你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们上一讲在讲函数时说，在函数中，一个变量先变化，另一个随着它变化。比如圆的半径R增加一倍，面积S增加到原来的4倍，后者随着前者变化。
如果我们把这个关系上升为抽象的逻辑关系，那么就是半径变化是因，面积变化是果。我们用这样一个箭头代表确定性的因果关系 R→S，用下面这样一个函数来表示：
S=πR^2
通常，我们称R是自变量，S是因变量，或是自变量R的函数，因变量和函数通常说的是一回事。
如果把上面这种函数关系形象地用曲线表示下来，那么它就是半根抛物线：
注：这段曲线只有右半边，没有左半边，因为圆的半径不能是负数从这个例子可以看出，函数中的自变量，虽然从名称上来看，似乎自己怎么变都行，但其实它有一些特定的限制条件或者范围，比如圆的半径必须大于等于零就是限制条件。我们在之前讲到的几何数列中每一个数，可以表示成2^N（或者r^N），但是，这个N必须是整数，比如1，2，3，4等等，不能是半个，这就是限制条件。
自变量的取值范围或者限制范围，我们称之为函数的定义域。这里面的域，就是疆域的意思，它表明一个函数所描述的变化规律是有范围限制的。当一个函数的定义域确定之后，因变量，也就是函数值也就受到了相应的限制。
比如说几何数列2^N，取值只能是2，4，8，16……这些特定的整数，不可能是2.5这样的小数数字，甚至不可能是3。函数值的变化范围，我们称之为值域，这个名字顾名思义，也很好理解。
类似的，我们上一讲所说的现实生活中遇到的各种函数，也能确定因果关系，定义域和值域。
比如班上每一个人的身高，因果关系就是人决定身高，也就是说“人→身高”。函数的定义域是特指班上的人，不是所有的人，他们的身高也在有限范围之内，比如从1.5米到1.9米，而不是任何的高度。你如果算出一个人的身高是10米，说明一定是什么地方搞错了。
对于函数，很多人常犯的错误在于没有***虑定义域，滥用函数关系，比如不能假设圆的半径是负数，然后套用S= πR^2这样的函数去计算面积。类似的，在生活中，很多函数使用起来也要***虑定义域。
比如对于那些平时成绩在90分以上的学生，如果老师每多教10%的内容，他们就能多学会5%，这看似多教是有好处的。但这个函数是有定义域的，对于成绩70分以下的人，这个变化规律可能就不成立了，教得越多，成绩越差。因此，使用任何规律之前要看条件是否相符，不能错误地套用了公式。
讲到函数中的因果关系，有两点需要明确指出。
首先，数学上的因果关系和生活中的可能不完全相同。在物理学等自然科学上，因果关系常常是单方向的。
比如你从比萨斜塔上坠下一个球，它就以自由落体的加速度往下坠落，落地时会有一个速度，这个速度是地球重力加速度导致的，因此加速度是速度的因，而不是反过来，这是非常明确的。再比如，张三在20米外观看这件事，那么你先扔了球，他才看见，这也是因果关系，不可能倒过来。
但是数学函数中的因果关系未必如此。在一个函数中，自变量和因变量的角色是可以互换的。我们前面说，给定圆的半径，我们通过一个计算面积的函数S=πR^2，算出面积，因果关系是半径→面积。
但是在现实生活中也有反过来的情况，比如一家四口人到必胜客吃午饭，需要先根据每一个人的饭量，确定面积是多大的披萨饼才够吃，然后根据R=√（S/π）再算出半径（直径），看看是买14寸的、16寸的，还是18寸的。这时面积就是自变量，半径就是因变量了。因果关系变成了面积→半径。
我们同样可以用x坐标代表面积，y坐标代表半径，画一条曲线，就是下面这个形状，如果你对比前一图，会发现两条曲线形状相似，只是翻转了一下。更准确地讲，它和原来的曲线是相对45度角的对角线对称的。
为了更完整地描述和研究这种把因和果置换后的函数关系，数学家们提出了反函数的概念，比如y =√(x/π)和y=πx^2就是互为反函数。在笛卡尔坐标系中，反函数的图和原来函数的图就总是相对45度角的对角线对称。
