你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
代数学除了给我们带来了方程和函数这两个工具，还揭示了世界上关于数字的另一个规律，就是数字的方向性。大家可能会说，数字怎么会有方向性，我们不妨先看两个例子。
第一个例子。假如你用40公斤的力来拉一个箱子，你的同事用30公斤的力来推，那么箱子受力是多少？你可能会说是70公斤啊，这是小学生学习完加法后给出的答案，但是如果他学习了减法，可能会想到如果两个人用力方向相反，那么就不是70公斤了，而是10公斤。
但是如果两个人用力方向正好呈直角，或者120度角呢？这时合力既不是70公斤，也不是10公斤，具体是多少则取决于彼此用力的夹角。
第二个例子。某个建筑工地要实施爆破，爆破的半径是120米，你要赶快逃离。当然能走的道路未必是一个笔直的方向，你有几种选择。
一种是先向北跑了100米，又向东跑了50米，这时你能逃离到安全区吗？如果你只考虑自己跑的路程，你跑了100+50=150米，超过了120米，但是由于你跑动的方向并非一个方向，你其实离爆破中心只有118米，还在危险区内。
在另一种情况下，你先往北跑了100米后，再往东北跑了50米，这时你就离爆破中心139米，你已经安全了。最后一种情况，你先往北跑100米，再往东南跑了150米，这时一共跑了250米，却只离开爆破中心106米，可以讲是吃力不讨好。
我把这几个情况画在了一张图里，图中圆圈的半径是120米，三种情况分别用红线、蓝线和黑线表示了。可以看出，只有第二种情况，即先往北跑，再往东北跑能够跑出爆炸的范围。
这两个例子虽然是我虚构出来的，但在现实中类似的情况非常多见。我们常说，一个组织，必须形成合力，才能把事情做好，我们还说，一个人如果跑错了方向，再努力也没有用，就和上面两个例子所描述的情况相一致。
因此，在这个世界上，对于大部分物理量和在生活中遇到的数量，我们不仅需要关心数值的大小，还需要关心方向。
物理中的力是如此，生活中我们行驶的路径是如此，一个人、一个企业做事的目标和所投入的努力，也是如此。当我们的知识和阅历增加时，认识水平也要相应地提高，特别是如果我们读完了大学，每次看到数字时就必须想一想，“是否考虑了方向？”否则我们就还是停留在小学生对数字的理解程度。
当然，相应的，在数学上也要有工具，来描述带有方向的数字，这种工具被称为向量。类似的，那些只需要关心数值，不关心方向的数量被称为标量。
那么在数学上向量是怎么表示的呢？通常有两种表示法。第一种是用所谓的极坐标的表示方法，比如我们常说“前面100米，11点钟的方向”，这就是在极坐标中对向量的一种描述。100米代表向量的数值，我们通常称之为长度。11点钟的方向，我们通常称之为向量的方向。
在没有参照系的空中或者海上，通常采用这种方法。在世界上一些自然发展起来的城市里，也经常使用这种方式来描述方位，比如在巴黎或者莫斯科，就会以凯旋门或者红场为中心，往某一个方向行进一定的距离。
用这种极坐标表示向量的方式在一些城市就不那么方便了。比如在北京或者纽约这种完全是规划出来的城市，街道是横平竖直的，高楼也挡住了视线，没有人会说往10点钟的方向走400米，因为你要去的点根本没有直通的道路。
实际上，北京和纽约横平竖直的街道本身就是一个笛卡尔坐标，人们通常会这样说：“往东300米见到红绿灯往南拐，再走200米就到了。”我们如果以所在地为原点，按照上北下南左西右东的概念来确定方位的话，往东300米，往南200米，目的地的坐标就是（300，-200），也就是说，我们直接用终点的坐标表示向量更有效。
而那个目标点离我们的距离可以根据勾股定理算出来，是大约360米，和X轴的方位角是斜下方34度，这和我们用长度与角度的组合表示向量是一回事。我把这两种表示法画在了下面的图中。
通常我们在坐标系中用一个有长度、带箭头的线段表示一个向量。一般来讲，在笛卡尔坐标中我们喜欢将向量的起点放在原点，终点就是坐标系中的某个点，然后我们从原点往那个点画一根带有箭头的线段。不过向量的起始点不重要，重要的是起始点的相对坐标。
