，无论现在看还是长远看，好像都没有什么实际应用； 对于前两种知识，它们「有用」是显而易见或者时间早晚的问题。但是对于最后一种知识，我们很难在日常生活中找到它们可以用到的地方，甚至根本就是没什么用处。但是，仔细想想，让我们生活变得五彩缤纷、百花齐放的大部分东西不正是这些看似无用的东西吗？有时候，我在想，当你在思考这些奇葩无用的数学问题时，就像给大脑做体操，你在锻炼和强化一个平常不会经常用到的大脑肌群和回路，说不定哪天，思考着思考着，你就会变成一名总有灵机一动、脑回路清奇又不那么普通的人了。 写下这个想法，我觉得自己就挺古怪的~7小时前
8 赞关于小学为什么不直接教方程，而是偏要用老工具，结合自己的经历，我是这么想的： 1. 我上小学的时候也学过奥数，很多奥数的内容理解透彻了，回来再看平常课堂的东西，就会觉得非常简单。工具是会影响思维方式的，用更高级的工具打开了思维，看那些“平常”的问题，就会有一种“高维打低维”的感觉。 2. 但是，获得这种“高维”的能力有两个前提，一是主动思考，二是必须要理解这种工具。可能的确是因为当时智力不足，我小学时学奥数，多数内容还是学不太懂的，那些学不太懂的东西，思考很浅，自然也就没能内化到思维中。 3. 即便不能深入理解，高级的工具也的确是好用的。但是这种“好用”却并不理解的工具会带来一个副作用，就是略过了必要的思考环节，使我们放弃主动思考，放弃提升思维能力的机会。 4. 数学工具的“高低”与“难易”，我认为根本上讲，就在于抽象的程度。越是抽象的数学工具，越难以理解，但也越接近事物背后的普遍规律——掌握了高级的思维工具，相当于理解了更深层的规律，再看普通的问题自然就会很轻松。 5. 从幼儿到青年期，抽象思维能力是在逐渐成长的，只有成长到了一定阶段，才能够理解相应程度的抽象工具。而这时候，如果提前将更加抽象的数学工具教给孩子，其结果就是让他们略过了思考与理解的过程，放弃了锻炼思维的机会。学数学的一个目的就是锻炼思维，教了更高级的工具却丢掉了思维，无疑是本末倒置的。5小时前
7 赞“在数学上，一旦设定好了前提，不论通过什么逻辑得到什么结果，都是合理的，这是数学和自然科学本质的差别。” 这句话我特别认可。 记得在很久之前我上过一位市里最顶级的数学老师的课，他在第一堂课跟我们说，三流老师教你怎么做题，告诉你一道题该怎么做；二流老师教你们解题方法，让你有举一反三的能力；而一流的数学老师教你们数学思想，它可以帮你们解几乎所有的题。 那时候我记住了这句话，随着年龄增长，我对数学认识的加深，我越来越认可这句话。 记得在他的课上做过一个总结归纳的题，就是让你观察一组数据，通过总结规律写出函数的解析式。由于给出的数据具有偶然性，除标准答案外，还有符合这些数据的解析式，但并往这组数据的变化趋势推广下去，不符合标答的解析式就会出错。 这时就是体现好数学老师的水平的时候了，他并没有把写出与标答不同的解析式的同学算错，而是算对了，并且当众鼓励这种做法。他讲到这种漏洞是出题人的问题，不是学生的问题，题目可能跟你要的是表达，但前提不清晰，学生通过逻辑得到一个合理的结果在他看来就是对的。 我觉得这件事背后是他鼓励学生深入思考数学问题，而非简单解题。毕竟比起一道题的对错，培养思考的能力才是更重要的事。4小时前
6 赞数学中的极限是不可以被逾越的，人生活中的不少则可以。 比如一个人职业发展的天花板，可以随着自身能力的提升，超越之前的。 又比如著名的马尔萨斯陷阱，随着科技的发展，人口增多了却没有面对他所预言的局面。 在实际生活中，我们可以意识到越靠近数学的极限就越不可能被逾越，而越靠近人文的则更有可能随着情况发生改变。6小时前
4 赞今天学到“延拓”的概念。一个关键点是，扩展了研究对象的定义，但保持计算的逻辑不变。比如那个zeta函数自变量s的取值扩展到实数，但仍然按照级数收敛时的解法求得函数值，而不能把每一项得出大于1的数后再求和。延拓后得出的结论可能与常识和直觉相悖，但由于逻辑正确依然是有用的。 延拓的方向是更通用、更一般、更抽象，我们已经掌握的常常只是特例和近似。事物总是越抽象越难理解，就好比我们学物理总是从牛顿力学开始，多数人都可以掌握。但直到大学才知道相对论和量子力学才是更为精确描述世界的理论，然而却十分难懂。6小时前
2 赞我发现我状态变好后耐心明显增强了。我居然听懂了本讲的逻辑脉络。就是用错的方法玩着玩着玩出了花样。有意思。5小时前