比如下图是对数函数（蓝线）和指数函数（绿线）的关系图，它们相对对角线红线是对称的。
为什么对数函数和指数函数会互为反函数呢？我们不妨从两个角度看同一件事情就知道了。
比如你购买国库券10000元，以6%的年息复合增长，请问12年后你的本息一共是多少呢？我们知道X年后的本息Y是一个指数函数：Y=10000*(1.06)^X，代入X=12，大约是20122元。也就是说大约12年后投资翻了一番。
如果我们倒过来问这个问题，今天买10000元国库券，多少年后才能本息翻一番，那么这就是对数函数的问题了，我们把X作为若干年后的本息总数，Y作为时间，这样 Y=log（X/10000），算出来大约是11.896年，也就是12年左右。因此，指数函数和对数函数互为反函数。
说到投资，这里给大家讲一个计算回报的简单方法——72定律。假如你的投资回报率是每年R%，那么多少年投资才能翻一番呢？基本上是72/R年。刚才的情况是R=6，大约是12年，如果提高到8%，只要9年就够了。
别看这2%的差异并不显大，如果我们把时间放大到36年，也就是一代人的时间，那么回报就是翻番三次和翻番四次的差异了。因此一个人善于理财，还是不善于理财，到退休的时候，财富很容易差出一倍。
接下来我们谈谈数学上因果关系的第二个注意事项，当一个函数的变化由两个，或者更多的变量决定时，单个变量和函数之间的因果关系，并不是函数值变化的必然原因。
比如说，我们要计算圆柱体的体积V，它和圆柱半径R的平方成正比，和圆柱的高度h成正比，即
V=πR^2*h
这时，如果高度增加一倍，体积一定增加一倍吗？我们只能说，有可能，但是前提是半径要保持不变。反过来从结果看，如果体积增加了一倍，我们也并不知道是否是高度变化所引起的。
如果我们把体积V，半径R和高度h的关系画在一个三维的图中，那么大概是下面这张图的样子。从图中你可以看出，决定体积的因素很复杂。
在多变量的情况下，我们只能得到这样的结论，就是体积的变化和高度的变化是正相关的，而且相关性是100%，也就是说，在其它条件不变的前提下，一个变大，另一个也必然变大。类似的，体积变化和半径变化也是100%正相关的。
在生活中，很多人经常把正相关性、因果关系和必然性相混淆。比如说，每年的平均投资回报率和最后拿回来的钱总数是正相关的，这点毫无疑问。但是在投资时，总是找那些回报率高的项目或者投资产品，20年后拿回来的钱一定多么？
不一定，因为最后能拿回来多少钱，不仅看平均回报率，还要看投资风险，一些高回报的项目也是高风险的。也就是说，平均回报率高，和拿回来的钱多并不形成因果关系。
很多人看到别人投资高风险、高回报的项目发了财，觉得这种好事情也能摊到自己身上，可是等自己真拿出真金白银投资时，高回报没有起作用，高风险却应验在自己身上了。了解了相关性和必然性的差别，能让我们少犯错误。
在上面计算圆柱体积这个例子中，我们还只有两个变量，在很多实际问题中，影响结果的变量非常多。比如在经济学上，美国政府和研究机构公布的各种和经济有关的指标有上万个，试图根据几个指标就预测今后的趋势近乎不可能。
在生物体中，情况更加复杂。经济学上的很多指标好歹还是明确的正相关或者负相关，而生物上很多体征和指标，同我们要找的疾病、遗传，或者新陈代谢的相关性是非常模糊的。在这种情况下，我们把相关性误解为有因果关系的必然性，是非常危险的。
但是，我们也不能因为很难确定必然性，就放弃对相关性的探究。只有当我们发现了影响结果的各种变量，并且搞清楚它们和结果之间的相关性，才能对最后结果的走向有一个全面完整的了解。
比如，当我们知道了决定圆柱体质量的三个因素，即它的半径、高度，以及材料的密度之后，虽然每一个因素都不构成质量增加的因果关系，但是在不同场合，我们就知道该如何调整尺寸和选取材料来达到目的。