比如从原点出发指向（a，b）点的向量，和从（10，10）这个点出发，指向（a+10，b+10）的向量，其实是一回事。
接下来，在给定坐标后，向量的长度和方向怎么计算呢？从图中你可以看出，从原点出发指向（a，b）的向量，其实就是以a，b为直角边的直角三角形的斜边，因此根据毕达哥拉斯定理，我们很容易计算出这个向量的长度r是a的平方加b的平方后开根号。
当然，还可以用余弦三角函数的定义，算出这个向量和X轴的夹角。这两个值我也体现在上图中。
如果我们对比一下极坐标和直角坐标对向量的表示方法，你会发现它们其实是一回事。不过在多维空间中，直角坐标常常更方便。比如三维空间中的一个向量，我们把起点定为原点，它就应该对应一个三维坐标（a，b，c），如果是N维空间的向量，就会对应N个坐标，我们不妨假设为（k1,k2,k3,……,kn）。
任何数量都可以做加减乘除的运算，向量也可以。向量的加法实际上很简单，如果一个向量是（k1,k2,k3,……,kn），另一个是（j1,j2,j3,……,jn），两个向量加起来，就是（k1+j1，k2+j2,k3+j3,……,kn+jn）。但是由于向量有方向性，向量的长度和角度，并不是原来长度和角度简单相加。
下面我们就用二维空间的向量，说说向量相加后的长度。
我们假定有两个向量V1和V2，它们相加后的向量是V3，即V3=V1+V2。那么V3的长度是多少呢？它遵循一个平行四边形法则，为了说明这个法则，我画了一个简单的图：
在图中，V1和V2是两个向量，我们以它们为两条边画一个平行四边形，平行四边形的对角线就是这两个向量之和。
平行四边形对角线的长度，我们可以用余弦定理算出来，这里我们就把公式省略了，转而讨论几个特例情况，这样大家更容易有直观的认识。为了方便起见，我只给出V1和V2长度相等的情况，而且假设它们都是单位长度，这时当V1和V2有不同夹角时，V3的长度如下：
- V1和V2方向相同，那么V3的长度正好是两个向量长度的总和，也就是2， 这是最长的情况。
- V1和V2呈30度夹角，那么V3大约是1.93，也非常长。
- V1和V2呈60度夹角，V3是1.73，就已经有点短了。
- 如果V1和V2垂直，那么它们相加，V3的长度正好符合毕达哥拉斯定理，大约是1.4。
- V1和V2呈120度夹角，那么V3的长度只有1，也就是说等于V1或者V2本身，这样两个向量叠加后在长度上并没有产生什么效果。
- 如果V1和V2呈150度夹角，那么V3的长度只有大约0.5，也就是说等于原来V1或者V2的一半。
- 最后，如果V1和V2方向相反，也就是呈180度夹角，V3等于零，也就是说V1和V2抵消掉了。
从这个结果可以看出，要形成合力就必须方向一致，即便方向不能完全一样，彼此之间方向的夹角也需要尽可能地小。如果两个向量的夹角超过了120度，那么两个力加起来还不如一个力的作用。
理解了数量的方向性，我们就可以得到一个自然的推论，那就是做事情要聚焦。如果不聚焦是什么结果？你往三个方向使劲，每一次努力其实都是有成本的，但是很多时候努力相互抵消掉了。
一个单位里，特别是那些规模不大的创业公司，如果什么事情都想做，力量不仅分散，而且彼此会产生矛盾，作用就抵消了。即使没有太多矛盾，只要用力的方向不一致，效率就低。
比如说如果两个人用力的方向是120度，也就是说有时候合作，有时候闹分歧，结果就是两个人工作只产生了一个人原来应有的产出。一些企业迷信把几个牛人堆到一起就能产生好的效果，这其实是小学生的思维方式。如果找来的人不能配合，有时越牛越有副作用。
不仅多个人合作会因为方向不一致出问题，一个人自己努力，如果方向总是摇摆，也会出大问题，比如我们前面举的逃离爆破现场的例子中，方向来回换，特别是动不动拐大弯，其实最后是在兜圈子。
既然向量之间的夹角这么重要，它们又是怎样计算的呢？其实也是用余弦定理。计算向量的夹角有一系列非常重要的应用，这些我们下一讲再讲。