学术研究的主要目的，已经从过去那种寻找确定性，变成了挖掘尚未人知的，能影响结果的变量，并且寻找它们和结果之间的相关性。在研究某一个变量的影响时，我们通常要屏蔽其它变量的作用。
比如我们研究体积和尺寸的关系，先要假定半径是不变的，才能知道高度的影响。但这样一来，绝大部分学术研究，特别是人文和社会学科的研究，都不得不集中在几个视角，搞清楚特定变量的影响。这并非研究人员缺乏全局观，而是整个学术界其实给他们的分工就是如此。
今天很多学术专著，也是从特定视角看待问题。万维钢老师讲过一句话，人文和社会学科与自然科学领域的特点完全不同，前者更像是江湖，学者们彼此很难互相说服，这其实非常准确地描述了学术界的特点。
了解了这个特点，我们在看学术专著时，就不要把它当作对某个结论全面的论述，而把它们当成是揭示某种相关性的著作就好。
要点总结：
只有一个变量的函数，自变量和函数值之间有因果关系，一个变化导致另一个变化。但是，函数的使用要***虑使用范围，对于任何规律其实都是如此。
由多个变量决定函数值的函数，每个变量和函数值有相关性，有些还是百分之百的正相关，但是它们没有决定性，也没有必然的因果关系，切忌把相关性和因果关系混为一谈。今天的学术研究通常只能在几个维度研究相关性，因此对于研究的结论，我们要全面看待。
函数的学习就告一段落，下一讲我们学代数模块的新内容“向量代数”。我们下一讲见！
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27 赞#数学助教#-相关和因果 【延伸阅读】 1.《卓克-科学思维课》“265｜心理：再高的相关性也不是因果性” 2.《为什么》（电子书，每天听书解读，万维钢精英日课 2 解读） 【数学定义的相关性】 统计分析中，会用“相关系数”来衡量两个变量之间的相关性。 - 这个系数在 [-1, 1] 之间，绝对值越接近1，说明两个变量越相关；越接近0，则越不相关。 - 最常用的是“皮尔森（Pearson）相关系数”，当然还有其他不同的定义；但是它们都有一个共同的思想 ——“同涨同跌”正相关，“反涨反跌”负相关。 然而“相关系数”只是一个量化的指标，给人参***罢了。 - 有时候，可能两个变量很相关，但是算出来的相关系数并不大，甚至是 0 ——可能是选错了相关性的“指标”，可能是复杂的“非线性相关”，可能是没有“控制变量” 总之，“指标”是会骗人的。 但是，有一个指标，也好过没有指标的瞎猜。 【相关不等于因果】 然而，我们却无法用数学的纯理性，来定义“因果关系”——尽管我们本能地认为因果性更有意义。 哪怕“相关系数”绝对值为1，也可能毫无因果关系。 * 最常见的情况，就是两个“变量”受着同样的“潜在因素”的影响。 - “冰淇淋的销量”和“被水淹死的人数”存在很大的相关性，其实是背后的“季节”、“气温”作用的结果。 - 两个水平相当的学生，***试成绩会有很大的相关性，难道要说他俩******？ * 哪怕存在因果关系，我们还有可能“因果倒置”。 - 学习富人的一些行为只会让我们“显得有钱”，而不会真正变得有钱；很多行为只是有钱的结果。 - 同样的，总结自己或别人的成功“经验”的时候，我们得到的原因，可能是成功的结果。 【用函数理解相关和因果】 “人是一切过往经历的总和”，说的是，此时此刻的你，就是之前你所有的经历的“函数”。 “人如其食”（You are what you eat），你的身体状态，就是你所吃进去的所有食物的“函数”。 而食物之于身体，就如信息之于大脑；正如“人如其阅”（You are what you read）——你大脑中的想法，就是你接受的所有信息的“函数”。 # 昨晚上写完代码之后，脑子一片空白……难道要说，代码看多了，脑子要变傻？但我更愿相信只是困了——看吧，其实“因果”更是一个主观的东西。6小时前
22 赞“人文和社会学科与自然科学领域的特点完全不同，前者更像是江湖，学者们彼此很难互相说服，这其实非常准确地描述了学术界的特点。” 老师真是温柔啊！15小时前