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107 赞＃数学助教＃ 今天聊点儿数学之外的事……但与今天的主题有关：速度和方向。 奇葩说选手艾力有句名言：一艘船在海中航行，如果没用方向，那么任何方向吹来的风都是逆风。 今天这个世界，我们经历了太多追赶，看到了太多的年轻有为，造成一种三十岁还不成材这辈子就完蛋了的误解。知识城邦金句大王张潇雨老师说：“要记得，这个世界上并没有什么同龄人，平均值，社会标准。只有我自己，眼前事，脚下路。” 在我看来，每个人必然是不一样的，我们不能要求每个人都以同样的节奏和速度去趋于成功，如果你发现自己比别人慢，千万不要过分苛责自己，谁也没有规定非要在什么年龄干成什么事。在人生的道路上，比速度更重要的是找到自己的节奏和方向。确定了目标，就有了方向，剩下的就是按照自己的节奏，坚持下去！ 任何人的成功经验都只能是借鉴，不能照抄，因为它不可能被复制一次。能评判我们对错的，只有我们自己。埋头追赶的时候，请不要忘记时常抬头调整节奏，修正方向。时常问问自己的内心，这是不是我想要的？我有没有被什么东西带跑偏了？ 一个不能自己掌舵的人生，跑得再快都是随波逐流。欲速则不达，就是因为没有停下来，好好看看方向。 写给大家，也是说给自己，共勉。20小时前
52 赞#数学助教# - 方向与目标 【向量的内积】 向量的“加减”可以理解成位置的移动，那么，两个向量“相乘”会得到什么？ 在“内积”的意义下，会得到一个没有方向的数值。（公式见文末） 那么这个数值代表什么？ 如果你还记得中学物理中的一个知识：一个“外力”对物体“做功”的大小，就是代表“外力”的向量与物体的“位移”向量之间的“内积”。 只有这两个向量之间的夹角小于90度，外力才对物体的移动起到了“正面作用”（做功为正），否则，看起来在使劲，实际上可能起了反作用。 【我们需要目标】 同样的，如果眼下努力的方向，和真正的目标方向不一致，甚至“夹角”超过了90度——你在消磨你自己。 很多时候，焦虑来源于，将目光放在了 *与他人的比较* 上，而不是你真正的目标。为了克服这种焦虑，“别人会的我也要会”，拼命地学习各种“技能”，最后耗散了自己宝贵的精力，却可能完全偏离原先的轨道。 疲于奔命，却从不停下思考：自己的努力，是因为“饿”还是因为“馋”。 我们需要一颗“北极星”。 时不时地抽身出来，计算一下自己努力的方向和“北极星”方向的夹角；同时，给自己的努力，打上一个“进度条”——它足以驱散我们的大部分焦虑和迷茫。 （a*b = |a|*|b|*cos<a,b>，其中 |a| 和 |b| 分别代表两个向量的长度， cos<a,b> 代表 a 和 b 的夹角的余弦值）。18小时前
40 赞合力最大需要同向，信息最大则需正交。 通过今天的内容，对照复习信息论中，谈《信息的正交性》，两者不同的性质，帮助理解、连结相关知识。力学上，当两作用力 (a与b) 的夹角为0度，也就是同方向，合力的量值才等同相加 (a+b)；夹角为0~90度，合力则介于 (a+b) 与 (a^2+b^2)^0.5；夹角为90~180度，合力则介于 (a^2+b^2)^0.5 与 |a-b|。 信息则不然，相同的信息使用两次，不会产生两倍效果，信息要找彼此垂直的。那么什么是正交的信息呢？信息能对应成某空间的一个 vector，两个信息代表的 vector 若是正交，则能提供最多信息、克服最多不确定。我们可以记住三个原则：(1) 不同信息要来自不同信息源；(2) 避免反覆使用相互包含的信息，别做无用的功；(3) 看问题要刻意从不同角度观察，若能找到相互垂直、不重复的角度最好。 未来，当孩子们学习到向量的概念时，我会将力学与信息论这两者同时比较，让他们能做到横向学习、启发多元思维。19小时前