20 赞这节课让我想到了现在的天气预报，她就是一个复杂的计算系统，数据值的输入会影响到结果的精确性，有时候某一个数据从绝对值上相比几乎没有太大差别，但放到复杂的系统当中去计算一下，结果也会差出个十万八千里，真的蝴蝶扇了翅膀后引起飓风的感觉。 这也有一次给我敲了个警钟，就是不要把相关性当成因果性，反之亦然。人们太习惯于因果思维，对任何事情总喜欢找原因，并且是找唯一的原因，那就更不能被因果思维所影响，。16小时前
14 赞因果性与相关性区别有以下八点： （1）因果性是确定的函数关系，因此只能有一个自变量； （2）当函数可逆时，因变量和自变量可以互换。在具体场景，因果性也可以互换； （3）在一些条件下还可以互为因果，如鸡与蛋的关系； （4）当变量很多时，只能说自变量与因变量具有相关性； （5）相关系数是描述相关性的量度，位于0和1之间，相关系数越大，相关性越强； （6）但是，相关系数为1，也不能说明二者存在因果关系，①如啤酒销量与纸尿裤销量；②因果关系是逻辑先后的； （7）采用机器学习，人工神经网络，可以对多因素，非线性关系进行学习，训练，从而实现预测，这是大数据的贡献； （8）但要实现人工智能，还是要找到因果性，多变量的定量化的影响概率，条件概率等等，从不确定性中发现确定性，即主控因素，并量化它。9小时前
13 赞#数学助教# ● 数学中的x，y是平等的 我们时长定性地认为x是自变量，y是因变量，先有了x才能推出y，实际上，x表示自变量，y表示因变量只是数学表达中的一种习惯而已，究其本质，x与y是完全平等的。 x，y都是变量，两者的变化都会引起对方的变化，它们的变化是一一对应的，这也是上一讲我们强调的「对应关系」。稍微拓展一下，一个函数 y=2x 和另一个函数 x=2y，甚至 z=2t，w=2v 等等，全都是完全相同的。函数和它用什么字母表示没有关系，表示方式只是一种显性的工具，只要对应关系相同，他们就是相同的函数。 ● 控制变量法 相信「控制变量法」这个词大家都是熟悉的，我们在中学物理课程中经常听到这个词。它和我们今天讲的「因果性和相关性」有着紧密的联系。 比如：水的沸点（烧开的温度）与气压和其中盐的多少（浓度）都有关系。那么我们就说「水的沸点与气压和浓度都是相关」的。控制变量法是科学研究中最常用的研究手段，它的本质就是将相关性变成因果性。比如，控制气压这个变量为一个定值，改变浓度，这时浓度的变化直接会带来沸点的变化，浓度改变是因，沸点改变是果；相反，控制浓度不变，只改变气压这个变量，沸点的变化就可以归因到气压变化。但是试想：如果浓度变化的同时气压也变化了，这是沸点的改变到底是因为浓度还是气压呢？我们就说不清楚了。 所以说，控制变量，也就是本节课说的学术研究只能集中在某几个视角，就是在将相关性变成因果性，只有这样的研究才能归因，才有意义。8小时前
8 赞自变量与函数之间存在着紧密的相关性，并且一方改变通常也会引起另一方的变化。这种强烈的“牵连”关系，有时候就被我们视为因果关系。 但函数里的因果，与现实中又有很大的区别。函数的因果关系通常取决于我们的定义，到底是 y = e^x 还是 y = ln(x) ，要看我们想把谁当成自变量。但现实中的因果关系往往是单向的，比如很多动物在晨昏时分都会异常活跃，但反过来你却不能说，它们的活跃让太阳“移动”到了地平线附近。 然而现实中因果关系的制约，又不仅仅是“方向性”这么简单；它往往不是直观的、必然的。就我观察，因果经常会以这样几种形式呈现： 1. 概率的因果：即函数影响的不是结果，而是结果出现的“可能性”。例如癌症，我们用概率去描述其发生的可能性，并且评估不同的“原因”对这个概率的影响。比如吸烟、饮食不健康等会提高患癌概率，但提升概率最显著的，却是年龄的增长。 2. 多重因果：核电站会有多道安全措施，出现安全事故，就肯定是所有的措施全都失效，原因不是单一的，而是复合的。现实中“概率”与“多重”经常一起出现，上述癌症的例子就是代表。 3. 不同环境下因果的差异呈现：万维钢老师刚解读完《行为》这本书，里面一个例子就很有代表性：催产素通常被人和慈爱联系在一起，但催产素浓度高，有时却也会呈现更高的攻击性——实际上，催产素能让我们更加区分敌我，在“自己人”这里展现慈爱，对待“敌人”则大胆攻击。实际上，因果的差异呈现，更应该被解释为若干不同层次的因果关系的叠加，有些层次是简单因果，有些则是多重的或概率的因果。 此外，在一些领域，我们甚至还需要评估，因果关系本身的可靠性，或者说是“函数关系”本身存在的概率。比如国际癌症研究机构（IARC）就将各种可能的致癌物，按照证据强度来分级。这个分级描述的，就是我们对“这东西能致癌”这件事有多么确定，至于致癌物到底能提升多大的患癌概率，则不在这个分级的讨论范围之内。12小时前
8 赞生活中大多都是相关性，如何找全或者找到影响比较大的自变量是关键，然后用合适的模型量化自变量，设比重就可以计算了。但只能作为参***，不同的角度，也就是选不同的模型和量化的标准结果也就不一样。16小时前
7赞函数的自变量和因变量，相当于事件的因和果，函数揭示了因和果之间的相关性，当自变量只有一个时，这种相关性，也可以看成是必然性，而当自变量有多个时，这种必然性就不成立。这给我们的启示是，如果我们要了解事情状态的原因，比如一个人为什么成功，需要注意是不是找出了所有的因素。如果不是，可能会犯归因错误的风险。换一个人、换一个时间、换一个空间，成功可能无法复制。15小时前
6 赞对于函数的使用，定义域限制了条件，只有在条件下的使用才能成立。生活中也是，要先明确前提条件，不存在一种万能的办法解决一切。15小时前
3 赞即便100%正相关，也不等于具有因果性。 老师今天课程中给我最大的提醒，就是上面这一点。查理芒格说：手里拿着锤子，看什么都像钉子。说的也是类似的道理。 我们观察和理解事物，总是要记得，自己的视角是受到局限的。没有人是全知全能的，时刻保持谦卑，是我从这节数学课中学到的重要道理。8小时前
2 赞这节课让我想到了教育的复杂性。 如果把孩子的教育看做一个函数，那么影响这个函数的自变量就太多了：家庭环境、社区、校园环境、地域……除了大环境，孩子遇到的每一个人、每一个具体的老师、每一件具体的事，都可以给他带来巨大的影响。 教育的函数是如此复杂，我们几乎没法靠少数几个方法就能确定培养出一个优秀的孩子。有了这层认知，我们就可以对市面上的各种育儿理念保持清醒的认知了，我们既要去研究借鉴，又不能生搬硬套，这也是罗胖和老喻常说的“灰度认知”。 教育的过程其实就是认识“教育”这个函数的过程，我必须通过不断地尝试各种“自变量”，从而找到让函数增长最大的方案。9小时前
1 赞前人的成功经历，并不容易复制。因为并不是天赋+努力就必然成功，还有运气的成分。有多种因素在共同起作用。 万维钢老师在专栏中写过一个公式： 成功 = 天赋 + 运气 大成功 = 多一点点天赋 + 很多好运气。 读成功人士的传记，可以了解他们的奋斗精神、做事方式，但不能一味模仿，因为环境变了，结果可能就会不同。 李连杰和吴京都曾是北京武术队的学员，而且是同一个教练。 李连杰出道后到了香港，正好碰到徐克，连续拍了很多类似《黄飞鸿》等经典的新武侠派电影，迅速成名。 而吴京则没有这么好的运气。吴京比李连杰进入武术队的时间晚了十几年。虽然是按同一个路数培养的，但吴出道后没有遇到很多贵人，拍了很多电视剧，但当时远远赶不上李连杰的名气。5小时前
1 赞吴军老师好， 这两天的函数内容比较好理解，也没什么难度，但把函数与相关性、因果关系联系起来是从来没想过的。正确区分因果关系与相关性，未必能取得什么收益，但却可以避免不少损失。5小时前