30 赞在真实世界，要摒弃“既…又…”的思维模式，事实上，没有任何一家伟大的企业能信奉用户至上、员工至上或者投资人至上的原则。 只要一家企业能沿着一条路走下去就能不错。价值观就属于方向性问题，只能有一条至上。但对于个体而言，你可以复杂一些，前期多尝试一下，最后找到属于自己的价值观。 丘吉尔在从政生涯中改变过很多次党派，很多人觉得他对信仰不忠诚。但我觉得，党派对他来说更多是手段，而非价值观，他的核心价值观是爱国。为了国家，做什么都可以，这才是更底层的价值观。 价值观这东西不是说出来的，也不是一眼就能看出来的，而是当你面临艰难抉择时，依然能坚定做事的态度体现出来的。 跟先生学的越多，学的越久，便觉得我的人生该：一生向善，成为温暖纯良的人。18小时前
20 赞想起吴伯凡老师以前讨论过惠普: 惠普曾是硅谷的象征，曾一度是IT产业创新的代名词。但如今的惠普正变逐渐变成一家越来越无关紧要的公司，根据管理学家的分析:惠普的创新能力和创新体系之间有一个非常大的冲突，一方面，惠普是一家很能创新的企业；另一方面，它也是一家没有创新体系只有创新行为的公司。 虽然惠普一直在进行各种各样的创新，但它是一种“冒泡式创新”:今天这个人冒个创新的泡儿明天那个部门又冒了一个创新的泡儿……整天就看见公司里在冒“创新的泡儿”，但最终，惠普没有一个创新能力。这就如同许许多多方向上向量的叠加，看起来花团锦簇，实际上互相抵消，不同向量想加的结果是0。 这还可以延伸到很多事情上: 生活中不乏那种鬼点子特别多的人，他们谈起想法和创意来滔滔不绝，但没怎么下地做过实事儿，结果是想法很多并没有带来真正的认知增量； 我们看到一家公司上上下下忙活得不亦乐乎，但大家的努力并没有往一处使，而是各自心怀鬼胎，最终公司倒闭了。19小时前
19 赞＃数学助教＃ 【从各种角度理解向量】 1. 一个向量是包含大小和方向的量。它在空间里可以表示成一个有确定长度的箭头。比如你打羽毛球时候击球那一瞬间对羽毛球作用的力，就是个向量。 2. 如果引入坐标系的话，在三维空间的笛卡尔坐标系里，一个向量就可以写成三个分量的形式。比如一个和x轴平行的单位向量就可以写成(1,0,0)。你也可以把像这样随便并排列出来的三个数字当成一个向量。 3. 向量其实不用坐标系它就可以在空间中存在。我们人为的规定了一个坐标系以后，向量才在这个坐标系下有了三个分量。那要是换个坐标系呢？它又有了不同的分量。这就是坐标变换了。所谓横看成岭侧成峰，转一个坐标系，同一个向量就变得它妈妈都不认识。 4. 那有啥是不变的呢？它的长度是不变的。这种在坐标变换下保持不变的东西，是我们认识向量的抓手。可以叫它长度，也可以叫它“向量的模”，或者“范数”。(准确来说是2-范数) 5. 如果一个量不止包含大小，还包含两个以上的方向呢？那这样的量就叫“张量”。机器学习里很多人听说过的tensorflow，那个tensor就是张量。这可以认为是向量概念的一种“延拓”。二阶张量和向量一样也有不变量，区别在于向量的不变量是一个，而二阶张量的不变量有三个。 6. 那还有没有别的延拓方法呢？当然有。两个数字用括号括起来是个二维空间里的向量，3个数字就是三维空间的向量；那4个数字并排呢？5个、 6个呢？延拓一下，n个数字并排写在一起，也可以看成是“n维空间中的向量”。这个东西别看它抽象，它已经在推荐算法里用了十好几年。 一个向量概念，简直打开了一扇新世界的大门。大门的另一端有无数美丽的世界，什么线性代数、矩阵论、人工智能、张量分析与场论、连续介质力学(……后面几个是不是硬核过头了)，而向量就是这些世界里基础中的基础。20小时前
13 赞昨天和朋友讨论企业的困境，两人的观点很一致，企业最大的麻烦不在外部，而是在内部。 外部市场带来的挑战，都是有办法来应对的，只要内部能够团结一致，向同一个方向努力，总有办法找到出路 。但是团结一致这个前提，特别难实现。 企业发展到一定阶段，人多了，想法也就多了。当企业没有一个能够凝聚众人的价值观时，大家就都会认为自己的想法更正确，都想按照自己的方向去努力。结果就像今天吴军老师说的例子一样，努力了半天还在原地打转。 更有甚者，一些人能力虽然不小，但是所做的努力是有利于自己而对企业有害，这样的人一旦占据了关键位置，企业的前途就更渺茫了。 不过昨天的聊天还是让给我看到了希望，在企业的里，总还是有一些人，有着正确的价值观，坚持做正确的事。有这样的人不断努力，并且越来受到重视，就还有希望。13小时前