1 赞刘润老师在《商业洞察力》里说过:不要迷信相关性。正相关相关，是未知的因果。真正的洞察力，要可以始于相关性，但终于因果链。6小时前
1 赞关于相关性和因果性，我们日常生活中实在是太容易犯错误了，比如把相关性和因果性混淆，一个例子是说研究表明喝红酒会让人长寿，因为一个研究表明红酒和长寿显示出了正相关，但是可能真正的原因是喝红酒的家庭可能比较富裕，医疗条件比较好，所以使得他们平均寿命更长一点。<br />再比如两件事情一件发生在前面，一件发生在后面，那么就认为前面发生的事情是原因，后面的是结果，迷信就是如此。<br />还有一个常见的例子是对立成因，比如说听到年轻人******，就会说这一届的年轻人太冲动，等他们老了就不会这么想不开了。但是也有可能是个性极端的年轻人根本等不到变老就已经寻了短见了。<br />我们在生活中就可以经常的下意识的识别出一些常见的逻辑谬误，不要别人说什么就跟着信什么。6小时前
1 赞最近学习老师的课程通常都是读文稿的形式，觉得阅读文稿比听课效果更好，因为有时间去思***。 我是理工科-化学工艺的硕士毕业生，老师今天的课程让我想起了读硕士做课题时候的一个原则，我想身边的大多数人都是听过这个原则——“单一变量原则”，在N个影响结果的因素里，控制其他因素，验证剩余的一个因素，找到和结果相关性最强的那个因素去调变，找到最有效调整结果的办法，这也是一种长期遵守的方式。虽然影响因素很多，也很难做到真正的“单一变量”，但是尽力去保证合适的实验条件，得到符合条件的实验结论，其重复性如果足够好，应该是可以的。 除了上述这个原则外，今天还有一个思维的转变，是从因果性到相关性的转变。以前我们都想找到两者甚至多者之间的因果关系，因果关系的确定有时候是很难的，但是现在通过大数据的分析找到两者、多者之间的相关性更容易一些，通过相关性再去寻找影响相关性的过程，这也是一种实用的方法。8小时前
1 赞想起了自己中***没有满分，就是因为最后一道大题的最后一小问没有写定义域。 定义域的限制条件是极其重要的，特别是在利用函数（方程/代数）方式解决几何以及显示生活中的应用的时候，负数，分数的解很多时候是要被舍弃的。生活中也是，忘记了定义域的限制，自变量随意取数，就会错误指导生活。 多个自变量对应一个因变量，做实验的最好方法，就是控制变量法，DOE，大家有空可以玩玩纸质直升机，看看如何调整长宽高，角度，来使得坠落速度变慢。 正好隔壁何帆老师的宏观经济学也落下帷幕，宏观经济难就难在，由微观经济加总之后，变量多的数不过来，而且有时候看上去相关的变量，时间一拉长，只是凑巧相关而已（比如通货膨胀和失业率），那我们就要学会看趋势，做到模糊的对，而非精准的错。8小时前
赞1.使用任何规律之前要看条件是否相符，不能错误地套用了公式。掌握了某个公式某个结论不代表就能理解了所有事情。世界很复杂，才因此精彩。 2.由多个变量决定函数值的函数，每个变量和函数值有相关性，有些还是百分之百的正相关，但是它们没有决定性，也没有必然的因果关系，切忌把相关性和因果关系混为一谈。这句经典，不谋万事者不足以谋一世，不谋全局者不足以谋一域。9小时前
1 赞吴军老师，特别想知道你是怎么做到将这些知识点串联得那么自然的。 除了您对知识本身的厚积薄发外，我感觉到背后的历史和故事对我理解知识点之间的联系，对理解知识点本身都起到很重要的作用。 但在教科书中甚至老师那里都没有这些历史和故事，您是怎么找到这些信息的。 我想，其他学科的学习也这样，背后的历史和故事能对我们理解和串联知识起到很大的作用。 希望您能给几个建议，怎么高效找到这些故事和历史信息。谢谢。9小时前
0 赞1.从教授高中学生函数的经验来看，很多时候都是忘记函数定义域，或者默认是R，而导致犯了很多错误。 我往往会告诉学生，不忘初心，砥砺前行。定义域就是函数的“初心”，让这个函数变得有意义。 2.关于相关性与因果性，并不能说二者相关就具备因果性。想到了充分性和必要性，细思极恐啊。2小时前