11 赞有句电影台词，叫“人心散了，队伍不好带了”。为什么人心散了，队伍就难带呢？其实就跟向量叠加的道理差不多。 队伍里想法一致，力量都往一处使，想挣钱就一起挣，拼理想就一起拼，合力最大。但是如果人心“散”了，有的人想着钱，有的人看重情怀，有的人则更看重现实的积累，结果就混乱了：看中情怀的人不看实际意义，对挣钱拼理想都有影响；一门心思盯着钱容易短视，会对长远理想的布局造成干扰；现实主义的做法又难免会伤害到情怀。每个人都有自己的小算盘，甚至可能是“各怀鬼胎”，大家都在同时消耗着自己的与他人的资源，最终却可能什么都做不成。 不过换个角度，这种“不同方向的向量之间，作用可能会相互抵消”的道理，也可以被我们利用起来。比如一位创业者，即便有想法、有实践能力，身边也总要有管钱的、管人的、管风险的帮手。每个人都有自己的思考和做事情的角度，就能避免领头人冲得太猛，防止其做出不顾风险、不顾成本、伤害团队的事情。17小时前
8 赞在向量的定义中有长度和方向，但是不需要位置。起点和终点只是一个相对概念，不会影响向量本身的属性以及计算。 如果人生是一个向量，那么它可以是多维的。我们一辈子的努力，就是想在各个维度上尽量延展。而几个重要的维度决定了我们人生的大方向。唯一不相干的就是起始的位置，无论高低贵贱，都可以一样精彩，且什么时候开始努力都不晚。19小时前
6 赞力的方向与力的大小共同决定合力的方向和大小，不妨从正反两面来理解。 一支团队，全明星阵容，任何一个个体都是能够独当一面的牛人，单兵作战能力强大。问题在于每个人都有自己的立场和观点，甚至价值观都存在分歧。结果可能是1+1<2，甚至为负数。 另一支团队，个体能力普通，但有共同的愿景和价值观，不仅努力发挥各自擅长，而且积极补位，往往能产生1+1>2的效果。所谓平凡人成就非凡事就是如此。11小时前
6 赞想起了何帆老师的宏观经济学，国家（船长）更看重方向，而经济学家更注意方位。一个是动态（函数），一个是静态（值），看上去是一个个静态的点组成了动态的线，实际上动态的趋势的把握会难得多。也是吴军老师所说的，无穷大无穷小和普通的数字理解上的不同～ 真的是环环相扣！ 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— a2＝b2+c2-2bc CosA其他差不多 S△ABC=1/2absinC S△ABC=1/2bcsinA S△ABC=1/2acsinB 第一余弦定理 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。19小时前
3 赞无论学什么，一个“负180度”的遗忘力，是怎么样逃不掉的。除非和自己已有的知识网络共鸣很高，否则用不上很快就忘了。 问题就是诱惑，这两天复习《老俞的人生算法课》29 贪婪，“你想读更多的书是贪多，你想见更多有趣的人是贪多，你想尝试更多没做过的事是贪多……但人生毕竟是有限的。弱水三千我们都想要，但能取的不过是一瓢饮而已。” 太多的方向，就把能量都抵消掉了，就像爱因斯坦说的“游手好闲的学习并不比学习游手好闲好”。6小时前
3 赞单一领域带头人只能有一个，术业专攻，文人相轻，多个带头人直接是有夹角的，因此1+1<2。 任何一个组织都满足二八定律，最终决定方向的就是那些少数人，因此平均值，统计数据只属于整体，对于每一个个体，永远只有自己，即100%，是你作用于统计数据，而不是统计数据决定你的位置。 一个个小组织如同雷达影像中的一个个像元，决定其能量的就是其中散射强度最大的目标，称为永久散射体。其他目标的作用就是热噪声，最好的处理方法是将其过滤掉。在组织中不做被过滤掉的人，同频共振，异频耗能。12小时前
3 赞努力也是一种力，力是一个矢量，方向比大小更重要。找对方向后，坚持更重要。 愿景是要达到的目标，努力是途径，坚持是方法。12小时前
2 赞凡是能提到方向的一般都不是鸡汤，其主要差异在叙述角度的不同。 比如在实际管理工作中，总会存在着几种带有方向的力量，即管理的矢量性。 他们一方是管理主体发出的正方向的“管理力量”。 而这部分力量传导到下面被管理者时，就会变成了两部分。 一部分是管理客体的“服从力量”，另一部分则是管理客体的“非服从力量”。 理论上这几种矢量对立统一，影响着管理活动的绩效、管理组织的和谐。 但如果相互关系不和谐时: 管理者就被会称为“没人性” “服从力量”就会被称为“被洗脑了、打鸡汤了” 而“非服从力量”就是会被称为“不合群、破坏者” 所以，任何时候的观念差异，其实只是不同力量方向上对立。 所以，人们需要改变的不是道德观，而是看问题的角度。5小时前
2 赞方向对原油在地下多孔介质中的渗流过程也有很大影响。对于那种近似横向的渗流，人类还没办法或没有仪器能测量其方向。而达西在做渗流实验时，只是竖着摆放装置，对于横向的渗流没有提供特别有力的依据。 好在奥斯丁分校的Larry W. Lake 教授和他的学生们发明了CDM模型，解决了上述问题。该方法在国内外的油藏开发中发挥了作用，可以辅助判断流体的流向。 至于流体在地下渗流方向受到什么因素的影响，我认为除了储层构造、渗透率等指标外，地应力的方向是一个重要的原因。11小时前
2 赞通过今天的课程，重新理解数的方向性，我个人有两点体会：第一，无论做任何事情，在行动之前，都要明确前进的方向。吴军老师在《谷歌方法论》中曾经介绍过J.P.摩根和马克.吐温投资的例子。作为职业投资人的摩根，始终遵循严格的投资纪律，投资那些顺应时代、可以改变世界的领域。看到电会改变世界，他就义无反顾的去投资；当爱迪生和马可尼在正确的方向上不断前行，他就不断增加投资；而当看到特斯拉已经明显偏离了前进的方向、不会有什么结果，就果断止损。始终坚持在正确的方向上前行，让摩根的投资能够不断获得成功。相比之下，马克.吐温的投资就有很大的随意性，往往是根据个人喜好来操作，结果也就可想而知了。同样，对于今天的我们，无论做任何事情，都必须找准时代和行业未来的前进方向，才能让自己的努力变得有意义，也才有机会站上时代的浪潮之巅。第二，每个人都应该坚持做自己擅长的事，而不要把时间和精力浪费在其他相关性较低的事情上。事实上，每个人的时间和精力都是有限的，个人的能力也是有边界的；因此，我们都应该将大部分时间和精力聚焦在自己擅长的事情上。而当我们要做其他事情的时候，就要考虑和我们正在做的事情之间的关联程度。如果二者的方向一致，比如说通过坚持学习提升知识水平和个人见识，更有助于职业发展和人生成长，那么做这样的事情是有意义的，因为它和我们当前的事业方向一致，必然会给我们带来可叠加的进步。如果二者的方向不完全一致、甚至有很大的夹角，那么显然无法形成有效的合力，比如说一个人既想事业上有所进步，又希望通过炒股赚快钱，那么同时在这两个方向上的努力，就会因为夹角过大而相互抵消，最后什么也得不到。所以，找准方向、选择做自己擅长的事情，并且通过其他辅助让自己把事情做好、做到极致，才是人生正确的成长方式，也是人生见识的一种提升。11小时前
2 赞向量的概念启发我们做事要有方向，方向对了，做什么都是对的，方向错了，做什么都是错的。比如我做事要符合时代发展趋势，一个团队要有向心和力，一个人要有自己的原则方向。只有做到向心和力，才能事半功倍。否则，只会内耗，事倍功半。11小时前
2 赞向量一说很清晰了解释了一句老话“一个和尚抬水吃，两个和尚挑水吃，三个和尚没水吃”，当同一件事情仅有一个方向的作用力时，不论力大力小总是能够推进进度，而一旦有越来越多的推手，如果大家的作用反向不一致，反而会导致事倍功半甚至是原地踏步。 对于组织管理也是如此，统一思想确定目标与方向永远比 只知埋头苦干重要，时不时抬头看看天看看路，好确定大趋势有没有变，方向有没有走偏，才能有效避免南辕北辙、白费功夫。12小时前
2 赞今日得到: 要形成合力就必须方向一致，即便方向不能完全一样，彼此之间方向的夹角也需要尽可能地小。 一个人的努力固然重要，但有个大致的方向更加重要，时常校正自己的方向，形成合力才能原地打转。 两个人在一起能力和品质固然重要，但最终决定两个人能走多远的还是要有共同的方向。17小时前